5 第3章 差分方程模型(一)

3.1.2 一阶差分方程
差分（difference）用来刻画数列的变化率. 定义 数列 {xk } (k 0,1, 2, ) 的一阶差分为： xk xk 1 xk .
xk 刻画了数列 {xk } 从第 k 时段到第 k+1 时段的在单 位时段内的改变量 . 显然一阶差分也构成一个数列 {xk } (k 0,1, 2, ) .
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
差分方程的解 {xk } 的极限 lim xk 刻画了动态过程
k
长期变化之后的结局. 极限 lim xk 与差分方程的平衡
k
点及渐进稳定性有密切关系. 对于一阶差分方程(3.1.2)式，令 xk 1 xk x ，就 得到一元代数方程 (3.1.5) x F ( x) (3.1.5)式的解 x x 就是(3.1.2)式的平衡点.
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
r=[.09;.09;-.1;-.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09]; % 增长率 x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15]; % 初始值 for n=1:20 x(:,n+1)=(1+r).*x(:,n); % 迭代计算 end s{1}='单调增趋于正无穷大,r>0,x_0>0'; s{2}='单调减趋于负无穷大,r>0,x_0<0'; s{3}='单调减趋于 0,-1<r<0,x_0>0'; s{4}='单调增趋于 0,-1<r<0,x_0<0';
3.1.3 二阶差分方程
定义数列 {xk } (k 0,1, 2, ) 的二阶差分为：
2 xk xk 1 xk xk 2 2xk 1 xk 2 xk 刻画了一阶差分数列 {xk } 从第 k 时段到第 k+1 时段的在单位时段内的改变量，显然二阶差分也构成 一个数列 {2 xk } (k 0,1, 2, ) .
3.1.1 动态模型
平 衡 点 （ equilibrium point ） ，又称为临界点 （critical point） ，是指当系统的状态处于该点时，状 态的变化率为零. 按照系统在平衡点附近的状态的变化趋势，又把 平衡点区分成渐进稳定的（asymptotic stable）和非 渐进稳定的两类：如果系统在平衡点的附近的状态将 趋向该平衡点，该平衡点为渐进稳定的（简称为稳 定） ，否则为非渐进稳定的（简称为不稳定）. 平衡点及渐进稳定性能够描述动态模型的长期 变化之后的结局.
0 5 10 15 20 单 调 减 趋 于 0,-1<r<0,x 0>0
0 5 10 15 20 单 调 增 趋 于 0,-1<r<0,x 0<0
100 0 -100
0 5 10 15 20 振 荡 衰 减 趋 于 0,-2<r<-1,x 0>0
100 0 -100
0 5 10 15 20 振 荡 衰 减 趋 于 0,-2<r<-1,x 0<0
3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程
如果 r≠0，(3.2.4)式有且仅有平衡点 x b r . 容 易证明： 平衡点 x b r 是渐进稳定的当且仅当 −2<r<0. 平衡点 x b r 的渐进稳定性也属于全局渐 进稳定性.
3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化
3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程
一阶线性常系数非齐次差分方程形如 (3.2.4) xk 1 (1 r ) xk b, k 0,1, 2, 其中 r 是常数，b 是非零常数. 如果 r=0， (3.2.4)式即公差为 b 的等差数列， 解为 xk x0 kb, k 0,1, 2, 如果 r≠0，(3.2.4)式的解为 b b k xk x0 1 r , k 0,1, 2, (3.2.5) r r b 引入变量替换 yk xk , k 0,1, 2, ，可得(3.2.5)式. r
二阶差分方程就是形如 2 xk f ( xk 1, xk ), k 0,1, 2, 的方程，其中 f 是与 k 无关的二元函数.
(3.1.3)
3.1.3 二阶差分方程
(3.1.3)式即数列递推关系 (3.1.4) xk 2 F ( xk 1 , xk ), k 0,1, 2, 其中二元函数 F ( x, y) 2 x y f ( x, y) . (3.1.4)式也称 为二阶差分方程 . 满足 (3.1.4)式的数列 {xk } 称为二阶 差分方程的解. 不同的初始值，导致不同的解；但给 定初始值 x0 和 x1 以后，解就是唯一确定的. 给定初始值 x0 和 x1 ， 然后用循环语句实现二阶差 分方程所给出的迭代过程，可以计算出有限步内的数 值解.
(3.2.1)式的解为等比数列
xk x0 1 r , k 0,1, 2,
k
(3.2.3)
如果 r 0 ， 则(3.2.1)式有且仅有平衡点 x=0. 根据 等比数列的性质知： lim xk 0 当且仅当 1 r 1 ，即
k
平衡点 x=0 是渐进稳定的当且仅当−2<r<0. 由于 x=0 是(3.2.1)式唯一的平衡点，所以它的渐进稳定性属于 全局渐进稳定性. 以下程序选取 r 和 x0 的值， 按(3.2.1)式迭代计算， 绘制图形，直观的说明(3.2.1)式的解的长期行为：
第3章
差分方程模型
3.2节
一阶线性常系数 差分方程及其应用
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
一阶线性常系数齐次差分方程形如： (3.2.1) xk 1 (1 r ) xk , k 0,1, 2, 其中 r 是常数. 在建模的时候，(3.2.1)式中的 xk 是实 际对象在第 k 时段的状态值，参数 r 是相邻时段的用 前差公式计算的增长率： xk 1 xk (3.2.2) r , k 0,1, 2, xk 由(3.2.2)式可见， (3.2.1)式的模型假设为 “用前差公式 计算的增长率为常数”.
是(3.1.2)式的常数解，并且有 xk 0, k 0,1, 2, .
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
对于二阶差分方程(3.1.4)式，令 xk 2 xk 1 xk x 就得到一元代数方程 x F ( x, x) (3.1.6)式的解 x x 就是(3.1.4)式的平衡点.
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
s{5}='振荡衰减趋于 0,-2<r<-1,x_0>0'; s{6}='振荡衰减趋于 0,-2<r<-1,x_0<0'; s{7}='振荡增长趋于无穷大,r<-2,x_0>0'; s{8}='振荡增长趋于无穷大,r<-2,x_0<0'; for k=1:8 subplot(4,2,k), plot(0:20,x(k ,:),'k.'), grid on axis([-1,21,-100,100]), xlabel(s{k}) end gtext('一阶差分方程 x_{k+1}=(1+r)x_k 的解的长期行为')
3.1.1 动态模型
有一些动态过程的状态适合在离散时段上描述， 用数列 {xk } 表示动态过程在第 k 个时段的状态. 这类 动态过程称为离散动态过程，所建立的模型称为离散 动态模型，也称为离散动力系统，例如差分方程模型. 另一些动态过程的状态随时间连续变化，用连续 函数 x=x(t)表示动态过程在时刻 t 的状态. 这类动态 过程称为连续动态过程，所建立的模型称为连续动态 模型，也称为连续动力系统，例如微分方程模型.
一 阶 差 分 方 程 x k+1=(1+r)x k的 解 的 长 期 行 为 100 100 0 0 -100 -100 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 单 调 增 趋 于 正 无 穷 大 ,r>0,x 0>0 单 调 减 趋 于 负 无 穷 大 ,r>0,x 0<0 100 0 -100 100 0 -100
(Baidu Nhomakorabea.1.6)
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
平衡点的渐进稳定性的定义：如果在使问题有意 义的定义域 D 内，存在平衡点 x x 的邻域 U，对于 所有的初始值 x0 U ，虽然 x0 x ，但是 lim xk x ，
k
那么就称平衡点 x x 是渐进稳定的（简称为稳定）. 对于渐进稳定的平衡点 x x ，如果邻域 U 只能 是 int(D)（D 的全体内点组成的集合）的真子集，称 平衡点 x x 是局部渐进稳定的；如果邻域 U 可以是 int(D)，称平衡点 x x 是全局渐进稳定的.
一阶差分方程就是形如 xk f ( xk ), k 0,1, 2, 的方程，其中 f 是与 k 无关的一元函数.
(3.1.1)
3.1.2 一阶差分方程
(3.1.1)式也就是数列递推关系 (3.1.2) xk 1 F ( xk ), k 0,1, 2, 其中 F ( x) x f ( x) . (3.1.2)式也称为一阶差分方程. 满足(3.1.2)式的数列 {xk } 称为一阶差分方程的解. 不同的初始值， 导致不同的解； 但给定初始值 x0 以后， 解就是唯一确定的. 当 F 是线性函数时，可以给出解 析解；当 F 是非线性函数时，则通常给不出解析解. 给定初始值 x0 ， 然后用循环语句实现差分方程所 给出的迭代过程，可以计算出有限步内的数值解.
问题 Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家 估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为 1.94%，而在中等及较差的自然环境下年平均增长率 分别为-3.24%和-3.82%，即它将逐年减少. 假设在某 自然保护区内开始时有 100 只沙丘鹤，请建立数学模 型，描述其数量变化规律，并作数值计算. 人工孵化是挽救濒危物种的措施之一. 如果每年 人工孵化 5 只沙丘鹤放入该保护区，问在三种自然环 境下沙丘鹤的数量将如何变化？
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
事实上，如果当 k=0 时，由(3.1.2)式描述的离散 动态过程的初始状态值为 x0 x 时，就有
x1 F ( x0 ) F ( x ) x
并且一阶差分
x0 x1 x0 x x 0 即解 {xk } 从第 0 时段到第 1 时段的在单位时段内的改 变量等于 0. 进一步容易证明：常数数列 xk x , k 0,1, 2,
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
对于离散动态过程的状态数列 {xk } ，有三种常用 算法计算第 k 时段的增长率： xk 1 xk （1）前差公式 xk xk 1 xk 1 （2）中点公式 2 xk xk xk 1 （3）后差公式 xk 其中精确度最高的是中点公式.
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
第3章
差分方程模型
3.1节
差分方程模型的基本概念
3.1.1 动态模型
有许多实际问题包含着随时间发展的过程，例如 投资、还贷、养老金、种群增长、疾病传播、化学反 应、污染控制、空间飞行、军事战斗等. 我们对这些 动态过程建立动态模型，表现这些过程的演变，并给 出预测和控制的答案. 动态模型包括差分方程模型、微分方程模型、随 机过程模型等. 动态模型与优化模型相结合的，还有 动态规划模型等.
100 0 -100
0 5 10 15 20 振 荡 增 长 趋 于 无 穷 大 ,r<-2,x 0>0
100 0 -100
0 5 10 15 20 振 荡 增 长 趋 于 无 穷 大 ,r<-2,x 0<0
图3.1
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
说明 （1）x 的第 i 行对应第 i 种情况，第 j 列对应迭 代计算的第 j 步，数组运算使程序简短； （2）通过多次实验，挑选合适的 r 和初始值 x， 使得绘制的图形符合需要. （3）s 是 1× 8 的元胞数组(cell array)，每个元胞 的内容是长度各异的字符串.