ch08-2 相对论习题课

第八章 狭义相对论基础
力学相对性原理 对称性扩展
狭义相对性原理 光速不变原理
伽利略 变换
洛仑兹 变换
绝对时空观 比 较
狭wenku.baidu.com相对论时空观
相对论动力学基础
一. 狭义相对论的基本原理 1.狭义相对性原理：
物理定律在所有的惯性系中都有相同的数学形式。
2.光速不变原理：
在所有惯性系中，真空中的光速都恒为c。
2.每个惯性系中的观察者都认为其它系内各处的钟是未 校对同步的，迎面而来的钟超前。
3.不同惯性系内的钟只有在相遇时才能直接彼此核对读 数，其它时刻只能靠本系内各处的同步钟对照。
解： 设地面系为 s 系，飞船系为 s′ 系。
S′
ur
o t = t′ = 0
S
o′
甲地
x′
乙地 x
u = 0.866c = 3c 2 ; γ = 1 1 − (u c)2 = 2
S′系
解：设实验室为S 系，
S系
甲乙
甲电子为 S ′ 系
o
x
在 S 系中，乙电子的速率为 vx = 0.7c
S′ 系相对于S 系运动 u = - 0.6c
由洛仑兹速度变换公式：
v′x
=
vx − u 1 − uv x c2
=
0.7c − (−0.6c) 1 − 0.7c(−0.6c) c2
=
1.3c 1.42
光脉冲从船尾传到船头为因果关联事件，在地球 系中时序不变：
∆t地球 ≠ 0， ∆l地球不是地球系中观测的飞 船长度， 而只是两事件的空间间 隔。
解二：设飞船系为 s′ ，地球系为s ，飞船系中
∆x′ = 90 ∆t′ = 90 c
由洛仑兹变换，地球系中：
∆ x = γ (∆ x ′ + u ∆ t ′)
L
=
sin30o sin45o
L′
=
2 ×1 = 0.707m 2
习题课
例1.在惯性系K 中，有两个事件同时发生在x 轴
上相距1000 m的两点，而在另一惯性系 K（′ 沿x
轴方向相对于 K系运动）中测得这两个事件发生
的地点相距2000 m。求在 K ′系中测这两个事件
的时间间隔。
解： 由洛仑兹变换得：
。
s′ A′ vr
s
∆x
x′ x
A
B
s′ A′ vr
s
∆x
x′ x
AB
∆x
答案：
;
v
1 − v2 c2 ⋅ ∆x v
s′ A′ vr x′
s ∆x
x
AB
s′ A′ vr x′
s ∆x
x
AB
四.空间量度的相对性（动尺缩短） 练习1：一列高速火车以速率 u 驶过车站，站台上 的观察者甲观察到固定于站台、相距 1m 的两只
∆x
)
=
−
γu∆x
c2
= −2×
3 2
×
1000 3 × 108
=
−5.77 × 10−6 (s)
负号的意义是什么？ 在 K ′ 系中 ，事件2先发生
例2：宇宙飞船相对地球以0.8c飞行，一光脉冲从船
尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长90 m，地 球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的 空间间隔是：
二. 洛仑兹变换
x ′ = γ (x − ut )
y′ = y z′ = z
t ′ = γ ⎜⎛ t −
⎝
u c2
x ⎟⎞ ⎠
γ = 1 1 − (u c)2 > 1
⎧ ⎪v' x ⎪
=
1
vx − u − uv x c 2
⎪⎪ ⎨
v'
y
⎪
=
γ
(1−
vy uv x
c2 )
⎪
⎪ ⎪⎩
v'
z
=
γ
(1−
vz uv x
(D)
v2 − v1
v1 1 − v12 c2
答案： （B）
练习3.
某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球，若地球上测
得它发出的两个信号之间的时间间隔为 10 s ，则 宇航员测出的相应的时间间隔为：
( A) 6 s (B) 8 s (C ) 10 s (D) 16.7 s
答案： （A）
10 = ∆t 1 − 0.82
y y′
ur
o o′
θ x′
x
得
∆x ∆x′
=
tg30o tg45o
根据相对论“尺缩”效应，有
∆x = ∆x′ 1 − ( u )2 即 c
∆x = 1 − ( u )2
∆x′
c
于是
得
由于 所以 米尺长度
1−
u2 c2
=
tg30o tg45o
u = 2c = 0.816c 3
∆y = ∆y′
L′sin30o = Lsin45o
与运动员同方向上以 u=0.6c 运动的飞船中观测，这
个选手跑了多长距离？用了多少时间？
思考：有原时和原长吗？
地球系 s
飞船系 s′
事件I:起跑 事件II:到终点
( x1 ,t1)
( x2 ,t 2)
( x1′ ,t′1)
( x′2 ,t2′ )
s中： x2 − x1 = 100m为原长；
s′中： x′2 − x1′非观测长度；
t2 − t1 = 10s非原时。
t2′ − t1′非原时。
解： 由洛仑兹变换得
∆t′
=
γ
(
∆t
−
u c2
∆x
)
=
1 1 − ( 0.6c
)2
( 10 −
0.6c c2
×100 )
≈
12.5 s
c
∆x′ = γ (∆x − u∆t)
= 1.25 × (100 − 0.6c ×10) = −2.25 ×109 m
抵 达
x
0:00
乙地
3:00 ur
x
6:00
甲地
6:00
乙地
0:00
0:00
− ur
3:00
0:00
甲地
3:00
− ur
1:30
6:00
甲地
乙地
0:00
x′
4:30
乙地
3:00
x′
结论
飞船钟慢
地面钟慢
例6： 有一静止的电子枪向相反方向发射甲、乙两个电
子。实验室测得甲电子的速率为 0.6c , 乙电子速率为 0.7c ，求一个电子相对于另一个电子的速率。
解： （1）由相对论效应，观测站测出船身的长度为
L = γ −1L0 = 1 − 0.82 × 90 = 54(m)
观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔
∆t
=
L v
=
54 0.8 × 3 ×108
=
2.25 ×10−7 (s)
（2）宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔
∆t0
=
L0 v
=
90 0.8 × 3 ×108
∆t = 6(s)
练习4. 牛郎星距地球16光年，宇宙飞船若以速率 v =
匀速飞行，将用4年时间（飞船钟）抵达牛郎星。
解：飞船时为原时：
地球时为观测
时：
由
∆t = γ∆t′
∆t′ = 4年
∆t = 16光年 = 16c 年
v
v
16c =
4
v
1− v2 c2
得： v = 16 ⋅ c ≈ 2.91 × 10 8 m ⋅ s-1 17
如果在 s 系中测得米尺与 ox 轴成 45o 角， 那么，s′系相对于 s 系的运动速度 u 为多大？ s 系
中测得米尺的长度是多少？
y y′ o o′
思考：
ur
哪一个是原长？
尺在哪一个方向收缩？
θ
x x′ 请自行列式计算
解： 由题意可知
tg30o = ∆y′ ∆x′
tg45o = ∆y ∆x
由 ∆y = ∆y′
3
3c 2
⎟⎟⎠⎞
=
4.5(h)
0:00
0:00
− ur
0:00
甲地
0:00
x′
4:30
乙地
抵达乙地时
x甲′ = − 3 3c 2， x乙′ = 0
t乙 = 6(h)
t甲
=
γ
⎜⎛ t′ ⎝
+
u c2
x′⎟⎞ ⎠
3:00
3:00
− ur
1:30
6:00
甲地
乙地
= 2⎜⎜⎝⎛ 3 +
3c c2
2（⋅ －3
1 − 0.82 ⎝
c⎠
对不对？
不对！设飞船系为 s 地球系为 s′，
s′相对 s以 - 0.8c 运动，地球系中
∆x′ = γ (∆x − u∆t) = 1 ⎜⎛90− ( −0.8c )× 90⎟⎞ = 270 m
1− 0.82 ⎝
c⎠
例3.地面上一个短跑选手用10 s 跑完100 m ，问在
=
3.75 ×10−7 (s)
例5：设飞船以0.866 c 速率相对地面飞行，先后 通过地面上的甲地和乙地。在飞船通过甲地时， 将地面和飞船钟校准指零。若地面系测得的飞船 由甲地至乙地的时间间隔为6小时，飞船系测得的 时间间隔为多少？为什么地面系和飞船系的观察 者都认为对方的钟走慢了？
注意：
1.每个惯性系中的观察者都认为本系内各处的钟是校对 同步的。
地球系：非原时； 飞船系：原时
请自行列式计算
解：按地球上的时钟计算，飞船飞到 α 星所需时间为
∆t
=
s v
=
4.3 ×1016 0.999 × 3 ×108 × 365 × 24 × 3600
=
4.55年
若用飞船上的钟测量，飞船飞到 α 星所需时间为
τ = γ −1∆t = 1 − 0.9992 × 4.55 = 0.203年
s : x = u∆t = 3c 2 × 6 = 3 3c ;
s′ : x′ = γ −1 x = 3 3c 2
飞船系对地面系中甲、乙地坐标和钟读数的看法：
由甲地出发时
x甲′ = 0， x乙′ = 3 3c 2
t甲 = 0
t乙
=
γ
⎜⎛ t′ ⎝
+
u c2
x′⎟⎞ ⎠
=
2⎜⎜⎝⎛ 0
+
3c c2
2⋅
机械手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上的
观察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？
乙 ur
思考： 哪个长度为原长？
1m 甲
站台系：动系，两端同时测 ∆s = 1m 非原长
车厢系：静系，∆s′ = ? 为原长
∆s′ = γ∆s =
1
1−
u2 c2
> 1 (m)
练习2
一根米尺静止放置在 s′系中，与 o′x′ 轴成 30o 角，
23c）⎟⎟⎠⎞ = 1.5(h)
飞船系认为，从甲地—乙地的时间间隔
飞船钟： 0：00 — 3：00
地面乙地钟：4：30 — 6：00
地面甲地钟：0：00 — 1：30
3:00
x′
地 面 钟 慢
Q u = 0.866c; ∴ γ = 2
地面系
飞船系
0:00
ur
=
r 0.866ci
出 发
0:00
甲地
≈
0.92c
<
c
五、相对论动力学的三个主要关系
质速关系： 质能关系：
m( u ) = m0 1− u2 c2 = γ m0
总能 静能 动能
飞船系所测时间间隔为原时
由 : ∆ t = 6 (h ) 得： ∆ t ′ = γ −1∆ t = 3 (h )
地面系对飞船系中钟的读数的看
出发 0:00
ur
=
法： r 0.866ci
抵达
x
0:00
甲地
0:00
乙地
6:00
甲地
3:00 ur
飞
船
x钟
6:00
慢
乙地
地面系、飞船系中乙地的空间坐标分别为
练习4.
在 S 系中的 x 轴上距离为∆x 处有两个同步的钟A
和 B ，在 S′ 系中的 x′ 轴上有一个同样的钟 A′ ， 设 S′ 系相对于 S 系的速度为v ，沿 x 方向，且
当 A′ 与 A 相遇时，两钟的读数均为零。
那么，当 A′ 钟与 B 钟相遇时，在 S 系中 B 钟
的读数是
；
此时在 S′ 系中 A′ 钟的读数是
=
1 ⎜⎛ 90 + 0.8c × 90 ⎟⎞ = 270 m
1 − 0.82 ⎝
c⎠
解三：设飞船系为 s ，地球系为 s′ ， s′ 相对 s 以 0.8c 运动，飞船系中
∆x = 90 ∆t = 90 c
由洛仑兹变换，地球系中：
∆ x ′ = γ (∆ x − u∆ t ) =
1
× ⎜⎛ 90 − 0.8c × 90 ⎟⎞ = 30 m
在飞船中的观察者看来，选手用12.5秒时间反向 跑了 2 .25 × 10 9 米。
例4.一宇宙飞船的船身固有长度为 L0 = 90 m ，
相对地面以 v = 0 .8 c 的匀速率在一观测站的
上空飞过。
（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间 间隔是多少？
（2）宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间 间隔是多少？
（A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 m
解一：设飞船系为 s′ ，地球系为s ，
s′ 中光脉冲通过的距离为： ∆l′ = 90m
由尺缩效应， S 中光脉冲通过的距离为：
× ∆l = γ −1∆l′ =
1−
u2 c2
⋅ ∆l′
=
0.6 × 90 =
54m
对不对？
× 解一：
为什么？
∆x′ = γ (∆x − u∆t ) ;
思路：γ → u → ∆t′
∆t′
=
γ
⎜⎛ ⎝
∆t
−
u c2
∆x
⎟⎞ ⎠
由题意： 可得：
∆x = 1000m , ∆t = 0, ∆x′ = 2000m
γ
=
∆x′ ∆x
=
2
由 γ=
1
1−(
u c
)2
得
u=
3 2
c
于是：
∆t′
=
t 2′
−
t1′
=
γ
(
∆t
−
u c2
c2 )
三.时间量度的相对性（动钟变慢） 练习1
半人马座 α 星是距离太阳系最近的恒星，它
距离地球 4.3 ×1016m ，设有一宇宙飞船自地球飞到
半人马 α 星，若宇宙飞船相对地球的速度为
0.999c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如 以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？
思考：哪个时间为原时？
正是时间膨胀效应使得在人的有生之年进行 星际航行成为可能。
练习2.
一火箭的固有长度为 L ，相对于地面匀速直线运
动的速率为 v1 ，火箭上的人从火箭后端向位于前端
的靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为 v2 ，在
火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：
L
L
( A)
(B)
v1 + v2
v2
L
L
(C )