高等数学-小论文-浅谈多元函数微积分学理论与应用

浅谈多元函数微积分学理论与应用

在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是为嘛我们要学习多元函数微积分学。

多元函数微分学

1、多元函数的概念

例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系

V=πr2h 这里r、h在集合｛（r、h）｜r>0，h>0｝内取定一对值（r，h）时，V的对应值随之确定。

定义设D是R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为 z=f（x，y），（x，y）∈D，把定义中的D换成n维空间R n内的点集D，映射f：D→R就称为定义在D上的n元函数。

多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。

与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母表示自变量和因变量无关。

第一节还有几个“集”的概念，比较重要的像连通集：点集D中

任意两点均可用完全落在D中的折线连接起来

2、多元函数的极限

定义设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P（x，y）∈D∩U（P0，δ）时，都有｜f（P）-A｜=｜f（x，y）-A｜<ε成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作lim f（x，y）=A。

与一元函数极限不同的是：二元函数的极限要求点P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P0（x0，y0）时，都有f（x，y）→f（x0，y0）。

3、多元函数的连续性

定义设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，且P0∈D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。

在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质①有界性②最大值、最小值③介值。

定义设函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称P0（x0，y0）为函数f（x，y）的间断点。

4、偏导数的定义

其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。要注意的就是：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保

证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数f（P）趋于f（P0），但不能保证点P 按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0）。多元函数对子变量可导与否与函数在某一点是否连续无关。它的几何意义就是：Z 在x0，y0处对X的偏导数表示曲面Z= f（x，y）与平行与xoz平面y= y0x交线上过点（x0，y0）的切线斜率。

一般讲求某点处的偏导数是先求偏导函数，然后再求偏导函数在该点处的值。多元函数求偏导问题的实质仍是一元函数的求导问题，故一元函数的求导公式、法则仍可直接应用。求偏导时，关键是要分清对哪个变量求导，把哪个变量暂时当作常量。分段函数在分界点处的偏导数用定义求。

高阶偏导数:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

5、全微分的定义

定义若在点的全增量可以写成

，其中A、B与、无关，

，则称在点处可微，且称

为

在点全微分.

注意，在多元函数中，个偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。即“可微一定可导，可导不一定可微”通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。还有就是对分段函数在分段点处的可微性，应按定义判定。

6、多元复合函数的求导法则

有三种情况，注意全微分形式不变性就行了。

7、隐函数的求导公式

细分的话有三类，就是三个公式，特别注意每个公式等号右边都有个负号。

8、多元函数微分学的几何应用

一个是求空间曲线的切线都和法平面，一个是求曲面的切平面的法线。这里还提到了方向余弦的求法。

9、方向导数与梯度

描述多元函数的在某点处的一般变化率的是梯度，而梯度是一个向量，因此它在某个确定的点处是具有确定的方向的。而在实际应用当中，我们不只是需要知道函数在梯度方向的变化率，也还要求知道其他特定方向的变化率，这种根据特定方向而计算出来的变化率，称为方向导数。

10、多元函数的极值及其求法

定义比较简单。

定理1 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值，则有f x（x0，y0）=0，f y（x0，y0）=0。

定理2 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f x（x0，y0）=0，f y（x0，y0）=0，令f xx （x0，y0）=A，f xy（x0，y0）=B，f yy（x0，y0）=C，则f（x，y）在（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；

（2）AC-B2<0时没有极值；

（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，需另讨论。

条件极值拉格朗日

自变量有附加条件的极值称为条件极值。在求解具有等式约束条件的条件极值问题时，一般并不是从约束等式解出一个变量，再代入目标函数，因为从约束等式解出一个变量往往并不简单，反而相当麻烦，因此，我们一般使用所谓的拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法要找条件极值，先做拉格朗日函数

，其中k为参数，求其对x与y的一阶偏导

数后可得由这方程组解出x，y及k，这样得到的（x，y）就是函数f（x，y）在附加条件下的可能极值点。