2020年高一暑假数学补习题 (23)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (23)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知复数z =−1+i ，z 是z 的共轭复数，在复平面内，z 所对应的点位于( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 2. 已知复数z =2−i ，则z ⋅z −

的值为( )

A. 5

B. √5

C. 3

D. √3

3. 使sinx ≤cosx 成立的x 的一个变化区间是( )

A. [−

3π4

,π4] B. [−π2,π

2]

C. [−π4,3π

4]

D. [0,π]

4. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π

2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为 ( )

A. f(x)=sin(x +π

12) B. f(x)=sin(x +π

6) C. f(x)=sin(2x +π

12)

D. f(x)=sin(2x +π

6)

5. 已知平面向量a ⃗ =(3,0)，a ⃗ +2b ⃗ =(1,2√3)，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角等于( )

A. π

6 B. π3 C. 2π

3 D. 5π6

6. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =60∘，则BD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = A. −6 B. −3 C. 3 D. 6

7. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，若l//α，l//β，α∩β=m ，则( )

A. l 与m 平行

B. l 与m 相交

C. l 与m 异面

D. 以上三个答案均有可能

8. 已知在m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面，若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2=M ，则

α//β的一个充分条件是( )

A. m//β且l 1//α

B. m//β且n//β

C. m//β且n//l 2

D. m//l 1且n//l 2

9. 三棱锥A −BCD ，AB =AC =2DB =2DC =4，且∠BDC =∠ABD =∠ACD =60∘则三棱锥A −

BCD 外接球的表面积为( )

A. 9π

B.

34π3

C. 12π

D.

523

π

10. 在四面体ABCD 中，BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，BD ⊥BC ，BD =AD =1，BC =2，则异面直线AB

与CD 所成角的余弦值为( )

A. √105

B. 3√10

10

C. √155

D. √10

10

11. 已知正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长为2，延长线段CC 1至点P ，且C 1P =1，过点P 做平面α，

使得棱BC 、A 1B 1、CC 1的与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积为( )

C. 3√2

D. 2√3

A. 3√3

B. 8√3

3

12.如图，AB=AC=BD=1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，

BD与平面α成30°角，则C，D间的距离()

A. 1

B. 2

C. √2

D. √3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为______ ．

14.若圆锥的母线为√2，高为1，则圆锥的侧面积为．

15.已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(0,−1),若(a⃗−λb⃗ )//a⃗ ,则实数λ=_______．

16.已知，且sin(α+β)=cosα，则tan(α+β)=______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.当实数m为何值时，z=m2−m−6

+(m2+5m+6)⋅i，

m+3

(1)为实数；

(2)为虚数；

(3)为纯虚数．

18.已知a⃗=(2,1)，b⃗ =(−3,4)，求：a⃗+b⃗ ，a⃗−b⃗ ，3a⃗+4b⃗ 的坐标．

19.在△ABC中，内角ABC的对边分别为a，b，c，设(sin B−sin C)2=sin2A−sin Bsin C

(1)求A

(2)若√2a+b=2c，求sin C

20. 在非直角△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边．已知a =4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =5，求： (1)tanA

tanB +tanA

tanC 的值； (2)BC 边上的中线AD 的长．

21. 如图，已知A 1B 1C 1−ABC 是三棱柱，D 是AC 的中点．求证：AB 1//平面DBC 1．

22. 已知ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体．

(1)证明：A 1C 1//平面ACB 1；

(2)证明：平面ACB 1⊥平面B 1BDD 1．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：【分析】

本题考查了共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．

利用共轭复数的定义、几何意义即可得出．

【解答】

解：复数z=−1+i，z=−1−i，

∴z所对应的点(−1,−1)位于第三象限．

故选：C．

2.答案：A

解析：【分析】

由z求出z−，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．

本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．

【解答】

解：由z=2−i，得z⋅z−=(2−i)(2+i)=4−i2=5．

故选：A．

3.答案：A

解析：画出单位圆及正、余弦线，如图阴影部分即为符合条件的角x的范围，x∈[2kπ−3π

4

,2kπ+

π

4

],k∈Z，k=0时，即为A选项，其他都不符合题意．

4.答案：D

解析：【分析】

本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．

由函数的图象求出周期，由周期求出ω，由正弦函数的性质求出φ的值，

可得函数的解析式．

【解答】

解：由函数的图象可得：3T

4=11π

12

−π

6

=3π

4

,则T=π，又由于ω=2π

T

，∴ω=2，

故f(x)=sin(2x+φ)．

再根据图象可得，k∈Z，

即φ=2kπ+π

6

，k∈Z．

又因为|φ|<π

2，则φ=π

6

，