防灾科技学院10-11II 概率论与数理统计试卷(A)参考答案
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防灾科技学院
2010~2011学年 第二学期期末考试概率论与数理统计试卷(A )
使用班级本科各班适用 答题时间120分钟
一 、
填空题(每题3分,共21分)
1、设“甲地发生春季旱情”=A 、“乙地发生春季旱情”=B 是两个随机事件,且4/1)(=A P
,3/1)(=A B P ,2/1)(=B A P ,则情”“甲或乙地发生春季旱=
C 发生的概率为 1/3 ;
2、已知10张奖券中有2张有奖的,现有两人购买,每人买一张,则其中恰有一人中奖的概率为 16/45 ;
3、设某批电子元件的正品率为5/4,次品率为5/1,现对这批电子元件进行测试,只要测得一个正品就停止测试工作,则测试次数的分布律为
,2,1,5
4
51}{1
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-k k X P k ; 4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数X 服从参数为20=λ泊松分布,则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为201--e ;
5、设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布,则方程012
=++Xx x 有实根的概率为 4/5或0.8
;
6、设X 和Y 相互独立,且分别服从参数为3和5的泊松分布,则Y X +服从参数为 8 的泊松分布;
7、设样本4321,,,X X X X 为来自总体)1,0(N 的样本,()3
/24
2322
1
X
X X
X Y ++=
,则Y 服
从)3(t 。
二、单项选择题(本大题共7小题,每题3分,共21分)
1、袋中有5个球(3个红球,2个白球),每次取1个,无放回地抽取两次,则第二次取到红球的概率为( A )
(A) 53; (B) 43; (C) 21; (D) 10
3;
2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,}{=>==k b b k X P k λ,则参数=λ( C )
(A) 0>λ的任意实数; (B) 1+=b λ; (C) 11+=
b λ;(D) 1
1
-=b λ; 3、设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=x x x f ,)
1(1
)(2
π,则X Y 2=的概率密度为( B )
(A )
)41(12y +π;(B );)4(22y +π(C ) )
1(12
y +π;(D ) y arctan 1
π; 4、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≤≤=.
0,0,
10,3)(2x x x x f ,则=)(X E ( C )
(A) 0 ; (B) 1; (C)
4
3
; (D) 3; 5、设随机变量X 与Y 相互独立,其方差分别为6和3,则=-)2(Y X D ( D )
(A )9; (B )15; (C )21; (D )27;
6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)2,1(2N 的简单随机样本,X 为样本均值,则下列统计量服从标准正态分布的是(C )
(A )
21-X ; (B )41
-X ; (C )n X /21-; (D )2
1-X ; 7、总体21,X X 是取自总体))(1,(未知μμN 的一个样本,下列四个估计量均为μ的无偏估计,则其中最有效的是 ( D )
)(A 1X ; )(B 213132X X +;)(C 214143X X +; )(D 212
1
21X X +.
三、
7分,共14分。) 1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”
和“—”,由于通信系统受到干扰,当发出信号“·”时,收报台未必收到“·”,而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”,同样当发出信号“—”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”,求:(1)收报台收到信号“·”的概率;(2)当收报台收到信号“·”时,发报台是发出信号“·”的概率。
解:设 A =“发出信号‘’”, B =“发出信号‘—’”, C =“收到信号‘·’”,已知6.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=A C P ,1.0)(=B C P …………… (3分) (1)由全概率公式
52.01.04.08.06.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B C P B P A C P A P C P ……… (2分) (2)由Bayes 公式 13
12
52.08.06.0)
()()()(=⨯=
=C P A C P A P C A P …… (2分) 2、随机变量X 的概率密度为
+∞<<-∞=-x Ae x f x
,)(,
求(1)常数A ; (2)}10{< 解:(1)[ ] A Ae dx e A dx Ae dx x f x x x 222)(10 =-====+∞ -∞+-∞+∞ --∞+∞ -⎰ ⎰ ⎰ , ∴ 2 1 =A ………………………………(2分) (2).2 121}10{110---= =<<⎰e dx e X P x ……………………(2分) (3)当0 1 21)()(===⎰⎰∞-∞-,当0≥x 时, x x t t x t t x e e e dt e dt e dt t f x F --∞--∞-∞--=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+==⎰⎰⎰21121212121)()(0 000, X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-. 0,1,0, )(2121x e x e x F x x ………………………………(3分) 四、 (本大题共2小题,每题7分,共14分。) 1、盒子里有3只红球,2只白球,在其中不放 回任取2次,每次任取1只。定义随机变量⎩⎨⎧=,第一次取得白球;,第一次取得红球, 10X , ⎩⎨⎧=,第二次取得白球;,第二次取得红球, 1 0Y ,求(1)二维随机变量),(Y X 的联合分布律;(2) 求}{Y X P =;(3)Y X ,是否相互独立。 解:(1)1034253}0,0{=⋅===Y X P ,10 3 4352}0,1{=⋅===Y X P 1034253}1,0{=⋅===Y X P ,10 1 4152}1,1{=⋅===Y X P ………(3分) (2)4.0}1,1{}0,0{)(===+====Y X P Y X P Y X P ………………(3分) (3)因为}0{}0{3.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ,Y X ,不相互独立。(1分) 2、已知随机变量X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=. ,0,0,2 cos 21 )(其他πx x x f (1)求X 的分布函数).(x F (2)现对X 独立地重复观察4次,以Y 表 示大于6/π的次数,求Y 的分布律。 解:(1)因为 当0≤x 时,00)(== ⎰ ∞ -x dx x F ,当π≤≤x 0时, 2s i n 2s i n 2c o s 210)(0 0x x dx x dx x F x x =⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=+=⎰ ⎰∞ -,当π>x , 1)(=x F ,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.1 0,2sin , 0,0)(ππx x x x x F ,,……………………(4分) (2)因为X 大于6/π的概率为2/1)6/(1=-=πF p ,所以Y 服从)2 1 ,4(b ,概率分布 律为 .4,3,2,1,0,21214}{4=⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P k k ………………(4分)