高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式选讲》全集汇编附答案解析

数学《不等式选讲》复习资料

一、14

1．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）

A ．集合P 是集合Q 的真子集

B ．集合Q 是集合P 的真子集

C ．P Q =

D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集

【答案】C 【解析】 【分析】

先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】 |||1|3x x +-

∴当0x ?时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-

当01x

当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．

{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<， P Q ∴=．

故选：C ． 【点睛】

本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．若关于x 的不等式2

2

2213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15??-????

B ．(],0-∞

C ．(],1-∞

D ．(]

,5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】

先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到

22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得

到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】

关于x 的不等式2

2

2213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解，

当0t >时，()22

22221

221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥

21t =--，

所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得11

5

t ≤≤-

， 所以01t <≤，

综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】

本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.

3．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ??

????

的各项的和222111123S n L L =+

++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413

S << B ．

5443

S << C ．

3

22

S << D ．2S >

【答案】C 【解析】 【分析】

由2n ≥时，

()2111111n n n n n

<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】 由2n ≥时，()2111111n n n n n

<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =+

+++<+-+-++--12n

=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，

由22111341123363+

+=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】

本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策

略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.

4．设n *∈N

） A

>B

C

=D ．不能确定

【答案】B 【解析】 【分析】

把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】

2

2

-

=

==

.

2

2

-=

==

.

*n N

∈ 42,31n n n n +>+

+>+

>

>

>

<

<

成立，因此本题选B ． 【点睛】

对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．

5．若存在x ,∈R ,使2x a 23x 1-+-≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[]75--，

B ．()57，

C ．[]57，

D ．][()

57∞∞-?+，

， 【答案】C 【解析】 【分析】

先利用绝对值三角不等式求223x a x -+-的最小值，即得实数a 的取值范围. 【详解】

由题得223=262|6|x a x x a x a -+--+-≥-， 所以|6|1,161,57a a a -≤∴-≤-≤∴≤≤. 故选C 【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则2

22241x y y x ????+

+ ?????

?

?的最小值为（ ） A ．9- B ．9

C ．10

D ．0

【答案】B 【解析】 【分析】

利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +

）（y 22

1x

+）≥（x 12y x y ?+?）2＝9．

当且仅当xy 2

xy

=即xy= 时取等号． 故选：B ． 【点睛】

本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．

7．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1 B ．

13

C ．

12

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

利用柯西不等式得出(

)()()2

222

2

22111x

y z x y z ++++≥++，于此可得出222

x y z ++的最小值。 【详解】

由柯西不等式得()()()22

2

2

2222111

11x y z x y z ++++≥++==，则222

13x y z ++≥， 当且仅当13x y z ===时，等号成立，因此，222

x y z ++的最小值为13

，故选：B.

【点睛】

本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。

8．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <

C ．{|48}x x <≤

D ．{|45}x x <<

【答案】B 【解析】 【分析】

分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】

当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时

45x <<；

当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}

5x x <，故选B. 【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.

9．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】

注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，

下面用数学归纳法证明该式对于*

,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设(

)*

3,n k k k N

=≥∈时不等式成立，即23

k

k >,

则当1n k =+时，123333k k k +=?>，

而()(

)2

2

2

*

31221k k k k k N

-+=--∈，

结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->?-?->， 故当*3,k k N ≥∈时，()()2

2

22310,31k k k k -+>>+. 综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．?

B ．{|3x x >或2}x ?

C ．{|3x x >或0}x <

D ．{|3x x >或0}x <

【答案】B 【解析】 【分析】

可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】

∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】

考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．

11．若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．1-或5

C ．1-或4-

D ．4-或8

【答案】D 【解析】

试题分析：由题意，①当12

a

->-

时，即2a >，3(1),2

(){1,12

3(1),1

a x a x a f x x a x x a x --+≤-

=+--<≤-++>-，则当

2

a

x =-

时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②

当12a -<-时，即2a <，3(1),1

(){1,12

3(1),2x a x a

f x x a x a

x a x --+≤-=-+--<≤-

++>-

，则当2

a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12

a

-=-

时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.

12．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈?有

,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的

函数()=3f x mx --，且()f x 为[

)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）

A ．[]0,1

B ．[)1+∞，

C ．(],0-∞

D ．][()

,01,-∞?+∞ 【答案】D

【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤?+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-?+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时

633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-?≥.选D.

考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.

13．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ?=u u u r u u u r

，O 为坐标原点，则

OB 的最大值是（ ）

A

1- B

C

1 D

【答案】C 【解析】 【分析】

设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得2

2

1x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放

. 【详解】

设(),B x y ，则224a c +=，()2

21x y c +-=，

()

2

22251x a y x y ax cy -+=?+=++

11≤+

=+

取等号条件：ay cx =；

令OB d ==，则212d d

≤+，得1d ≤.

故选：C. 【点睛】

本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.

14．使不等式(1||)(1)0x x -+>成立的充分而不必要的条件是（ ） A ．{|11}x x x <->或 B ．{|11}x x -<< C ．{|11}x x x >-≠且 D ．{|11}x x x <≠-且

【答案】B 【解析】 【分析】

解不等式()()1||10x x -+>,求得集合A,使不等式成立的充分而不必要的条件为B,则B A ü,即可对比选项得解.

【详解】

不等式()()1||10x x -+>

则()()1010x x ?->??

+>?? 或()()10

10

x x ?-

则不等式()()1||10x x -+>的解集为{

11A x x =-<<或}1x <- 使得不等式(1||)(1)0x x -+>成立的充分而不必要的条件为B,则B A ü 对比选项可知B 符合要求 故答案为:B 【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法,充分不必要条件的应用,属于中档题.

15．已知下列命题：①,122x R x x ?∈-++>；②函数21

()lg

3f x x x

=+-的零点有2个；③2x >是2320x x -+>的充分不必要条件；④命题：32,10x x x ?∈--≤R 的否定是：32,10x x x ?∈-->R ，其中真命题有( ) A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D 【解析】 【分析】

由绝对值不等式，得()()12123x x x x -++≥--+=，故①正确；由图象可知

lg y x =和23y x =-在()0,+?

上有两个交点，故②正确；由2

320x

x -+>，得2

x >或1x <，故③正确；全称命题的否定为特称命题，并将“≤”改为“>”，故④正确.

【详解】

Q ()()12123x x x x -++≥--+=，

∴ ,122x R x x ?∈-++>，①正确；

函数21

()lg 3f x x x

=+-定义域为()0,+?，

由21

()lg

30f x x x

=+-=， 得2

lg 30x x -+-=即2

lg 3x x =-，

由图可知lg y x =的图象和2

3y x =-在()0,+?

上有两个交点，

所以方程2

lg 3x x =-有两个解， 即21

()lg

3f x x x

=+-有2个零点，②正确； 由2320x x -+>，解得2x >或1x <，

所以2x >是2320x x -+>的充分不必要条件，③正确；

命题：32,10x x x ?∈--≤R 的否定是：32,10x x x ?∈-->R ，④正确. 故选：D 【点睛】

本题考查了绝对值不等式、函数的零点问题、充分条件与必要条件的判断以及全称命题的否定，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.

16．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足

12

log 0f x ??

< ???

的x 的取值范围是( ) A ．()10,

2,2??

+∞ ???U B ．()1,11,22??

???

U C ．()1,

2,2?

?

-∞+∞ ???

U D ．()1,12,2???+∞ ???

【答案】A 【解析】 【分析】

利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12

log 0f x ??

< ???

，得到12log 1x >，解绝对

值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围. 【详解】

偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，

所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，

由1

2

log 0f x ?

?

< ???

可得12log 1x >，

所以

12

log 1x >或12

log 1x <-，

解可得，1

02

x <<或2x >. 故选：A. 【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题.

17．为使关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1(a ∈R)的解集在R 上为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．(0, 1) B ．(－1, 0)

C ．(1, 2)

D ．(－∞, －1)

【答案】B 【解析】

由绝对值几何意义可知，

最小值为1，则当

，即

时，满足题意

18．集合{}

|12A x x =-<，1393x B x ??

=<

，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-

C ．()1,3

D ．()1,3-

【答案】B 【解析】 【分析】

计算得到{}

13A x x =-<<，{}

12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】

1

8{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ??=<<=-<

， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】

本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.

19．曲线3

12ln 3

y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3

2

D ．1

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于3

12ln 3

y x x =

+，根据导数的几何意义得：

()()2221130k f x x x x x x x '==+

=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立，

所以3

12ln 3

y x x =

+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

20．已知不等式1x m -<成立的一个充分非必要条件是11

32x ≤≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．14,23??

-

???

? B ．14,23??

-

??

? C ．1,2?

?-∞-

??

?

D ．4,3

??+∞????

【答案】B 【解析】 【分析】

先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组113

112m m ?-

??

，即可求解．

【详解】

由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+， 因为不等式1x m -<成立的一个充分非必要条件是

1132

x ≤≤， 则1131

12m m ?

-??

，解得1423m -<<，即实数m 的取值范围是14,23??- ???．

故选B ． 【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中正确求解不等式的解集，集合充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．