2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章：函数的平均变化率

课时分层作业(二十一)函数的平均变

化率

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()

A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44

B[∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.]

2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是()

A．0 B．1 C．3 D．Δx

A[Δy

Δx

＝

1－1

Δx

＝0.]

3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于()

A．6＋Δt B．12＋Δt＋9Δt

C．12＋2Δt D．12

C[Δs

Δt

＝

[2(3＋Δt)2＋5]－(2×32＋5)

Δt

＝12＋2Δt.]

4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝() A．－3 B．2 C．3 D．－2

C[根据平均变化率的定义，可知

Δy Δx ＝

(2a＋b)－(a＋b)

2－1

＝a＝3，故选C.]

5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个

不同的自变量x1，x2，都有f(x1)－f(x2)

x1－x2

＞0，则()

A．f(x)在这个区间上为增函数

B．f(x)在这个区间上为减函数

C．f(x)在这个区间上的增减性不确定

D．f(x)在这个区间上为常数函数

A[①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.]

二、填空题

6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．

3－Δx[Δy

Δx

＝

－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋(－1)2－(－1)

Δx

＝3－Δx.]

7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．

v1＜v2＜v3[v1＝s(t1)－s(t0)

t1－t0

＝k OA，v2＝

s(t2)－s(t1)

t2－t1

＝k AB，v3＝

s(t3)－s(t2)

t3－t2

＝k BC，而由图像知k OA＜k AB＜k BC，

∴v1＜v2＜v3.]

8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0

＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．

6x0＋3Δx12.3[函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)

(x0＋Δx)－x0

＝[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2)

Δx

＝6x0·Δx＋3(Δx)2

Δx

＝6x0＋3Δx.

当x0＝2，Δx＝0.1时，

函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.] 三、解答题

9．判断函数g(x)＝k

x(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．

[解]设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝k

x1

－k

x2

＝

k(x2－x1)

x1x2

，

Δy Δx ＝

g(x1)－g(x2)

x1－x2

＝－k

x1x2.

∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴Δy

Δx

＝－k

x1x2

＞0，

∴g(x)＝k

x(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．

10．已知函数f(x)＝2x－1

x＋1

，x∈[3,5]．

(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

(2)求该函数的最大值和最小值．

[解](1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．

证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则

f(x1)－f(x2)＝2x1－1

x1＋1

－

2x2－1

x2＋1

＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)

＝

3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)

，

所以Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝3(x 1＋1)(x 2＋1)

.

因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， 所以Δy

Δx ＝

3

(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，

所以f (x )＝

2x －1x ＋1

在[3,5]上是增函数．

(2)f (x )min ＝f (3)＝

2×3－13＋1

＝54，

f (x )max ＝f (5)＝

2×5－15＋1

＝32.

[等级过关练]

1．若函数f (x )＝－x 2＋10的图像上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，314及邻近一点

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( )

A ．3

B ．－3

C ．－3－(Δx )2

D ．－Δx －3

D [∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32＝－3Δx －(Δx )2，

∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )

2

Δx

＝－3－Δx ，

故选D.]

2.函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )