第17章 重复测量设计和交叉设计资料的分析

重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
( 1 ) 总 离 均 差 平 方 和 SS 总 及 总 自 由 度 总
SS 总 201647 2665
2
4 9 4362.97 ， 总
36 1 35 。
(2)
SS 对象间 及 对象间
SS 对象间
1 2 3 4 5 6 7 8 9 按 药 物 测 量 值 和 平 均 值 (j)
94 57 81 82 67 78 87 82 90
67 52 74 59 65 72 75 68 74
90 69 69 71 74 80 106 76 82
67 55 73 72 72 72 74 59 80
Y 平 方 和 S
A4 15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求， H1：资料不满 足球形要求 检验的P值若大于研究者所选择的显著性 水准α时，说明协方差阵的球形性质得到 满足。
球形条件不满足怎么办？
常有两种方法可供选择：
1. 采用MANOVA（多变量方差分析方 法）（超出本书范围） 2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时 间有关的F值的自由度进行调整（调小）
s 2 = s k l
2 kl
2 2 2 ( sll ) a是 a 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， s kk l
2 2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， sk = ( s kl ) a是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ 的 取 值 在 1.0 与 1/(a-1)之 间 。
一般ANOVA的协方差矩阵
2 2 s11 s12 s12a 2 2 2 s21 s22 s2 a V 2 s2 s2 saa a1 a 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2 (n 1)
对于第8、章，几个处理 9 组间的协方差矩阵为：
2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n s
2 ij 2 2 sii s jj
时间点间的相关系数
实验前 5 周后 0.507 1 10 周后 0.269 0.777 1 1
rij
实验前 5 周后 10 周后

第一节 重复测量资料方差分析 对协方差阵的要求

重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相 互独立的随机样本，其总体均数服从正态分布；（个体内不独立） 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 即具有方差齐同 3. 各时间点组成的协方差阵(covariance matrix)具有球 形性(sphericity)特征。 Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的 无效假设（即增加了I型错误）。
j
j
Tj
718.00 79.78 58336.00
606.00 67.33 41284.00
717.00 79.67 58275.00
624.00 69.33 43752.00
2665 74.03 201647
药 物 水 平 数 a = 4 , 每 组 观 察 例 数 n = 9 , 观 察 值 总 个 数 N = a n = 3 6
旧剂型 新剂型
4
8
时间（小时）
12
某药新旧剂型血药浓度随时间的变化
重复测量设计的优缺点

优点： 每一个体作为自 身的对照，克服了个 体间的变异。分析时 可更好地集中于处理 效应. 因重复测量设计 的每一个体作为自身 的对照，所以研究所 需的个体相对较少， 因此更加经济。
缺点： 滞留效应(Carry-over effect) 前面的处理效应有可能 滞留到下一次的处理. 潜隐效应(Latent effect) 前面的处理效应有可能 激活原本以前不活跃的效 应. 学习效应(Learning effect) 由于逐步熟悉实验，研 究对象的反应能力有可能 逐步得到了提高。
(i)
1:用 药 前
2:A 药
3:C 药
4:B 药
Ti )
318 233 297 284 278 302 342 285 326
Yi
79.50 58.25 74.25 71.00 69.50 75.50 85.50 71.25 81.50
Si )
25914 13739 22127 20430 19374 22852 29906 20605 26700
' 分 子 自 由 度 1' 1 , 分 母 自 由 度 2 2
ˆ (G-G ˆ) (1)Geenhouse-Geisser 调 整 系 数
(2)Huynh-Feldt 调 整 系 数 (H-F )
二、自由度调整方法1
ˆ (G-G ˆ )为 ： (1)Geenhouse-Geisser 调 整 系 数
误差 对象内 处理 27 3 24
SS 误差 SS 总 SS 处理 SS 对象间 ， 误差 n 1a 1
ANOVA表
表 10-2
变异来源 受试对象间 受试对象内 处理因素 误差 总计
每一根线代表1只兔子
Байду номын сангаас实例举例1
胆固醇（mg%)的对数
6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 实验前
图10.附1
处理组 对照组
5周后
10周后
两组家兔血清胆固醇的对数随时间的变化
每一根线代表1位病人
实例举例2
血药浓度（μ mol/L)
180 150 120 90 60 30 0
图 10. 附 2
ˆ
a s s
2 2 kk

2

2
2 a 1 s kl k l

2
2 2 2 2 2 2a s k a s k


(10-2)
2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 s kl 是 矩 阵 (10-1)中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
第17章 重复测量设计和交叉设 计资料的方差分析
重复测量的定义
重复测量 (repeated measure) 是指对同一 研究对象的某一观察指标在不同场合 （occasion，如时间点）进行的多次测量。 例如，为研究某种药物对高血压（哮喘 病）病人的治疗效果 ,需要定时多次测定受 试 者 的 血 压 （ FEV1 ） ， 以 分 析 其 血 压 （FEV1）的变动情况。 注：FEV1——最大呼气量
2 s11 0 0 2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1) 2 0 s22 0 V y1i y2i y1i y2i n 2 2 sij 0 0 s aa rij 2 2 2 2 sii s jj 且假定s11 saa
二、自由度调整方法2
(2)Huynh-Feldt 调 整 系 数 (H-F )
ˆ进行自由度 据 研 究 ， 当 真 值 在 0 . 7 以 上 时 ， 用
调 整 后 的 统 计 学 结 论 偏 于 保 守 ， 故 Huynh 和 Feldt 提 出 用 平 均 调 整 值 值 进 行 调 整 。 值 的 计 算 公 式 为
重复测量资料的协方差矩阵
2 2 s11 s12 s12a 2 2 2 s21 s22 s2 a V 2 s2 s2 saa a1 a 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2 (n 1)
时间点间的协方差矩阵
实验前 实验前 5 周后 10 周后 0.081 5 周后 0.090 0.386 10 周后 0.065 0.411 0.723
总
−SS
对 象 间
318 2 SS 对象内 25914 4 2339.25；
233 2 326 2 13739 4 26700 4 对象内 94 1 27
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
2 sij 2 2 sii s jj
rij
球形对称的实际意义举例
s
2 yi y j
s s 2s
2 yi 2 yj 2 y1 y2 2 11 2 22
2 yi y j 2 12
如：s
s s 2s
A2 5 20 15 20 A3 10 15 30 25
协方差阵 A1 A1 A2 A3 A4 10 5 10 15
第二节 单因素重复测量资料的 方差分析
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异分解为：
个体间（between subjects）变异
与
个体内（within subject）变异，
其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
表 10-1
病 人 号
心室早搏病人在用药前后的心率
药 物 (j) 测 量 和 ( 值 按 病 人 (i) 平 均 值 平 方 和 (
对象内的进一步分解：
(3.1)
SS处理
SS 处理 及 处理
1 2 7182 6062 717 2 6242 2665 36 1185.42 ， 9
处理 4 1 3
(3.2)
SS 误差 与 误差
SS误差 SS对象内 SS处理 2339.25 1185.42 1153.83
ˆ 2 ng (a 1) ˆ (a 1)n g (a 1)
(10-3)
式 (10-3)中 的 g 是 对 受 试 对 象 的 某 种 特 征 (如 性 别 或 年 龄 )进 行 分 组 的 组 数 。 n 是 每 组 的 观 察 例 数 。 当
>1.0 时 ， 取 =1.0。
调整规则
对具有重复测定性质的时间效应 和 处 理 *时 间 的 交 互 作 用 的 F 值的自由度进行调整。
' ˆ 或 。 2。 其 中 为 即 1' 1 , 2
由 Fa ' , ' 确 定 调 整 的 F 临 界 值 。 1 2 调整后的 F 临界值较原先大，提高了拒绝 H0 的 门 槛 。 减 少 了 犯 I 类 错 误 的 概 率 。
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
2 2 s11 s12 s12a 2 2 2 s s s 22 2a V 21 2 s2 s2 saa a2 a1 2 s11 ( y1i y1 ) 2 (n 1)
对于yi与yj两时间点变量间差值对应的方差 可采用协方差矩阵计算为：
2665 2023.72 ； 1 318 2 233 2 326 2 对象间 9 1 8 4 36


2
( 3 ) SS 对象内 及 对象内 相 当 于 第 8 章 的 组 内 变 异 ； 等 于 SS
或 各 对 象 的 离 均 差 平 方 和 之 和 ， 即
2 2 2 2 sy s s 2 s yi yj yi y j i yj 2 2 2 2 如：s y s s 2 s 11 22 12 1 y2
2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n