大学自动控制原理_2.4典型环节传递函数

1 ui (t) = i(t)R + ∫ i(t)dt C 解： 1 uo (t) = ∫ i(t)dt C 1 U i (t ) = I ( s ) R + I (s) Cs LT得： 得 1 U o (t ) = I (s) Cs
U1 ( s ) 1 1 ∴ G (s) = = = (设RC = T ) U 0 ( s ) RCs + 1 Ts + 1
§2.4.3 微分环节
微分环节具有输出正比于输入的微分 即
& x o (t ) = T x i (t )
X o ( s) X i ( s) = Ts
∴ G ( s) =
T为微分环节的时间常数
1、理想的微分环节 、
G(s) = Ts
Ts 2、实际的微分环节 G(s) = 、 Ts +1
3、微分环节对系统的控制作用 、
& 动力学方程为 ： Txo (t ) + xo (t ) = Kxi (t )
K ∴ G( s) = Ts + 1
K为惯性环节的增益或放大系数；T为时间常数 为惯性环节的增益或放大系数；
理想的一阶惯性环节
1 G ( s) = Ts + 1
例1. 无源滤波电路
ui为输入电压； uo为输出电压； C为电容 R为电阻
U ( s ) = LsI ( s ) + I ( s ) R + 1 I ( s ) i cs LT，得： 1 U 0 ( s ) = I ( s ) cs U o (s) 1 ∴ G(s) = = 2 U i ( s ) LCs + RCs + 1 R C ∴ ω n = 1 LC ξ = 2 L
积分环节是输出正比于输入对时间的积分 的环节。 的环节。 1 即： xo t） ∫ xi t）dt （ = （ T 1 1 ∴ 拉氏变换得 : X（s） = X（s） G(s) = o i Ts Ts
T为积分环节的时间常数
例题： 例题：
盘作恒速转动， 当 A盘作恒速转动，并靠摩擦力带动 B盘以角速度ω转动时，因 B盘和I 轴 盘以角速度ω转动时， 间以滑动键联接， 间以滑动键联接，故B盘滑动就会改变 偏心量e；当时e=0，A盘转动而 B盘不 偏心量e 当时e=0， e=0 转；e增大， B盘角速度ω正比的增大， 增大， 盘角速度ω正比的增大， 设K为比例常数，B盘转角为θ(t)。 为比例常数， 盘转角为θ(t)。 θ(t) 输入— e 输入 输出—θ(t) 输出 θ(t)
相似原理
R
xi (t )
k
ui
i
C
uo
c
xo (t )
对于上述两图知是电系统与机械系统两种装置。 对于上述两图知是电系统与机械系统两种装置。
对于这两种机构求其传递函数均为
1 G( s) = Ts + 1
两者物理模型不同，但数学模型相同， 两者物理模型不同，但数学模型相同， 功能相同，对于二者的“异构同功” 功能相同，对于二者的“异构同功”称其 相似系统。 为相似系统。 相似系统： 相似系统：能用形式相同的数学模型来 描述的物理系统。 描述的物理系统。
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（1）预见输入（使输入提前） 预见输入（使输入提前）
比例环节
R(s) [r(t) = t]
1
1
Xo (s)
xo (t )
o
t
45
o
比例+微分 比例 微分
R(s) [r (t ) = t ]
1+ Ts
X o (s)
x o (t )
o
2
1
t
t1
t2
(2)增加阻尼 (2)增加阻尼
+ − KP
§2.4
典型环节的传递函数
§2.4.1 比例环节 惯性环节（一阶惯性环节） §2.4.2 惯性环节（一阶惯性环节） §2.4.3 微分环节 §2.4.4 积分环节 振荡环节（二阶振荡环节） §2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节） 延时环节（迟延环节） §2.4.6 延时环节（迟延环节）
§2.4.1 比例环节
=e
−τs
强调： 强调：
1、一个元件和一个环节不是等价的。 一个元件和一个环节不是等价的。 一个元件可能划分为几个环节， 一个元件可能划分为几个环节，也可能几 个元件构成一个环节。 个元件构成一个环节。 2、不要把表示系统结构情况的物理框图 与分析系统的传递函数的框图混淆。 与分析系统的传递函数的框图混淆。 3、环节的传递函数也不是固定不变的， 环节的传递函数也不是固定不变的， 这取决于选取的输入及输出量是什么。 这取决于选取的输入及输出量是什么。 当输入、输出量不同时，传递函数不同。 当输入、输出量不同时，传递函数不同。
解：ω = θ&(t ) = Ke(t )
∴θ (t ) = K ∫ e(t )dt
∴ G ( s ) = Θ( s ) E ( s ) = K s
设
则
T=1
K
G ( s ) = 1 Ts
振荡环节（二阶振荡环节） §2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节）
& T &&o (t ) + 2ξTxo (t ) + xo (t ) = xi (t ) x
例2、弹簧阻尼系统
k
xi (t)
xo(t)
x i (t ) — 输入位移 x o (t ) — 输出位移 k — 弹性刚度 c — 粘性阻尼系数
c
dxo (t ) 解： k [ xi (t ) − xo (t )] = c dt
X o (s) 1 = LT得：G ( s ) = X i (s) c s + 1 k 1 c = (设 = 1) Ts + 1 k
K s (Ts + 1)
KP K G1 s） 2 （ = Ts + s + K P K
+ −
K P (Td s + 1)
K s(Ts + 1)
K P K（Td s + 1 ） G2 s） 2 （ = Ts + 1 + K p KTd）s + K P K （
(3)强化噪声 (3)强化噪声
§2.4.4 积分环节
凡输出量与输入量成正比，输出不失真 凡输出量与输入量成正比， 也不延迟，而按比例地反映输入的环节， 也不延迟，而按比例地反映输入的环节， 称为比例环节 比例环节。 称为比例环节。 动力学方程为： 动力学方程为：
xo (t ) = Kxi (t )
X i (s) =K
∴ G (s) =
X o (s)
惯性环节：（一阶惯性环节） ：（一阶惯性环节 §2.4.2 惯性环节：（一阶惯性环节）
X（s） s o ∴ G(s) = = X i s） s + k （ 2 AR 2 Ts AR ∴ G (s) = 令T = k Ts + 1
此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。 此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。 惯性环节 的系统 当|Ts|<<1时，G(s)=Ts， 时 ， 才近似为理想的微分环节。 才近似为理想的微分环节。
2
1 ∴ G( s) = 2 2 T s + 2ξTs + 1
ξ — 阻尼比(0 ≤ ξ < 1)
T — 振荡环节的时间常数
Qω n — 无阻尼固有频率
ωn = 1 T
ω n代入G (s )得
G (s) =
ωn
2
2 2
s + 2ξω n s + ω n
注意： 注意：
1）0≤ξ＜1时，二阶系统为振荡环节。 ＜ 时 二阶系统为振荡环节。 ξ≥1时 二阶环节不是振荡环节， 2) ξ≥1时，二阶环节不是振荡环节， 而是两个一阶惯性环节的组合。 而是两个一阶惯性环节的组合。 所以二阶环节不一定是振荡环节。 所以二阶环节不一定是振荡环节。
例：无源R-C-L网络 无源R
L R i
ui
C
uo
R — 电阻
ui (t ) — 输入电压 L — 电感
uo (t ) — 输出电压 i (t ) — 电流 C — 电容
解：
di(t ) 1 ui (t ) = L + i(t ) R + ∫ i(t )dt dt C 1 uo (t ) = ∫ i(t )dt C
xi—活塞位移 活塞位移
x0—油缸位移 油缸位移
油缸的力平衡方程式： 油缸的力平衡方程式：
A( p2 − p1 ) = kxo
通过节流阀的流量： 通过节流阀的流量：
p 2 − p1 & & q = A( xi − x o ) = R k & & 得： ( x i − x o ) = xo 2 A R
延时环节（迟延环节） §2.4.6 延时环节（迟延环节）
Q xo (t ) = xi (t − τ )
τ为延迟时间 为延迟时间
L[ x0 (t )] L[ xi (t − τ )] ∴ G( s) = = L[ xi (t )] L[ xi (t )]
X i ( s )e = X i ( s)
−τs
例1、 电压下图为一直流发电机原理 激磁电压u 恒定，磁通不变。 图。激磁电压ui恒定，磁通不变。此时 电枢u 成正比(θ (θ为转子转 电枢u0与转速 θ& 成正比(θ为转子转 即输入量为θ 输出量为u 角)，即输入量为θ，输出量为u0。
解：因为磁通不变，既ui恒定 因为磁通不变，
∴ uo = T dθ （ T 为常数） dt
∴ G(s) =
U o( s )
θi (s)
= Ts
直流发电机作为测速发电机时 可以认为是一个微分环节
液压阻尼器的原理图，图中A 例： 液压阻尼器的原理图，图中A为活 塞右边面积； 为弹簧刚度； 塞右边面积；k为弹簧刚度；R为节流 阀液阻； 分别为油缸左、 阀液阻；p1 、p2分别为油缸左、右腔 单位面积上的压力。 单位面积上的压力。