2019年春八年级数学下册第十八章平行四边形章末小结与提升课时作业 新人教版

平行四边形

章末小结与提升

四边形平行四边形

正方形

类型1平行四边形的性质和判定

典例1如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形.

【解析】如图,连接AE,DB,BE,设BE交AD于点O.

∵AB∥DE,AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形,∴OB=OE,OA=OD.

∵AF=DC,∴OF=OC,∴四边形BCEF是平行四边形.

【针对训练】

1.如图,在平行四边形ABCD中,AD=7,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为

(A)

A.4

B.3

C.

D.2

2.如图,P为▱ABCD的边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=3,则S1+S2的值是12.

3.在▱ABCD中,点E在CD边上,点F在AB边上,连接AE,CF,DF,BE,∠DAE=∠BCF.

(1)如图1,求证:四边形DFBE是平行四边形;

(2)如图2,设AE交DF于点G,BE交CF于点H,连接GH,若E是CD边的中点,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中以GH为边或对角线的所有平行四边形.

解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,∠ADE=∠CBF,AD=BC,

在△ADE和△CBF中,

∴△ADE≌△CBF(ASA),∴DE=BF,

又∵DE∥BF,∴四边形DFBE是平行四边形.

(2)以GH为边的平行四边形有▱GHFA、▱GHBF、▱GHED、▱GHCE;以GH为对角线的平行四边形是▱GFHE.

类型2三角形的中位线

典例2如图,等边△ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF.

(1)求证:DE=CF;

(2)求EF的长;

(3)求四边形DEFC的面积.

【解析】(1)在△ABC中,∵D,E分别为AB,AC的中点,

∴DE为△ABC的中位线,

∴DE=BC,

∵CF=BC,∴DE=CF.

(2)∵AC=BC,AD=BD,∴CD⊥AB.

∵BC=4,BD=2,∴CD==2.

∵DE∥CF,DE=CF,

∴四边形DEFC是平行四边形,

∴EF=CD=2.

(3)过点D作DH⊥BC于点H.

∵∠DHC=90°,∠DCB=30°,

∴DH=DC=,

∵DE=CF=2,∴S四边形DEFC=CF·DH=2×=2.

【针对训练】

1.以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为(C)

A.4

B.2

C.

D.

2.如图,D,E分别是AB,AC的中点,BE是∠ABC的平分线,对于下列结论:①BC=2DE;②DE∥BC;

③BD=DE;④BE⊥AC.其中正确的是(D)

A.①②

B.①②③

C.①②④

D.①②③④

3.(曲靖中考)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD,如果

DE=2.5,那么△ACD的周长是18.

4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,∠ABD=20°,∠BDC=70°,求∠PMN的度数.

解:∵在四边形ABCD中,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,

∴PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线,

∴PM=AB,PN=DC,PM∥AB,PN∥DC,

∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC=70°,

∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+(180-70)°=130°,

∵AB=CD,∴PM=PN,

∴∠PMN==25°.

类型3直角三角形斜边上的中线

典例3如图,△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,FD⊥BC于点D,G是FC的中点,连接GD.求证:GD⊥DE.

【解析】∵FD⊥BC,G是FC的中点,

∴GD是Rt△FCD斜边上的中线,∴GD=GC,

∴∠GDC=∠C.

又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠GDC,

∴GD∥AB,∴∠BED=∠GDE.

∴∠GDE=90°,∴GD⊥DE.

【针对训练】

1.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为

2.4 km,则M,C两点间的距离为(B)

A.0.6 km

B.1.2 km

C.0.9 km

D.4.8 km

2.如图,在三角形ABC中,AB=AC,BC=6,△DEF的周长是7,AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,且D 是AB的中点,则AF的长为(A)

A.B.C.D.7

3.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是(B)

A.3

B.4

C.5

D.6

类型4特殊的平行四边形的性质和判定

典例4如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E 为AD的中点,连接BE.

(1)求证:四边形BCDE为菱形;

(2)连接AC,若∠ADB=30°,BC=1,求AC的长.

【解析】(1)∵AD=2BC,E为AD的中点,

∴DE=BC.

∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,

∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,

∴平行四边形BCDE是菱形.

(2)连接AC.

∵∠ADB=30°,∠ABD=90°,∴AD=2AB,

∵AD=2BC,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.

∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,

∴∠CAB=∠CAD=30°,