国际部高中数学课程简介

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函数和导数

一、函数的性质

1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；

2．值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；

3．奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：

Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求)(x f -； 比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系；

Ⅱ.图象法；

4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：

（1）定义法 步骤①：设2121,x x A x x <∈且；②作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；③判断正负号。

（2）导数法 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则

()0f x ≥' ()x A ∈ ⇔)(x f 在A 内为增函数；()0f x ≤' ()x A ∈ ⇔)(x f 在A 内为减函数.

（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法：

二、函数的图象

基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数.

三、指数函数与对数函数

1．指数式与对数式：0,1,,0log a a b R N b a a N N b >≠∈>=←−−−−−

→= 对数的三个性质：①0N >；②log 10a =；③ log 1a a =

对数恒等式：①log a N a N =；②log log log m a m N N a =；③log log m n a a n M M m

= 对数运算性质：①log ()log log a a a MN M N =+； ②log log n a a M n M =； ③log log log a a a M M N N

=-.(0.1,0,0)a a M N >≠>> 指数运算性质：①r s r s a a a += ②()r s rs a a = ③()r r r ab a b =()0,0,,a b r s Q >>∈

2．指数函数与对数函数

四、导数：

1．几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数） (2) '1()()n n x nx n Q -=∈ (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='

(5) x x 1)(ln =' （6）e a x x

a log 1)(log =' (7) x x e e =')( （8）a a a x x ln )(=' 2．导数的运算法则

（1）'''()u v u v ±=± （2）'''

()uv u v uv =+ （3）''

'2()(0)u u v uv v v v -=≠. 3．单调区间的求解过程：已知)(x f y =

①分析)(x f y =的定义域；

②求导数 )(x f y '='；

③解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间。

三角函数

一、三角函数的基本概念

1．终边相同的角的表示方法（终边在x 轴上；终边在y 轴上；终边在直线y x =上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；

2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）22sin cos 1θθ+=，

tan θ=θθcos sin ， 2211tan cos αα

+=诱导公式（奇变偶不变，符号看象限：．．．．．．．．．．．． 二、两角和与差的三角函数

1．和（差）角公式

（1）sin()αβ+= ；（2）sin()αβ-= .

（3）cos()αβ+= ；（4）cos()αβ-= .

（5）tan()αβ+= ；（6）tan()αβ-= .

2．二倍角公式：（1）sin 2α= ；

（2）cos2α= = = ；

（3）tan 2α= .

三、三角函数的图象与性质

1．列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘：

（1）最值的情况；

（2）三函数的周期公式：

函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y A x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

ω=；若ω未说明大于0,则2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2

x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω

=. （3）会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心；

sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦单调递减区间为 32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣

⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈ cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，

对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭()k Z ∈ tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝

⎭，对称中心为(,0)()2k k Z π∈ 2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．