高考数学专题——双曲线的定义及几何性质

高三数学一轮复习专讲专练——双曲线
一、要点精讲
1、双曲线的定义与几何性质：
定 义
1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于
2
1F F ）的点的轨迹
2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e
e （＞1）的点的轨迹
标准方程
-22a x 22
b y =1()0,0>>b a -22a y 2
2
b x =1()0,0>>b a 图 形
性质
范围
a x ≥或a x -≤，R y ∈
R x ∈，a y ≥或a y -≤
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
渐近线
x a
b y ±
= x b
a y ±
= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B
焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02
轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2
离心率
1>=
a
c
e ，其中22b a c += 准线
准线方程是c a x 2
±=
准线方程是c
a y 2
±=
2、双曲线的形状与e 的关系：因为双曲线的斜率122
2-=-=
=e a
a c a
b k ，所以e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。

3、共渐近线的双曲线系方程：与-22a x 22b y =1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-22a
x ()022
≠=λλb y ，
若0>λ，则双曲线的焦点在 轴上；若0<λ，则双曲线的焦点在 轴上。

二、高考链接
1、（2010安徽理）双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为
A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B 、52⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C 、62⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D 、
)
3,0
2．（2013年湖北）已知π
04
θ<<,则双曲线1C :
22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
3．（2013课标）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>5
2
则C 的渐近线方程为 （ ）
A ．1
4
y x =±
B ．13
y x =±
C ．12
y x =±
D ．y x =±
4．（2013湖南）设F 1、F 2是双曲线C,22
221a x y b
-= (a>0，b>0)的两个焦点。

若在C 上存在一点P ，使PF 1
⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为____13+_______.
5.（2010北京）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆
22
1259
x y -=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

4,0
±30x y +=6．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2
m 2＋4
＝1的离心率为5，则m 的值为______．解：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4
m
＝5，所以m ＝2.三、典例精讲 考点一：双曲线的定义
1、(2011四川)双曲线x 264－y 2
36＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是
________．解：双曲线中，a ＝8，b ＝6，所以c ＝10，由于点P 到右焦点的距离为4,4＜a ＋c ＝18，所以点P 在双曲线右支上．由定义知点P 到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P 到双曲线左准线的距离为d ，再根据双曲线第二定义，有20d ＝c a ＝10
8
，故d ＝16.
2、平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 2
12＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点
的距离为________．解：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.
3．P 为双曲线x 2
－y 2
15
＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．
解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线
x 2－
y 2
15
＝1的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.4.（09辽宁）以知F 是双曲线
22
1412
x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。

解：注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0)，于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a ＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A 、P 、F’三点共线时等号成立.5．(2012大纲)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=
A.14
B.35
C.34
D.4
5
资料个人收集整理，勿做商业用途解：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2.又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝
42
2＋
22
2－42
2×42×22
＝3
4
.故选C.6、ABC ∆中，A 、B 、C 所对三边为c b a ,,，()()0,1,0,1C B -，求满足A B C sin 2
1
sin sin =-时，顶点A 的轨迹，并画出图形。

考点二：求解双曲线方程
7、求适合下列条件的双曲线的标准方程 ⑴虚轴长为12，离心率为
45； ⑵顶点间距离为6，渐近线方程为x y 2
3±= ⑶与双曲线92
x －16
2y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；
⑷与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.
8．双曲线S 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝
6
2
，直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于43
3
. 求双曲线S 的方程；解析：(1)根据已知设双曲线S 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝c a ＝62，∴c ＝62a ，b 2＝c 2－a 2
＝a 2
2
. ∴双曲线S 的方程可化为x 2－2y 2＝a 2，∵直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433，右焦点为⎝⎛⎭
⎫62a ，0，∴
⎪⎪⎪⎪
3×6a 2＋523
＝
43
3
，解方程得a ＝ 2. ∴双曲线S 的方程为x 2－2y 2＝2.考点二：双曲线的几何性质
9、设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的
差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )．A. x 242－y 232＝1 B. x 2132－y 252＝1 C. x 232－y 242＝1 D. x 2132－y 2
122＝1解: 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为：F 1(－5,0)，F 2(5,0)．设曲线C 2上的一点P .则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 2
3
2＝1.
10、已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦
点相同．则双曲线的方程为________．解：∵双曲线的渐近线为y ＝3x ，∴b
a
＝3，① ∵双曲线的一个焦点与y 2＝16x 的焦点相同．∴c ＝4. ②∴由①②可知a 2＝4，b 2＝12.
∴双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1.11．(2012福建)已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近
线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解：y 2＝12x 的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b 2＝9，b 2＝5， 双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y ＝
5
2x 的距离d ＝|5×3－0|5＋4
＝ 5.12.（08全国）设1a >，则双曲线22
22
1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ．(22)，
B ．(25)，
C ．(25)，
D ．(25)，
13．(2012湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 2
80＝1解：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±b
a
x 上，得a ＝2b .结合c ＝5，得4b 2＋b 2＝25，
解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为
x 220－y 2
5
＝1.14．(2012课标)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程 得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C.15．(2011浙江)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2
－y 2
4＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近
线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝1
2
D ．b 2＝2
解：依题意a 2－b 2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x ＝±ab
4a 2＋b 2
，故被椭圆截得的弦长为
25ab 4a 2＋b 2，又C 1
把AB 三等分，所以25ab 4a 2＋b
2＝2a
3，两边平方并整理得a 2＝11b 2，代入a 2－b 2＝5得b 2＝1
2
，故选C.在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要掌握以下内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，16、 (2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．A. 2 B. 3 C.
3＋12 D.5＋1
2
资料个人收集整理，勿做商业用途解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F (c,0)，B (0，b )，则k BF ＝－b c ，渐近线方程为y ＝±b
a
x ，∴－b c ·b a ＝－1，即b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴e 2
－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e ＞1，∴e ＝5＋12
.
17．（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为0
60的直线11A B 和
22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率
的取值范围是
（ ）A ．23
2] B ．23
2) C ．23
)+∞ D ．23
[
)+∞ 解：设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率b a 必须满足33<b a ≤3，所以13
<⎝⎛⎭⎫b a 2
≤3，
43<1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤4，即有23
3<
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
≤2.又双曲线的离心率为e ＝c
a
＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
，所以2
3
3<e ≤2.18.（09重庆）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为5
x =5e = （Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(5,0)-，B 是圆22(5)1x y +-=上的点， 点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标；
解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，
故可设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，设22c a b =+
由准线方程为5x =25
a c =5e = 得5c a =解得1,5a c == 从而2
b =，∴该双曲线的方程为2
2
14
y x -=； （Ⅱ）设点D 的坐标为5,0)，则点A 、D 为双曲线的焦点，|
|||22MA MD a -==
所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+
++≥ ，
B 是圆22(5)1x y +=上的点，其圆心为5)
C ，半径为1，
故||||1101BD CD -=≥ 从而||||2||101MA MB BD ++≥ 当,M B 在线段CD 上时取等号，此时||||MA MB +101 直线CD 的方程为5y x =-+M 在双曲线右支上，故0x >
由方程组2244
5
x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩ 得542454233x y == ∴M 5424542(33； 19．（2013年大纲）已知双曲线()22
1222:10,0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直
线2 6.y C =与的两个交点间的距离为
(Ⅰ)求,;a b (Ⅱ)2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -
证明:22AF AB BF 、、成等比数列。