人教版高中数学必修一《分段函数》PPT教学课件

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思想方法 随堂演练
解:(1)函数 y=
1 ������
,0
<
������
<
1,的图象如图①,
2������,������ ≥ 1
观察图象,得函数的值域为(1,+∞).
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉, -2������ + 2,������ ≤ -1,
化为分段函数 y= 4,-1 < ������ ≤ 3,
2������-2,������ > 3, 它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).
课堂篇 探究学习
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课堂篇 探究学习
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样, 所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也 可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对 应点的实虚之分.
函数的概念与性质
第2课时 分段函数
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段
函数的图象. 3.能在实际问题中列出分段函数,并能 解决有关问题.
课前篇 自主预习
分段函数 1.(1)教材P68例5,在画函数图象时,将函数y=|x|化简得到 y= ���-������,������,���������≥<00,.这个函数有什么特点? 提示:当x≥0和x<0时,这个函数表达式不一样,也就是对应关系不 同. (2)作出函数y=2x(x∈R)的图象,再作出y=x2(x∈R)的图象.把这两 个图象放在同一个直角坐标系中还能表示函数图象吗? 提示:函数y=2x(x∈R)和y=x2(x∈R)合起来不能表示函数图象,因 为取某个x值时,y值不一定唯一.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去 掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
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思想方法 随堂演练
变式训练 1 下列图形是函数 y= ������������-21,���,���������<≥00, 的图象的是(
y=
���-������,������,���������≥<00,和
y=
2������,������ ������2,������
< ≥
00,的函数叫分段函数.分段函数
是一个函数还是两个函数?
提示:不管分段函数分了几段,它都是一个函数,不要把它误认为
是几个函数.
(5)请举出几个实际生活中分段函数的例子.
提示:实际生活中,出租车的计费、电信资费、个人所得税额等
均是分段函数.
课前篇 自主预习
2.填空 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不 同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
课前篇 自主预习
3.做一做
������-1,������ > 0, (1)函数 f(x)= 0,������ = 0,
������,������
≥
2,
(1)求 f
������
������
-
1 2
的值;
(2)若f(xຫໍສະໝຸດ Baidu=2,求x的值. (2)分别令 x+2=2,x2=2,12x=2,分段求 x 并验证.
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思想方法 随堂演练
解:(1)f
-
1 2
=-12+2=32,
∴f
������
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思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
解:∵f(x)>0,∴
������ ������
< 0, +2>
0或
0 ≤ ������ < ������2 > 0
2,
或
������ ≥ 2,
1 2
������
>
0,
∴-2<x<0或0<x<2或x≥2,
课前篇 自主预习
(3)在同一个直角坐标系中分别画出函数y=2x(x<0)和y=x2(x≥0)
的图象,这两个函数图象合起来还能表示函数图象吗?如何写它的
解析式?
提示:可以表示函数图象,因为符合函数定义,解析式可写为
2������,������ < 0,
y= ������2,������ ≥ 0.
(4)类似
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反思感悟 1.求分段函数的函数值的步骤 (1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间. (2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知函数值求自变量取值的步骤 (1)先确定自变量,可能存在的区间及其对应的函数解析式. (2)再将函数值代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出自变量的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
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分段函数的图象
例2 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
(1)y=
1 ������
,0
<
������
<
1,
2������,������ ≥ 1;
(2)y=|x+1|+|x-3|. 分析:先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时, 要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.
-
1 2
=f
3 2
=
3 2
2
= 94,
∴f
������
������
-
1 2
=f
9 4
=
1 2
×
9 4
=
98.
(2)当 f(x)=x+2=2 时,x=0,不符合 x<0.
当 f(x)=x2=2 时,x=± 2,其中 x= 2符合 0≤x<2.
当 f(x)=12x=2 时,x=4,符合 x≥2. 综上,x 的值是 2或 4.
当x∈[5,8]时,f(x)∈[-4,2.7].
故函数f(x)的值域为[-4,3].
答案:(1)A (2)[-4,3]
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求分段函数的求值
������ + 2,������ < 0,
例 1 已知函数 f(x)= ������2,0 ≤ ������ < 2,
1 2
则 f ������
1 2
的值是 (
)
������ + 1,������ < 0,
A.12
B.-12
C.32
D.-32
(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为
.
解析:(1)f 1 = 1-1=-1,f - 1 =-1+1=1.
2
2
222
2
(2)由题图可知,当x∈[-2,4]时,f(x)∈[-2,3];