第21讲 光的吸收、受激辐射与自发辐射

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Q | k 是初态,| k 是末态,kk (Ek Ek ) / h,
对吸收,有Ek Ek , kk 0
对受激跃迁,有Ek Ek , kk 0
对光波,~101416 Hz, (1)式表明,只有当
kk或 kk时,|Ck(1k) (t) | 才有显著的值。
具有选择性。
11
三、吸收的跃迁速率(3)
Pk k
(t )

| Wkk |2 42
t
sin 2[(kk )t / 2] t[(kk ) / 2]2
(3)
由244页(6)和(12)式 :
lim

sin 2 x x2


(x),
(ax) (x)
振光,即E0的空间取向是随机的,则
13
三、吸收的跃迁速率(5)
在t 时,跃迁速率为
wk k


22
| Dkk
|2
E02 cos2 (kk
)
(5)


Dk k 和E0的夹角 。如果入 射光是非偏振 光,
即E0的空间取向是随机的,则的取值也是随机
的,应该将cos2 取为它对空间各方向的平均值

62
| Dkk
|2
Ek
E02 (kk )
(6)
此式就是当入射光为平面单色光,即
E E0 cost时,原子吸收光波能量从低能级
k跃迁到高能级k 的跃迁速率。
当入射光不是单色光时, Ek 要对(6)式做相应的修正,即 需要对(6)式中的各种频率成分 Ek

E E0()
4
一、光的吸收与辐射现象(3)
2、光波的电动力学描述
光波是一种电磁波,其电场和磁场强度分别
为E
E0
c os (t

k
r)和B

k
E/
|
k|
当电子的速度v c(光速)时,磁场对电子的
作用远小于电场的作用,故只需考虑电场的作用。

| k | 2 , ~ 400 700nm,所以,在原子尺度
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第二十一讲 光的吸收、受激辐射 与自发辐射
1
目录 一、光的吸收与辐射现象 二、电子跃迁的微扰论描述 三、吸收的跃迁速率 四、跃迁选择定则 五、吸收系数与受激辐射系数 六、自发辐射系数
2
一、光的吸收与辐射现象(1) E2
h
实验表明,在光的照射下,
原子中的电子能吸收光子,从低
)


62
|
Dk k
|2
E02 (kk )
(7)
通常,同实验相联系的量是能量密度( ),
为此,应该寻找E02 ( )与 ( )的关系。
16
w三kk、吸6h收2 |的Dr k跃k |迁2 E速02 (率k(8k))
问题归结为坐标
(7)
rr

r xex

r yey

r zez
光功率 ()与E02 ()的关系为
的矩阵元的计算
() 1 E2 (, t) E02 () 1 T dt cos2t E02 ()
4
4 T 0
8
其中T 2 为光波变化的时间周期。
这样,非偏振自然光引起的吸收跃迁速率为
wk k

4 2
3h2
blm | nl | rkk |
1, m nlm
1 | nl

1,
m

1

量子数 的变化
19
四、跃迁选择定则(3)
2、选择定则
wk k

4 2e2
3h2
r | rkk
|2
(kk )
(9)
| rrkk | nlm | rr | nlm nlm | nl 1, m 1
相应的跃迁速率为
wk k

d dt
Pkk (t)

22
| Wkk
|2
(kk
)
(4)
Wkk Dkk E0 | Dkk | E0 cos
wkk


22| Dkk
|2 E02 cos2 (kk

)
(5)
其 中 ,是Dk k 和E0的 夹 角 。 如 果 入 射 光 是非 偏
E1
能级跃迁到高能级,这叫光的吸收。 光的吸收
在光的激发下, 原子中的电子
E2
h
能从高能级跃迁到低能级,并释放 h
h
一个光子,这叫光的受激辐射。
E1 光的受激辐射
在没有外界因素的作用下,
E2
原子中的电子能自动地从高能级
h
跃迁到低能级,并释放一个光子, 这叫光的自发辐射。
E1 光的自发辐射
3
一、光的吸收与辐射现象(2)
其中,Hˆ 0 | n En | n ,| Cnk (t) |2 为t时刻体系处
于 | n 的概率。目标:用微扰论确定Cnk (t)
6
二、电子跃迁的微扰论描述(2)
ih
t
|
(t)

) H
|
(t)
) , H

) H0

)) H , H

cos t

18
四、跃迁选择定则(2)
wk k | rkk

4 2e2
32
|
| nlm
rk k
|2
(
|
xex

yey
k k

) zez
|
(9) nlm
核心是计算坐 标的矩阵元
球坐标下,x r sin cos r sin (ei ei ) / 2

vr
D E0 ,| (t)

Cnk (t)eiEnt / h | n
n
目标:用微扰论确定Cnk (t)。由201页31式
C(1) k k
(t )

1 ih
t
eikkt H kk dt
0
Wkk 2ih
t
e (e ikkt it
0
eit )dt
Wkk 2h
8
二、电子跃迁的微扰论描述(4)
C (1) k k
(t)


Wk k 2h

e i(kk )t
kk
1

ei(kk )t 1
kk

(1)
kk 0 吸收,kk 0 受激跃迁
kk或 kk时,Ck(1k) (t)有显著的值。
|
nlm
|
nl
1,
m
1

仅当
l

l
1时 |
|
r Dk k
|2
(kk )
(8)
Q
r Dk k

errkk , wkk

4 2e2
3h2
| rrkk
|2
(kk )
(9)
17
四、跃迁选择定则(1)
wk k

4 2e2
3h2
| rrkk
|2
(kk )
(9)
1、只有入射光中包含kk的频率成分时,才会
1、半经典理论
E2
如果对光的吸收、受激辐射 和自发辐射的理论处理采用这样 E1
电磁波
的办法:将光波看作电磁波(而
不是看作光子群), 用电动力学(而不是量子力 学)来描述,对原子系统采用量子力学来描述,
这样的理论习惯上被称为半经典理论。
半经典 光波用电动力学来描述; 半量子 原子用量子力学来描述。
(3)
10
三、吸收的跃迁速率(2)
Pkk
(t)
|
C (1) k k
(t)
|2

| Wkk |2 42
sin2[(kk )t / 2] [(kk ) / 2]2
(3)
只有
kk
时,入射光才对Ek Ek
的跃迁有显著贡献。这
种特性称为共振吸收。
或者说,材料对光的吸收
ei(kk )t 1

kk

ei(kk )t 1
kk

其中,H kk
k
|
)
H | k
k
| Wˆ
cost | k

k | Wˆ | k cos t Wkk (eit eit ) / 2
9返
三、吸收的跃迁速率(1)
C (1) k k
(t
)

Wkk 2
ei(kk )t 1

kk

ei(kk )t 1
kk

(1)
对吸收,有Ek Ek , kk 0,又 0,
只有(1)式中的第二项起作用。
y r sin sin r sin (ei ei ) /(2i), z r cos ,
由252页(33)式,有
x, y, z r,,
cos | nlm alm | nl 1, m al1,m | nl 1, m
sinei | nlm bl1,m1 | nl 1, m 1 关键是看
cos2 1
d cos2
1
2
d
s in
cos2 d

1
4
4 0 0
3

wk k


62
| Dkk
|2
E02 (kk
)
(6)
14
三、吸收的跃迁速率(6) t 时,跃迁速率为
Ek
E E0 cost

wk k

|a|
当光波入射的时间足够长时,即t 时,
Pkk (t)

t
42
| Wkk
|2
((kk
) / 2)

t
22
| Wkk
|2
(kk
)
(3)
12
三、吸收的跃迁速率(4)
当t 时,Pkk (t)
t
22
| Wkk
|2
(kk
)
(3)
wk.baidu.com
C (1) k k
(t
)


Wk k 2
e 1 i(kk )t
kk
Ek
(2)
Ek
h
k k的跃迁概率为
光的吸收
Pk k
(t
)
|
C (1) k k
(t
)
|2

| Wkk |2 42
sin 2[(kk )t / 2] [(kk ) / 2]2
的贡献求和。
15
三、吸收的跃迁速率(7)
wk k


62
| Dkk
|2
E02 (kk
)
(6)
当入射光包含各种频率成分,即E E0 ( )时,
k k的跃迁速率为(6)式对各种频率成分的
积分:wkk
d

62
|
Dk k
|2
E02 ( ) (kk
引起Ek Ek的吸收跃迁[kk (Ek Ek ) / h]。
2、轨道与磁量子数的选择定则
以氢原子为例,电子的波函数为| nlm
即 | nlm Rnl (r)Ylm ( ,)
初态:| k | nlm ;末态:| k | nlm | rrkk | nlm | rr | nlm nlm | xerx yery zerz | nlm

vr D E0
看作对原子系统的微扰,它将导致电子发生能级
跃迁。此时系统的哈密顿为
) H

Hˆ 0

) H
系统的波函数满足ih | (t) Hˆ | (t) ,
t
| (t) 可以表示为(200页19式)
| (t) Cnk (t)eiEnt / h | n n
能级之间,同时要满足Ek Ek。
20
四、跃迁选择定则(4)
3、宇称选择定则
| nlm Rnl (r)Ylm ( , ) rl coseim ,
又 l 0,1,2,3, , m 0,1,2, ,l,
l为偶或奇数时,| nlm 为偶或奇宇称。
|
rk k
Q 初态:| k | nlm ;末态:| k | nlm
仅当 l l 1, m m 1时,| rrkk | 0
选择定则为:l l l 1和m m m 1
这就是轨道和磁量子数的选择定则,说明
吸收跃迁只能发生在l和m的绝对值变化为1的
(0.1
~
1nm)内,| k
r|
1,可将k
r略去。所以

E Hˆ
E0ecrosEt,它D对 电 E0子co的s作t,用D量
为 er

电偶极矩
5返
二、将电H) 子 跃Dv迁 Er的0 c微os扰t 论 W描ˆ c述os(1)t,W)
7
二、电子跃迁的微扰论描述(3)
)
H



cos t , |
(t )

Cnk (t)eiEnt / h | n
n
C (1) k k
(t
)
Wkk 2h
ei(kk )t 1

kk

ei(kk )t 1
kk

(1)
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