重点高中数学直线方程公式

重点高中数学直线方程公式

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直线方程公式

1.斜率公式

①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2

π≠

) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。

2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11

1

212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直

【1】两直线平行的判断

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。

（2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。

（3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。

（4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222

||A B C l l A B C ⇔

=≠。 【2】两直线垂直的判断

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。

（2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。

（3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。

（4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。

【3】两直线相交的判断

（1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。

（2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。

（3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。

（4）直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则A 1B 2-A 2B 1≠0是两直线相交的充要条件。

【4】两直线重合的判断

当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0（或A 1C 2-A 2C 1=0）时，两直线重合。

4..直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式 112121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

5.“到角”及“夹角”公式 ：

（1）夹角公式（1l 与2l 的角） (1)2121

tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212

tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是

2

π. （2）1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212

tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是

2

π. 6.对称问题

【1】关于点对称问题

（1）求已知点关于点的对称点 P （x 1，y 1）关于点Q （x 0，y 0）的对称点为（2 x 0- x 1，2 y 0- y 1）。

（2）直线关于点的对称直线

设l 的方程为：Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）和点P （x 0，y 0），求l 关于P 点的对称直线方程。设P 1（x 1，y 1）是对称直线l 1任意一点，它关于P （x 0，y 0）的对称点（2 x 0- x 1，2 y 0- y 1）在直线l 上，代入得A （2 x 0- x 1）+B （2 y 0- y 1）+C=0，即Ax 1+By 1+C 1=0为所求对称直线的方程。与已知方程平行。

常见和对称结论有：设直线l ：Ax+By+C=0：

※l 关于x 轴的对称直线是Ax+B （-y ）+C=0

※l 关于y 轴的对称直线是A （- x ）x+By+C=0

※l 关于原点的对称直线是A （- x ）x+B （-y ）+C=0

※l 关于y=x 的对称直线是Bx+Ay+C=0

※l 关于y=-x 的对称直线是A （-y ）+B （- x ）+C=0

【2】关于直线对称问题

（1）点关于直线的对称点

※设P （x 0，y 0），l ：Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），

则l 是PQ 的垂直平分线，即PQ ⊥l ，PQ 的中点在l 上，解方程组⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++*++*-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*--02210000C y y B x x A B A x x y y 可得Q 点坐标。

※点A （x ，y ）关于直线x+y+c=0的对称点A 1的坐标为（-y-c, -x-c ），关于直线x-y+c=0的对称点A 2的坐标为（y-c, x+c ），曲线f （x,y ）=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为f （-y-c, -x-c ）=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f （y-c, x+c ）=0。

※一般地，点A （a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为A 1（a,-b ），关于y 轴的对称点的坐标为A 2（-a,b ），关于y=x 轴的对称点的坐标为A 3（b,a ），关于y=-x 轴的对称点的坐标为A 4（-b,a ），关于x=m 轴的对称点的坐标为A 5（2m-a,b ），关于y=n 轴的对称点的坐标为A 6（a,2n-b ）

。 （2）直线关于直线的对称直线