求曲线的交点
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B
=2[( x1+x2)2 -4x x2] 1
A
0
x
•
见微知著，联想韦达定理
另解：设A(x1,y1)B(x2,y2) y=x+3/2 y=x2/2 所以 x2-2x-3=0
所以 x1+x2=2 x1x2=-3
|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2
=
=
2(x1-x2)2
2[(x1+x2)2-4x1x2]
2 2
弦长的求法 方程组 消元 弦长公式
一元二次方程 判别式
( x1 x 2)
2
2
d ( x1 x 2) (1 k )
2
若消元时消去 x，得到的是关于y 的一 2 元二次方程，求出的是 ( y1 y 2) ，那么 弦长公式又会是怎样的呢？
1 d ( y1 y 2) (1 2 ) k
(一般情况下，步骤（5）可以省略不写。步骤（2）也可省略。）
例：已知直角坐标系内 的点A(1， 0)与直线l：x 3，如果动点P到点A 的距离与到直线 l的距离之和等于 4，求点P的轨迹方程。
解：设P点的坐标为 ( x，y)
由题意得： ( x 1) 2 y 2 | x 3 | 4
复习： 求曲线方程,一般有哪几个步骤？关键是哪 几步？
（ 1 ）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点 M 的坐 标为 ( x , y ) ； （2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | P（M）} ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 f(x,y)=0; （4）化方程 f(x,y)=0为最简形式； （5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。
y1=1/2,
y2=9/2
所以交点A、B的坐标分别是 （-1，1/2），（3，9/2）。 直线被曲线截得的线段的长： |AB|= (3+1)2+(9/2-1/2)2=4 2 A
y B
0
x
探究 与发现：
• 如图：l:y=x+3/2 C;y=x2/2
y
• 设A(x1,y1)B(x2,y2)则：y1-y2=x1-x2 • |AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 • =(x1-x2)2 +(x1-x2)2 • =(1+1)(x1-x2)2 •
由曲线方程的定义可知 ：曲线C1和C 2的交点M的坐标( x1，y1 )应同时 F1 ( x，y ) 0 满足方程(1)和(2)，即( x1，y1 )是方程组 (3)的解；反之， F2 ( x，y ) 0 如果( x 2，y 2 )是方程组(3)的任一组解，那么它必 须同时满足方程 (1)(2) 也就是说：以 ( x 2，y 2 )为坐标的点N必同时在曲线 C1和C 2 上，即N是 曲线C1和C 2的交点坐标。
y
X=3 P
(1)当x 3时，化简得： y 2 12( x 4) (2)当x 3时，化简得： y 2 4x
综上，所求的轨迹方程 为： y 2 12( x 4)(3 x 4)或y 2 4 x(0 x 3)
0 A(1，0) x
一、知识回顾
• 如图1：
故：要求两条曲线的交点坐标，只需解由这两条曲线的 方程所组成的方程组。
如果方程组无实数解，那么这方程的曲线就没有交点。
三、曲线交点的应用举例：
例1、求直线y=x+3/2被曲线y=x2/2截得的线段的长
y
B A 0 x
解：先求交点。 解方程组 y=x+3/2 y=x 2/2 得： x1=-1, x2=3
交点个数 判别式
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
o o
o
d>r
相离
d=r
相切
d<r 相交
变式题训练
• 1、设直线y=kx+1,圆x2+y2=2.试讨论直线与圆的位置 关系？
• • • •
提示： 1、代数法（利用判别式） 2、几何法 3、数形结合[直线过定点（0，1）]
弦长公式
d ( x1 x 2 ) (1 k )
2
总结：
• 1、本课哪些问题是你发现的？同学交 流发现的？在老师指导下发现的？ • 2、你的思路与众相同还是不同？ • 3、哪些内容你参加交流？得到哪些启 示？哪些问题你没有参加交流？为什么？
=
2(4+12)=4 2
练习：
• 如图：直线y=x+m和曲线y=x2 /2的交点是A、B且 OA垂直OB，试确定直线的方程。
y
B
A
0 x
• 例2、已知某圆的方程是x2+y2=2.当b为何值时， 直线y=x+b与圆有两个交点；两个交点重合为一 点；没有交点？
y
o
x
• 解：解方程组 y=x+b (1) • x2+y2=2 (2) • 把（1）式代入（2）式得 • x2+(x+b)2=2 2x2+2bx+b2-2=0 (3) • 方程(3)的判别式 • =(2b)2-8(b2-2)=4(2+b)(2-b) • 当-2<b<2时,判别式大于0,这时方程组有两个不同的 实数解,因此直线与圆有两个交点; • 当b=-2或b=2时,判别式等于0 ,这时方程有两个相等 的实数解,因此直线与圆的两个交 点重合为一点; • 当b>2或b<-2时,判别式小于0,这时方程组没有实数 解,因此直线与圆没有交点.
y
Hale Waihona Puke Baidu
O’
O’(x,y)
A1x+B1y+C1=0
x
o
A2x+B2y+C2=0
如图2、3
y C
交点？
l
C x
y
l
x
0
0
发展
直线的交点 推广 曲线的交点
曲线的交点：
如果曲线C1、C 2的方程分别为 F1 ( x，y ) 0 (1) F2 ( x，y ) 0 (2)
=2[( x1+x2)2 -4x x2] 1
A
0
x
•
见微知著，联想韦达定理
另解：设A(x1,y1)B(x2,y2) y=x+3/2 y=x2/2 所以 x2-2x-3=0
所以 x1+x2=2 x1x2=-3
|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2
=
=
2(x1-x2)2
2[(x1+x2)2-4x1x2]
2 2
弦长的求法 方程组 消元 弦长公式
一元二次方程 判别式
( x1 x 2)
2
2
d ( x1 x 2) (1 k )
2
若消元时消去 x，得到的是关于y 的一 2 元二次方程，求出的是 ( y1 y 2) ，那么 弦长公式又会是怎样的呢？
1 d ( y1 y 2) (1 2 ) k
(一般情况下，步骤（5）可以省略不写。步骤（2）也可省略。）
例：已知直角坐标系内 的点A(1， 0)与直线l：x 3，如果动点P到点A 的距离与到直线 l的距离之和等于 4，求点P的轨迹方程。
解：设P点的坐标为 ( x，y)
由题意得： ( x 1) 2 y 2 | x 3 | 4
复习： 求曲线方程,一般有哪几个步骤？关键是哪 几步？
（ 1 ）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点 M 的坐 标为 ( x , y ) ； （2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | P（M）} ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 f(x,y)=0; （4）化方程 f(x,y)=0为最简形式； （5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。
y1=1/2,
y2=9/2
所以交点A、B的坐标分别是 （-1，1/2），（3，9/2）。 直线被曲线截得的线段的长： |AB|= (3+1)2+(9/2-1/2)2=4 2 A
y B
0
x
探究 与发现：
• 如图：l:y=x+3/2 C;y=x2/2
y
• 设A(x1,y1)B(x2,y2)则：y1-y2=x1-x2 • |AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 • =(x1-x2)2 +(x1-x2)2 • =(1+1)(x1-x2)2 •
由曲线方程的定义可知 ：曲线C1和C 2的交点M的坐标( x1，y1 )应同时 F1 ( x，y ) 0 满足方程(1)和(2)，即( x1，y1 )是方程组 (3)的解；反之， F2 ( x，y ) 0 如果( x 2，y 2 )是方程组(3)的任一组解，那么它必 须同时满足方程 (1)(2) 也就是说：以 ( x 2，y 2 )为坐标的点N必同时在曲线 C1和C 2 上，即N是 曲线C1和C 2的交点坐标。
y
X=3 P
(1)当x 3时，化简得： y 2 12( x 4) (2)当x 3时，化简得： y 2 4x
综上，所求的轨迹方程 为： y 2 12( x 4)(3 x 4)或y 2 4 x(0 x 3)
0 A(1，0) x
一、知识回顾
• 如图1：
故：要求两条曲线的交点坐标，只需解由这两条曲线的 方程所组成的方程组。
如果方程组无实数解，那么这方程的曲线就没有交点。
三、曲线交点的应用举例：
例1、求直线y=x+3/2被曲线y=x2/2截得的线段的长
y
B A 0 x
解：先求交点。 解方程组 y=x+3/2 y=x 2/2 得： x1=-1, x2=3
交点个数 判别式
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
o o
o
d>r
相离
d=r
相切
d<r 相交
变式题训练
• 1、设直线y=kx+1,圆x2+y2=2.试讨论直线与圆的位置 关系？
• • • •
提示： 1、代数法（利用判别式） 2、几何法 3、数形结合[直线过定点（0，1）]
弦长公式
d ( x1 x 2 ) (1 k )
2
总结：
• 1、本课哪些问题是你发现的？同学交 流发现的？在老师指导下发现的？ • 2、你的思路与众相同还是不同？ • 3、哪些内容你参加交流？得到哪些启 示？哪些问题你没有参加交流？为什么？
=
2(4+12)=4 2
练习：
• 如图：直线y=x+m和曲线y=x2 /2的交点是A、B且 OA垂直OB，试确定直线的方程。
y
B
A
0 x
• 例2、已知某圆的方程是x2+y2=2.当b为何值时， 直线y=x+b与圆有两个交点；两个交点重合为一 点；没有交点？
y
o
x
• 解：解方程组 y=x+b (1) • x2+y2=2 (2) • 把（1）式代入（2）式得 • x2+(x+b)2=2 2x2+2bx+b2-2=0 (3) • 方程(3)的判别式 • =(2b)2-8(b2-2)=4(2+b)(2-b) • 当-2<b<2时,判别式大于0,这时方程组有两个不同的 实数解,因此直线与圆有两个交点; • 当b=-2或b=2时,判别式等于0 ,这时方程有两个相等 的实数解,因此直线与圆的两个交 点重合为一点; • 当b>2或b<-2时,判别式小于0,这时方程组没有实数 解,因此直线与圆没有交点.
y
Hale Waihona Puke Baidu
O’
O’(x,y)
A1x+B1y+C1=0
x
o
A2x+B2y+C2=0
如图2、3
y C
交点？
l
C x
y
l
x
0
0
发展
直线的交点 推广 曲线的交点
曲线的交点：
如果曲线C1、C 2的方程分别为 F1 ( x，y ) 0 (1) F2 ( x，y ) 0 (2)