高等几何 知识总结

§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 定理1.3 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三 点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在 下的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变 换的定义有
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.5 设f : AB为一个关系. 如果对于集合A中的每一个元 素, f 都唯一地指定集合B中的一个元素与之配对, 则称f 为从集合 A到B的一个对应(或映射, 函数).在f 下A中的元素a对应于B中的 元素b的事实常记为 f : a b 或者 f (a) b.
| AB | | BC || AC | | A' B'| | B' C'|| A' C'| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC | | A ' B ' | | B ' C ' || A ' C ' | | A ' B ' | | B ' C ' || A ' C ' |
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.8 设f : AB为一个对应. 如果f 既是单射又是满射, 则 称f 为一个双射(bijection),也称f 为一个一一对应.
注：在几何学中, 我们一般需要的对应都是双射.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
5. 变换 定义1.9 集合A到自身的对应f 称为变换, 若f 是双射, 则称f 为 集合A上的一个一一变换. 若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身, 则称之 为集合A上的一个恒同变换, 记作i. 于是, aA, i(a)=a. 定理1.1 对于集合A上的一一变换, 下列结论成立. (1) 两个一一变换的乘积是一个一一变换. (2) 恒同变换i是一个一一变换. (3) 任意一个一一变换f 的逆变换f 1存在, f 1也是一个一一变 换, 且f f 1 =f 1f=i.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换 二、正交变换
坐标系运动而点和图形不动 平面上的点、图形均不改变其 位置, 但是随着坐标系的变动而取 得不同的坐标, 或得到不同的描述, 研究其间的关系. 在平面上点的集合上给定某种 双射(一一变换)f , 研究点以及由点 构成的图形与它们在f 下的像之间 的关系. 点和图形运动而坐标系不动
解几中的坐标变换 改变观点 平面上的点变换
§ 1.1 引 论
二、正交变换
坐标变换 点变换
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 定义1.11 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平 面上的一个正交变换. 注：设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B'. 则|AB|=|A'B'|. 定理1.2 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集 合. 则有 (1) , M, 有M. (2) 恒同变换iM. (3) M, 存在1M, 满足1=1=i. 上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
即A', B', C'仍然为不共线三点.
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 定理1.3 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三 点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在 下的像依次为A', B', C'. 设A, C分别在B两边上且异于B, 则A', B'分别在B'的两边上. 且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ABCA'B'C', 于是, B =B', 即正交变换保持两直线的夹角不变. 推论1.1 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使 得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形. (2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等 的矩形.
2 例子
错误的透视---十五世纪的一幅画作
2 例子（抛物线在透视下的像）
z S(0,-4,4)
x2+(z-2)2/4=1 y’=x’2
x=4x’/ (y’+4) z=4y’/ (y’+4) y=0
x
(x’,y’,0)
y
3 畸变图
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射
来自百度文库
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何
高 等 几 何
(国家精品课程) • 主讲教师：周兴和 (南京师大数学与计算机科学学院 教授) (江苏省教学名师) • 教材：周兴和, 《高等几何》, 科学出版社 (江苏省精品教材, “十一五”国家规划教材) • 参考书：见教材中所列：“参考书目”
课 程 概 论
一、高等几何的内容
高等几何 数学类专业主干基础课课程之一
数学分析 实变函数
前三高
高等代数
高等几何
后三高
近世代数
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期 射影几何 高等几何 几何基础 …… 本课程 主要介绍平面射 影几何知识(教材 前四章)
课 程 概 论
一、高等几何的内容
什么是射影几何？
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何

仿射几何

射影几何
全体有序偶(配对) (a,b) 的集合. 特别 地, AA=A2. 定义1.2 集合A到B的一个关系:
R A B.
为集合AB的一个子集.
A B
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的关系 定义1.2' (通俗的定义)设A, B为两个集合, f 是一种将A的元素 与B的元素配对的法则. 则称f 为集合A到B的一个关系, 记作 f : A B. 设在f 下aA配对为bB. 则称b为a在f 下 的一个像; a为b在f 下的一个原像, 或者说 a是b在f 的逆关系 f 1: BA下的像.
课 程 概 论
四、计划及注意点
计划：周学时3-5, 一个学期, 第1～第4章; (第5章：自学阅读材料) 注意1：必须充分预习, 学会主动听课, 主动学习
• 课前：预习将要讲到的内容, 记录体会, 提出问题 • 课中：带着问题听课, 适当做笔记 • 课后：再次读书, 整理笔记; 做题、反思、及时总结; 不懂即问
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
6. 归纳 定义1.10 设f 为定义于集合A上的某种一一变换. 若存在aA, 满足f(a)=a, 则称a为f 的一个不变元素. 设P为集合A中的元素或子集所带有的某种性质(或数量), 若 变换f 能够保持P不变, 则称P为变换f 的一个不变性质(或数量). f 的不变性质和数量统称为f 的不变性. 归纳：高等几何将用几何变换的观点讨论问题, 主要是研究 几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性. 类似于代 数中对同构的讨论.
仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果
射影几何 射影不变性
研究图形的 射影变换不变性的科学 比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！
1. 透视的直观理解
阿尔贝蒂罩沙法(Alberti 1436)
一、对应与变换
3. 等价关系 定义1.4 设f 为集合A到自身的一个关系. 如果 (1) 若aA, 都有(a,a)f, 则称f 为自反的, 或称f 具有反身性. (2) 若(a,b)f, 就必有(b,a)f, 则称f 为对称的, 或称f 具有对称 性. (3) 若(a,b)f且(b,c)f, 就必有(a,c)f, 则称f 为传递的, 或称f 具 有传递性. 若f 同时满足上述3条, 则称f 为A上的一个等价关系. A上的一个等价关系必将A的元素分成等价类.
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 推论1.2 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系. 正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角 坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
右手系→右手系
右手系→左手系
§ 1.1 引 论
二、正交变换
1. 正交变换 定理1.4 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正交 变换具有表达式 x ' a11 x a12 y a13 x' a11 a12 x a13 或 (1.1) . y ' a21 a22 y a23 y ' a21 x a22 y a23 其中(x, y)与(x', y')为的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵 a11 a12 A 称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵. a21 a22 注1：对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1. 当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换； 当|A|= 1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换. 注2：正交变换(1.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变 换式完全相同. 按相对运动观点, 坐标变换也是正交变换.
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
2. 关系的乘积(复合) 定义1.3 设有关系f : AB和 g: BC. 则由此可确定一个A到 C的关系h, 称h 为f 与g的乘积. 记作g◦f , 即 h g f : A C.
注：关系的乘法满足结合律, 但是一般不满足交换律.
§ 1.1 引 论
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
大力提倡：独立思考+交流讨论 注意2：把好入门关, 牢固掌握基本概念, 反复思考, 认真体会 线性代数+“齐次性”
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
1. 集合之间的关系 定义1.1 集合A, B的笛卡儿积: A B {(a, b) | a A, b B}. 理解集合的途径之一——Venn图
§ 1.1 引 论
一、对应与变换
4. 集合之间的对应(函数、映射) 定义1.6 设f : AB为一个对应. 如果对于集合A中的元素ab, 都有f (a)f (b), 则称f 为单射(injection),也称f 为从A到B内的对应.
定义1.7 设f : AB为一个对应. 如果集合B中的每一个元素都 是A中某个元素的像, 则称f 为满射(surjection), 也称f 为从A到B上 的对应.
教师授课助手 学生自修向导——
高等几何多媒体课件
南京师范大学 (国家精品课程主持人 周兴和 江苏省教学名师)
使 用 说 明
1. 请使用MS-Office2003及其以上版本. 2. 课件中的图形 分别是向后和返回链接. 3. 如果您是一位学生, 希望您——利用本课件帮助您预习、 自学、提出问题, 带着问题去听课；帮助您避免在课堂上被动 地抄笔记, 从而可以更主动地聆听老师授课. 4. 如果您是一位教师, 请恕作者班门弄斧, 权当我在抛砖引玉. 希望您——批评本课件, 或利用本课件为素材, 创作您自己的课 件. (作者制作本课件使用的主要软件为：MS-Office, MS-Visio) 5. 恳请读者和老师们批评指正！作者感谢您使用本教材及其 课件, 期待着您的宝贵意见！
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
代数角度
几何角度 三维线性空间的商空 间上的几何学 亏格为零不可定向的 闭曲面上的几何学 其他课程无可 替代的数学思 想与方法
本课程
四、计划及注意点
计划：周学时3-5, 一个学期, 第1～第4章; (第5章：自学阅读材料) 真正的大学课程教学模式