机械制图点、线、面的投影

一、平面内的点
点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。
回本章 回本讲
直线在平面上的条件:通过平面上的两个点或通过 平面上的一个点且平行于平面上的一条直线 。
回本章 回本讲
［例1］已知平面ABC内一点K的H投影k,
试求K 点的V 投影k。
1）
a
X a
b d
k
●
c
0 b
d ●k
侧面与正面的交线OZ称为Z轴，三个投影轴垂直相交于一点O，
称为原点。
回本讲
二、点在三面投影体系中的投影
点在三个投影面上的投影，就是通过这三个点分别向三个投影面所
作垂线的垂足。点三投影.swf 和点三投影展开.swf
Z
V
Z
W
Z
V a’
ax
X
az
A
a’’
W
O
ay
a
a’
az
a’’
a’
az
a’’
X ax XA O aYW YW X ax
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一般位置直线的实长
直角三角形法
❖ 求直线的实长与倾角.swf
第三节 两直线的相对位置 两直线平行
两直线平行
两直线平行
两直线相交
两直线相交
两直线相交
两直线交叉
第三章 平面的投影
第一节 平面投影的表示方法
不在同一 直线上的 三个点
Fra Baidu bibliotek
直线及线 外一点
两相交 直线
两平行 直线
反映平面形的实形；
2)在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积聚性，且 平行于相应的投影轴。
回本章 回本讲
三、一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三 个投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一 般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相似性。
回本章 回本讲
第三节 平面上的点和线
1)V投影反映实形； 2)H、W投影分别 为平行OX、OZ轴 的直线段，有积 聚性
1)W投影反映实形； 2)V、H投影分别 为平行OZ、OYH轴 的直线段，有积 聚性
回本章 回本讲
水平面
Z
积聚性 a b
c a c b 积聚性
X
o
YW
a
实形
c
b YH
投影面平行面的投影特性是： 1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投影，
回本章 回本讲
铅垂线
正垂线
侧垂线
二、投影面的垂直线
铅垂线
a
Z
a
正垂线
c(d) Z d
b
b
X
X
o
YW
d
●
a(b) YH
c
投影特性
o YH
c YW
侧垂线
e f Z e(f)
X e
o
YW
f YH
（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2）另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相 应的投影轴。
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点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离，
即a’a⊥OX。
回本章 回本讲
例：已知C点的两面投影c’和c’’，求作第三投影c。
作法：
Z
（1）从原点O做YW、YH的45°分角线；
c’
（2）过c’作OX轴垂线c’c；
（3）过c’’作YW轴的垂线与45°分角线相交；X
O
（4）过交点作YH轴的垂线与cc’方向的连
点线面的投影
主讲：郝善齐
2-2点线面的投影
一点的投影 1、点的三面投影 2、两点的相对位置
二 直线的投影 1、直线的三面投影 2、各种位置直线的投影 3、直线的相对位置
三 平面的投影 1、平面投影的表示方法 2、各种位置平面的投影特性
3、平面上的点和直线 4、直线与平面、平面与平面的相对位置
一 点的投影
平面 图形
回本讲
第二节 各种位置平面的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
回本章 回本讲
一、投影面的垂直面
b
Z b
相似性
c c a
X β
b
γ a
积聚性
o c
YH
相似性
a
YW
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直线，有 积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对 相应投影面的倾角；
2)如用平面图形表示平面，则在另外两个投影 面上的投影不是实形，但有相似性。
回本章 回本讲
二、投影面的平行面
垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投 影面。
根据其所平行的投影面不同，投影面平行 面也可分为三种：
1)水平面——平行于H 面； 2)正平面——平行于V 面； 3)侧平面——平行于W 面。
回本章 回本讲
水平面
正平面
侧平面
名称 水平面 （∥H）
立体图
正平面 （∥V）
侧平面 （∥W)
投影图
投影特性
1)H投影反映实形； 2)V、W投影分别 为平行OX 、OYW 轴的直线段，有 积聚性
YA a aYH
a0
a
O aYW YW
aYH
a0
H
YH
YH
YH
Aa’’=a’az=aay=axO=XA
点的三面投影与坐标的关系：Aa=a’ax=a’’ay=azO=ZA
Aa’=aax=a’’az=ayO=YA
点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即a’a⊥OX
点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即a’a’’⊥OZ
水平线
正平线
a
b Z a b 实长 a Z a
侧平线
实长
a Z a
γ
β
Xa
b α
YW
X
b
b
YW X a
α b
YW
β
实长
γ
b YH
ba
b
YH
YH
与H面的夹角:α
投影特性
与V 面的夹角:β 与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
1、点的三面投影
Z
一、三面投影体系的建立
根据点的投影来确定点在空间
V
W
的位置，引入相互垂直相交的三个 投影面，分别用V、H、W表示。
O
把V面称为正投影面（简称正面），
把H面称为水平投影面（简称水平
面），把W面称为侧投影面（简称 X
H
Y
侧面）。
三个投影面互相垂直并相交，交线称为投影轴，正面与
水平面的交线OX称为X轴，侧面与水平面的交线OY称为Y轴，
V
a
X
b
c
B
C
A b
c a
a
X a
H
b c
c
b
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二、直线上点的投影
2、定比性
V
b
c
B
b c
a
a
C
X A
X
b
c
b
a
c
a
H
直线上的点分割线段之比等于其投影之比
回本章 回本讲
例：已知直线EF 及点K 的水平投影k，求正面
投影 k’。
e
k
f
X
O
e
k1
k
f1
f
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第二节 各种位置直线的投影
c
过平面内两已知点 作辅助线求解
b
2）
d
● k c
a e
X
0
bd
a e ●k
c
过平面内一个已知点作平面 内已知直线的平行线求解
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举例
❖ 已知三角形ABC上一点K，其X坐标为25，其Z坐标 为10，求它的投影。求平面上的点.swf
［例2］已知四边形平面ABCD的H投影abcd和 ABC的V 投影a′b′c′，试完成其V 投影 。
Z
e’
V e’
c’(d’)
f’
DE C
d’’
O
F
e’’
W
c’’(f’’)
c’(d’)
f’
d
X
d
f
e(c)
f
Y
e(c)
H
e’’
d’’
c’’(f’’)
在投影图上规定：不可见点的投影符号加注括号，如（d’）。
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第二章 直线的投影
第一节 直线的三面投影
一、直线的投影图
一般情况下，直 线的投影仍为直线。
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相似 性。
1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相似 性。
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相似 性。
回本章 回本讲
铅垂面
投影面垂 直面的投影特 性是：
小者为右。
Z
Z
az
a’
az a’’
V a’
b’ bx ax
bz
A
O
B
a’’
W
b’’ ay
b’
b’’
bz
X
bx
ax
aYW bYW
YW
a
aYH
X
a
by
b’
bYH
b
H
Y
YH
回本章 回本讲
二、重影点的投影
若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条 投射线上，因此，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于 一点。
❖ 点到正平线的距离.swf
作等腰三角形ABC
❖ 作等腰三角形.swf
直线和平面垂直
❖ 直线与正垂面垂直.swf
直线与平面垂直
平面和平面垂直
❖ 平面与平面垂直.swf
垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾 斜的平面，称为投影面垂直面。
根据其所垂直的投影面不同，可以分为三 种：
1)铅垂面——垂直于H 面； 2)正垂面——垂直于V 面； 3)侧垂面——垂直于W 面。
回本章 回本讲
铅垂面
正垂面
侧垂面
名称
铅垂面 （H）
立体图
正垂面 （V）
侧垂面 （W）
投影图
投影特性
ab OZ ； (3) Ab =ab
=AB
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三、一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用α、β、γ
表示。 投影长分别是：
a b = AB cosα
ab = AB cosβ
ab=AB cosγ
回本章 回本讲
一般位置直线投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长。 直线的各投影均不平行于各投影轴。
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
回本章 回本讲
水平线
正平线
侧平线
一、投影面的平行线
回本章 回本讲
名称
水平线 (∥H）
立体图
正平线 (∥V )
侧平线 (∥W )
投影图
投影特性
(1)ab∥OX, ab∥OYW (2)ab=AB ；
(3)反映夹角、 大小。
(1)ab∥OX,
ab∥OZ (2)ab =AB (3)反映夹角、 大小。
(1)ab∥OYH,
ab∥OZ； (2)ab=AB (3)反映夹角、 大小。
线相交即得c。
c
YH
c’’
YW
回本章 回本讲
举例
❖ 已知点A（11，8，15），求它的三个投影。 求点的三面投影.swf
第二节 两点的相对位置 两点的相对位置
一、两点的相对位置
空间两点的相对位置，有上下、前后、左右之分，规定Z坐标值大
者围上，小者为下；Y坐标值大者为前，小者为后；X坐标值大者为左，
名称
铅垂线 （H）
立体图
正垂线 （V）
侧垂线 （W）
投影图
投影特性
(1) H 投影为一 点，有积聚性； (2) ab OX , abOYW ； (3) ab=ab
=AB
(1) V 影为一点， 有积聚性；
(2) abOX , abOZ ；
(3) ab=ab =AB
(1) W 投影为一 点，有积聚性； (2) Ab OYH,
a′ ● e′
d′
●
1）连接ac 和a′c′ 得辅助线AC 的两投影；
b′
2）连接bd 交ac于e；
X b
a
●
e
c′
3）由e 在a′c′上求出e′；
d
4）连接b′e′， 在b′e′上求出d′；
5）分别连接a′d ′；及 c′d′，即为所求。
c
回本章 回本讲
举例
❖ 作平面图形的正面投影。作平面图形的正面投 影.swf
第四节 直线和平面、平面和平面的相对位置 ❖ 直线和平面平行
平面和平面平行
❖ 判别两平面平行.swf
直线和平面相交
❖ 直线与铅垂面相交
直线与平面相交
❖ 正垂线与平面的交点.swf
两平面相交
❖ 两铅垂面相交.swf
两平面相交
❖ 铅垂面与平面相交.swf
直角投影
直线垂直于水平线
点到正平线的距离
两点确定一条直 线，将直线上两点的 同面投影用直线连接 起来，就得到直线的 三个投影。
直线的投影规定 用粗实线绘制。
回本讲
第二节 直线的三面投影
二、直线上点的投影
1、从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。
如图所示，C∈AB ，则有c ∈ab ，c′∈a′b′，c″∈a″b″。
反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在 直线上。