第10章 压杆稳定

材料力学
第10章 压杆稳定
姓名：鲁晓俊 单位：武昌理工学院
第10章
压杆稳定
10.1 压杆稳定性的概念 10.2 细长压杆的临界荷载 10.3 临界应力及临界应力总图
10.4 压杆的稳定计算
10.5 提高压杆稳定性的措施
10.1 压杆稳定性的概念
失稳破坏的例子 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore
10.1 压杆稳定性的概念
2000年10月25日上午10时南京电
视台演播中心由于脚手架失稳造成
屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.
研究压杆稳定性问题尤为重要
10.1 压杆稳定性的概念
一个实验： 松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。 短木条失效时： 6000 c 40 MPa 30 5 长木条失效时： 30 c 0.2MPa 30 5 两者失效原因存在本质区别： 短木条:强度失效，由强度不足引起
2 EI 2
l2
10.2 细长压杆的临界荷载
临界压力是微弯平衡状态下的最小压力，所以取 n =1
l 两端铰支细长压杆的临界荷载公式
Pcr
2 EI
2
欧拉公式
注意：杆的弯曲将在其最小刚度平面内发生，上式中 I I min
临界荷载 Pcr作用下杆的挠曲线 （失稳波形曲线 ）
y A sin
0 p中长杆或中柔度杆 p ≤ cr ≤ u 经验公式计算
≤ 0 短粗杆或小柔度杆
cr u 按强度问题处理
10.3 临界应力及临界应力总图
压杆的临界应力与σcr柔度λ之间的变化关系曲线，一般 称之为压杆的临界应力总图。
临 界 应 力 总 图 （ 直 线 经 验 公 式 ）
10.3 临界应力及临界应力总图
压杆临界应力总图（采用抛物线型经验公式）
10.4 压杆的稳定计算
10.4.1压杆稳定许用应力的确定
稳定安全系数法和折减系数法

稳定安全系数法 cr [ cr ] nw [ cr ] —稳定许用应力 nw—稳定安全系数
选择稳定安全系数时，除了遵循确定强度安全系数的一般 原则外，还应考虑加载偏心与压杆初曲等因素。一般：稳定安
不同约束条件下细长杆的临界荷载（欧拉公式）
的统一形式：
2 EI 2 EI Pcr 2 2 ( l ) l0
l
l0 — 压杆的计算杆长，等于μl
— 压杆杆端约束影响系数
l — 是压杆的实际杆长度
10.2 细长压杆的临界荷载
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Pcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 Pcr B Pcr 一端固定 另端自由 Pcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
当x=0时，y=0；当x=l时，y=0
A sin kl B cos kl 0 若要有非零解，A和B的系数所组成的行列式要等于零
0 1 sin kl cos kl 0
B0
sin kl 0
n 2 P k ( ) l EI
2
kl n
(n 1， 2， )
Pn
10.4 压杆的稳定计算
10.4.2压杆的稳定条件 P ≤ [ cr ] A cr P cr [ cr ] ≤ A nw nw P ≤ [ ] [ cr ] ( )[ ] A P—压杆的轴向压力 、nw—压杆折减系数和安全系数
A—压杆的横截面面积
，有局部削弱时，仍以毛面积计算
x
y
-y
l
Pcr EI
y k 2 y k 2
y
10.2 细长压杆的临界荷载
y(0) A sin k 0 B cos k 0 0
y Ak cos kx Bk sin kx
B
y(0) Ak cos k 0 Bk sin k 0 0
x
l
(0 x l )
半个正弦波
A — 杆的跨中截面处所发生的最大挠度，以δ 代表
y sin
x
l
10.2 细长压杆的临界荷载
Hale Waihona Puke Baidu
δ的数值不确定
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P =1.152Pcr时，
δ =0.3l
10.2 细长压杆的临界荷载
例1 由压杆挠曲线近似微分方程，试导出一端固定、
Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 跨
度为548米1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡， 成为上世纪十大工程惨剧之一
10.1 压杆稳定性的概念
1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩
建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使 大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.
若压杆的横截面尺寸为已知或已根据经验而取值，稳 定条件为： Pcr Kw ≥ nw kw—压杆的工作安全系数 P
10.4 压杆的稳定计算
稳定校核 根据压杆的稳定条件可解决： 确定轴心荷载 设计压杆截面
在压杆横截面的设计中，确定A的过程一般应采用试算法。
试算法设计压杆截面的一般步骤：
（1）先假定一个初值 ，可初选压杆截面
y (1 cos kx) y(l )
kl n
A0
y(l ) (1 cos kl )
(n 1， 3， 5， )
cos kl 0

2
n 1 时 kl

2
压杆达到临界荷载Pcr的欧拉公式
n2 EI n 2 EI Pcr 2 4l (2l ) 2
10.3 临界应力及临界应力总图
10.3.1 细长压杆的临界压力
Pcr 临界应力 cr A 2E cr 2
2 EI Pcr ( l ) 2
r λ 能综合反映杆端约束条件、杆横截面尺寸及形状、压杆
长度对临界应力的影响。

l

— 压杆的长细比或柔度，无量纲量
r
I — 压杆截面的惯性半径 A
10.1 压杆稳定性的概念
其它可丧失稳定的结构：
10.2 细长压杆的临界荷载

求临界荷载的思路： 假设杆处于微弯的平
衡状态，求此时最小的轴
向压力。
两端为球形铰支座的等 直细长压杆受轴心压力P 考察微弯平衡状态
10.2 细长压杆的临界荷载
x处截面上的弯矩 M ( x) Py 梁的挠曲线近似微分方程
10.3.2中长杆和短杆的临界应力计算 ＜ p的杆包括中长杆和短杆两大类，临界应力 已超出比例极限，欧拉公式不适用，用经验公式计算。
1、直线型经验公式（合金钢、铝合金、铸铁与松木等）
cr a b
(0 p )
a、 b与材料性质有关的常数
cr必须小于等于u，令
cr a b0 u
对于不同的材料，其 p值不同
10.3 临界应力及临界应力总图
10.3 临界应力及临界应力总图 例题10-2 有一两端铰支的钢压杆，已知其矩形横截面的尺寸 为60mm×100mm，材料的弹性模量E=200GPa，比例极限
p =250MPa，试求能应用欧拉公式的杆的最小长度。
10.3 临界应力及临界应力总图
P A≥ [ ]
（2）根据A值，可以设计截面的尺寸或形状，利用已有的截面 图表或根据实践经验，选择型钢号码或计算截面的具体尺寸。
10.4 压杆的稳定计算
（3）根据选定的截面尺寸，可以计算或直接查得截面的最小 惯性半径r，并计算出 l后，可以由其查表得出′值。若
与相差较大，则应在与 之间再选一个值，重复（1）~ （3）步骤进行新的截面计算，直到假设的值与计算出的′值 相等或比较接近为止 。 （4）根据最后选择的截面及值，进行稳定校核。若能满足要
另一端自由细长压杆的欧拉公式。
解： 由平衡条件 M ( x) Pcr ( y)
x A P cr
代入压杆的近似挠曲线微分方程
EIy M ( x) Pcr ( y)
令 k2
通解为 y A sin kx B cos kx
边界条件：x = 0，y = 0 x = l ，y = 0 x = l，y′= 0
d2y M ( x) 2 dx EI P y y0 EI
M ( x) 或 EI P 2 k 记 EI y
二阶、常系数、线性、齐次微分方程
y k 2 y 0
通解为 y A sin kx B cos kx
10.2 细长压杆的临界荷载
位移边界条件 代入通解
F30N
F6000N
1000
30
长木条:非强度失效(丧失稳定)，由 稳定性不足引起
10.1 压杆稳定性的概念

压杆的稳定平衡性 理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、荷载 的作用线与轴线重合）作用压力P，给一横向干扰 力，出现与上类似的现象：
稳定平衡
微弯平衡
不稳定平衡
10.1 压杆稳定性的概念
全系数 > 强度安全系数。 nw是随着压杆长细比的增大而增大 的。
10.4 压杆的稳定计算

折减系数法
[ cr ] ( )[ ]
[ cr ] cr n ( ) [ ] nw u
[ ] — 材料的强度许用应力
n —强度安全系数
( ) — 与杆的柔度 及材料有关的折减系数 ( ) ＜1.0
10.3 临界应力及临界应力总图
欧拉公式的适用范围
2E cr 2 ≤ p
2 E 2 ≥ p
令 p
E
p
欧拉公式的适用条件： ≥ p
λp ：材料常数，仅与材料的弹性模量E及比例极限σp有关
≥ p 时，称为细长压杆（欧拉压杆）或大柔度杆
10.3 临界应力及临界应力总图
I
d4
64

1204
64
10.2 106 mm4 10.2 106 m4
1 （2）柱两端的约束条件，可看作是铰接，
（3）计算柱的临界力
2 EI 2 10 109 10.2 106 3 Pcr 63 10 N 63KN 2 2 ( l ) (1 4)
r
求，又不是过于安全，则所选择的截面就是设计截面；若不满
足要求或过于安全，则应参考计算结果，对截面尺寸作适当的 调整，直到满足要求为止。
a u 0 b
10.3 临界应力及临界应力总图
2、抛物线型公式
（结构钢与低合金结构钢等）
(0 p )
cr a1 b1 2
10.3.3 临界应力总图 压杆分类
式中，a1, b1是与材料性质有关的常数
≥ p 细长杆或大柔度杆
cr ≤ p 欧拉公式计算
10.2 细长压杆的临界荷载
挠曲轴线形状对比 一端固定、一端自由的压杆
观察：挠曲轴线的形状与长度为2l的两端铰接压杆 挠曲轴线的上半段相同

类比：一端固定、一端自由长l的压杆的临界荷载
等于长2l的对应的两端铰接压杆的临界荷载
l
F F
Pcr
2 EI
(2l ) 2
F
l
l
10.2 细长压杆的临界荷载
支承情况
0.7l l
0.5l
D
l
2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
长度系数μ
Pcr
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
(0.7l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )
2
Pcr
2 EI
(2l )
2
Pcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
10.2 细长压杆的临界荷载
10.2 细长压杆的临界荷载

例题10-1 有一支承混凝土楼板的圆截面木支柱，两端铰支。 已知柱长l=4m，其横截面的平均直径的d=120mm，木材的 E=10GPa，若材料处于线弹性阶段，试求此受压木柱的临界 力。 解：（1）计算柱截面的惯性矩

当P<Pcr 当P≥Pcr
压杆处于稳定平衡 压杆失衡
临界状态——压杆由稳定平衡向不稳定平衡转化的临界 状态。 临界荷载——使压杆处于临界状态下的最小轴向压力为 压杆的临界荷载，或简称临界力，Pcr用表示 。 轴心受压细长直杆在临界荷载作用下，其直线状态的平 衡将会由于轻微横向干扰力作用而开始丧失稳定性，从而形 成微弯状态，这种现象，称为压杆的失稳。 受压杆件由于稳定性不够而失去承载能力的现象亦叫压 杆的屈曲破坏。