线性代数方程组的解法

解 由于方程组的系数行列式
1 −2 1
D = 2 1 − 3 = 1×1× (− 1) + (− 2)× (− 3)× (− 1)
−1 1 −1
+ 1× 2 ×1 − 1×1× (− 1)− (− 2)× 2 × (− 1) − 1× (− 3)×1
= −5 ≠ 0,
同理可得
−2 −2 1
1 −2 1
D1 = 1 0
1 − 3 = −5, D2 = 2 1 − 3 = −10,
1 −1
−1 0 −1
1 −2 −2
D3 = 2 1 1 = −5, −1 1 0
故方程组的解为:
x1
=
D1 D
=
1,
x2
=
D2 D
=
2,
x3
=
D3 D
=
1.
例2 解线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
2x1 + x2 − 3x3 = 9, x1 + x2 + x3 = 4,
x1 = −3, x2 = 9, x3 = −2
分析上例：
我们对方程组反复进行了三种变换，即： （1）互换两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某个方程； （3）把一个方程的k倍加到另一个方程上。 我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第 一个方程的－3倍加到第三个方程上，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 −x2 −
+ x3 5x3
= 4, = 1,
⎪⎩ 2x2 − x3 = 20.
Step4 把上方程组中的第二个方程的2倍加到 第三个方程上，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 −x2 −
+ x3 5x3
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1
⎪⎪ ⎨ ⎪
a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = b2 LLLLLLLLLLLL
⎪⎩am1 x1 + am2 x2 + L + amn xn = bm
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a12 L a1n b1 a21 a22 L a2n b2 L LLLL an1 an2 L ann bn
⎪⎩3x1 + 5x2 + 2x3 = 32.
Step2 把第一步中得到的方程组得第一个 方程的－2倍加到第二个方程上，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 + x3 = 4, −x2 − 5x3 = 1,
⎪⎩3x1 + 5x2 + 2x3 = 32.
Step2 把第一步中得到的方程组的第一个 方程的－2倍加到第二个方程上，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 + x3 = 4, −x2 − 5x3 = 1,
⎪⎩3x1 + 5x2 + 2x3 = 32.
Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第 一个方程的－3倍加到第三个方程上，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 −x2 −
+ x3 5x3
= 4, = 1,
⎪⎩ 2x2 − x3 = 20.
x1, x2 ,L, xn代表n个未知量； aij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) 称为方程组的系数；
b1, b2 ,L, bm 称为常数项。方程的个数 m没有限制，可以：
⎧m < n，方程组是否有解？ ⎪⎨m = n，方形线性方程组，Cramer法则； ⎪⎩m > n，解是怎样的？
2.1 高斯消元法 2.2 矩阵的秩 2.3 线性方程组解的判定
第二章 线性方程组
回顾: 根据克拉默法则
线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1
⎪⎪ ⎨ ⎪
a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = b2 LLLLLLLLLLLL
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
的解取决于
系数 aij(i, j = 1,2,L,n),
常数项 bi(i =1,2,L,n)
线性方程组的一般形式
⎧ a11x1 + a12 x2 +L + a1n xn = b1
⎪⎪ ⎨ ⎪
a21x1 + a22 x2 +L + a2n xn = b2 LLLLLLLLLLLL
(1)
⎪⎩am1x1 + am2 x2 +L + amn xn = bm
记作
A
=
Am×n
=
⎜ a21
⎜ ⎜⎜⎝
L am1
a22 L am2
L L L
a2n ⎟
L amn
⎟ ⎟⎟⎠
= ( )m×n
第一节 高斯消元法
¾是求解线性方程组的一种基本方法。
¾其基本思想是通过消元变形，把方程组化成 容易求解的同解方程组。 即得到能直接求出解或者能够直接判断其无 解的通解方程组。
例1 解线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 − 2 x2 2 x1 + x2
+ x3 + −3
= x3
−2, = 1,
⎪⎩ − x1 + x2 − x3 = 0.
= 4, = 1,
⎪⎩ −11x3 = 22.
Step4 得到的方程组具有这样的特点：自上而下 未知数个数依次减少称为阶梯形状，称这样的 方程组为阶梯形方程组。
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 −x2 −
+ x3 5x3
= 4, = 1,
⎪⎩ −11x3 = 22.
第三个方程两边同乘以（－1/11）得：x3＝－2； 将x3＝－2代入第二个方程得：x2＝9； 再将x2＝9，x3＝－2代入第一个方程得：x1＝－3。 从而，方程组的解为：
⎪⎩3x1 + 5x2 + 2x3 = 32.
解 Step1 交换第一、第二个方程位置，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 + x3 = 4, 2x1 + x2 − 3x3 = 9,
⎪⎩3x1 + 5x2 + 2x3 = 32.
解 Step1 交换第一、第二个方程位置，得
⎧ ⎪ ⎨
x1 + x2 + x3 = 4, 2x1 + x2 − 3x3 = 9,
矩阵
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
定义1 矩阵的定义
由 m ×n 个数 aij (i = 1,2,L,m; j = 1,2,L,n)
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
MM
M
称为 m × n矩阵.
am1 am2 L amn
⎜⎛ a11 a12 L a1n ⎟⎞