卡方检验

若n > 40 ，此时有 1< T <5时，需计算Yates连续 性校正χ2值 T <1，或n<40时，应改用Fisher确切概率法直接 16 计算概率
例 6.8
为比较某新药与传统药物治疗脑动脉硬化的疗
效，临床试验结果见表 6.4，问两种药物的疗效有无差异？ 表 6.4 处理措施 新药组 传统药物组 合计 两种药物治疗脑动脉硬化的疗效 有效 41(38.18) 18(20.82) 59 无效 3(5.82) 6(3.18) 9 合计 44 24 68 有效率（%） 93.18 75.00 86.76
残差可以表示某一个类别观察值和理论值的 偏离程度，但残差有正有负，相加后会彼此 抵消，总和仍然为0。为此可以将残差平方后 求和，以表示样本总的偏离无效假设的程度
8
方法原理
另一方面，残差大小是一个相对的概念，相 对于期望频数为10时，20的残差非常大；可 相对于期望频数为1000时20就很小了。因此 又将残差平方除以期望频数再求和，以标准 化观察频数与期望频数的差别。
更一般地，可将上述表格记为表 6.3 的一般形式，称之为四格表(fourfold table)。因为表 中 a、b、c 和 d 四个格子的数据是基本的，其余数据均可从这四个数据派生出来。
6
方法原理
理论频数
基于H0成立，两样本所在总体无差别的前提下计 算出各单元格的理论频数来 nR nC
TRC =
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行列表资料的分析
例 6.10 用某新药治疗不同类型关节炎的疗效如表 6.6，问该药治 疗不同类型关节炎的疗效是否有差别？ 表 6.6 三种不同类型关节炎的临床疗效 关节炎类型 类风湿性关节炎 风湿性关节炎 骨性关节炎 合计 有效 97 37 14 148 无效 18 20 17 55 合计 115 57 31 203
11
38.19
chi-square
操作步骤
1. 建立检验假设和确定检验水准
H0：使用含氟牙膏和一般牙膏儿童龋患率相等 H1：使用含氟牙膏和一般牙膏儿童龋患率不等
2. α α=0.05 3.计算检验统计量χ2值
(70 76.67 )2 + (130 123.33)2 + (45 38.33)2 + (55 61.67 )2 χ2 =
19
方法原理
显然，本例对同一个个体有两次不同的测量， 从设计的角度上讲可以被理解为自身配对设 计 按照配对设计的思路进行分析，则首先应当 求出各对的差值，然后考察样本中差值的分 布是否按照H0假设的情况对称分布 按此分析思路，最终可整理出如前所列的配 对四格表
20
方法原理
注意
主对角线上两种检验方法的结论相同，对问题的 解答不会有任何贡献 另两个单元格才代表了检验方法间的差异
4
卡方检验
在H0 为真时，实际观察数与理论数之差Ai －Ti 应该比较接近0。所以在H0为真时，检验统计量
( Ai Ti ) 2 2 χP = ∑ 服从自由度为k-1的卡方分布。 Ti i =1
k
即： χ 2 > χ 2，拒绝H0。 P α ,v 上述卡方检验由此派生了不同应用背景的各种问题 的检验，特别最常用的是两个样本率的检验等。 因为该原理的使用范围很广，但本次课程只学习 用于推断两个分类变量是否相互关联
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Stata计算
两个或多个率、构成比的比较 1、Pearson χ2 对两个样本率比较 tabi a b\ c d,chi2 r 其中r表示按行计算比例 2、用Fisher确切概率法检验量个样本率 tabi a b\ c d,chi2 exact
36
Stata计算
配对四格表资料的分析 mcci a b c d
31
试验组 对照组 合 计
分析实例
1．建立检验假设和确立检验水准
H0：新药组与对照组疗效相等，即 π1 = π2 H1：新药组与对照组疗效不等，即 π1 ≠ π2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．计算概率和确定P值
本例n = 36 < 40，不满足χ2检验的应用条件，宜 采用四格表确切概率法。
32
方法原理
在四格表周边合计不变的条件下，在相应的 总体中进行抽样，四格表中出现各种排列组 合情况的概率
本例即28、8、22、14保持不变的条件下，若H0 成立，计算出现各种四格表的概率
( a + b)!(c + d )!(a + c)!(b + d )! P= a!b!c! d !n!
33
方法原理
表 6.10 在四格表(表 6.9)周边合计不变的条件下，π1=π2 时的概率分布计算 d P(d) 0 1 2 3 4 5 6
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Stata计算
行列表资料统计分析 双变量无序： 双变量无序：Pearson 卡方
应用条件：同前。 应用条件：同前。 命令：tabi 55 63 44\45 69 23\57 54 36 命令：
实际数据的频数分布和理论假设相同
理论分布与实际分布的检验
使用不同的牙膏并不会影响龋齿的发生（两 个分类变量间无关联）
两变量的相关分析
15
四格表χ2值的校正
英国统计学家Yates认为，χ2分布是一种连续 型分布，而四格表资料是分类资料，属离散 型分布，由此计算的χ2值的抽样分布也应当 是不连续的，当样本量较小时，两者间的差 异不可忽略，应进行连续性校正（在每个单 元格的残差中都减去0.5）
76.67 = 2.82 123.33 38.33 61.67
12
操作步骤
3. 确定P值和作出推断结论
查附表8，χ2界值表，得p>0.05。按 α = 0.05水 准，不拒绝H0，尚不能认为使用含氟牙膏比使用 一般牙膏儿童的龋患率低。 对于四格表，卡方的计算公式又可进行简化，以 方便手工计算
对计算机而言并无实际价值 tabi a b \ c d, chi2
13
操作步骤
值得指出，成组设计四格表资料的χ2检验与 前面学习过的两样本率比较的双侧u检验是等 价的。若对同一资料作两种检验，两个统计 量的关系为χ2= u2。其对应的界值也为平方关 系。两者的应用条件也是基本一致的，连续 性校正也基本互相对应。
14
卡方检验假设的等价性
两组儿童的龋齿率相同
两组发生率的比较
*
7
8
0.0106 0.0789 0.2244 0.3168 0.2420 0.1019 0.0229 0.0025 0.0001
累计概率 0.0106 0.0895 0.3138 0.6306 0.8726 0.9745 0.9974 0.9999 1.0000
*
本例现有样本情况 d=6。
然后将其中小于等于现有样本概率的概率值相加， 即为P值：
这就是我们所说的卡方统计量，在1900年由英国 统计学家Pearson首次提出，其公式为：
k ( Ai Ei ) 2 ( Ai npi ) 2 =∑ χ2 = ∑ Ei npi i =1 i =1 k
9
方法原理
从卡方的计算公式可见，当观察频数与期望 频数完全一致时，卡方值为0； 观察频数与期望频数越接近，两者之间的差 异越小，卡方值越小； 反之，观察频数与期望频数差别越大，两者 之间的差异越大，卡方值越大。 当然，卡方值的大小也和自由度有关
5
概 述
表 6.2 使用含氟牙膏与一般牙膏儿童的龋患率 牙膏类型 含氟牙膏 一般牙膏 合计 患龋齿人数 70(76.67) 45(38.33) 115 未患龋齿人数 130(123.33) 55(61.67) 185 调查人数 200 100 300 龋患率（%） 35.00 45.00 38.33
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分析步骤
建立假设 H0：三种不同类型关节炎的疗效相同 H1：三种不同类型关节炎的疗效不全相同 H1
求出统计量 下结论
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几点遗留问题
是否应当进行两两比较？
这又是一个打嘴仗的问题，虽然有人提出用卡方 分割等方法来检验，但同样也有学者对这种做法 嗤之以鼻 实际上，随着统计学的发展，这个问题已被超越， 可以使用对分类数据的建模方法，如logistic模型 等对此问题加以解答
例 6.13 研究某新药治疗原发性高血压的疗效， 并用常规治疗药物作为对照组， 结果见 表 6.9，问新药疗效与对照组疗效有无差别？ 表 6.9 某新药治疗原发性高血压的疗效 分 组 有效 20(a) 2(c) 22 无效 8(b) 6(d) 14 合计 28 8 36 有效率（%） 71.43 25.00 61.11
10
方法原理
卡方分布
显然，卡方值的大小不仅与A、E之差有关，还与 单元格数（自由度）有关
.10
.08 概概
.06
.04
.02
0.00 .00 2.01 4.02 6.03 8.04 10.05 12.06 14.07 16.08 18.09 20.10 22.11 24.12 26.13 28.14 30.15 32.16 34.17 36.18
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几点遗留问题
如果是有序资料该怎么处理
传统的卡方检验是无法对次序信息加以利用的 单向有序：秩和检验啦 双向有序：实际上考察的是两变量间的关联性 （相关性），可以使用专门的关联性指标分析 目前对卡方检验还有一些扩展方法，如CMH卡方， 可以处理此类问题
28
几点遗留问题
行列表卡方检验的适用条件
n
龋患率（%） 35.00 45.00 38.33
7
牙膏类型 含氟牙膏 一般牙膏 合计
患龋齿人数 70(76.67) 45(38.33) 115
未患龋齿人数 130(123.33) 55(61.67) 185
调查人数 200 100 300
方法原理
残差
设A代表某个类别的观察频数，E代表基于H0计 算出的期望频数，A与E之差被称为残差
本例中P值=P(0)+ P(6)+P(7)+P(8)=0.0361<0.05
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一点补充
确切概率法的原理具有通用性，对于四格表 以外的情况也适用，如行乘列表、配对、配 伍表格均可 对于较大的行乘列表，确切概率法的计算量 将变得十分惊人，有可能超出硬件系统可以 支持的范围 此时可以采用计算统计学中的其他抽样技术 加以解决，如Bootstrap方法等
假设检验步骤如下：
H0：两法总体阳性检出率无差别，即B = C H1：两法总体阳性检出率有差别，即B ≠ C
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方法原理
根据 H0 得 b、 两格的理论数均为 Tb = Tc = (b+c)/2， c 对应的配对检验统计量为：
(b c ) 2 2 χ = , b+c
或者进行校正。
ν =1
一般在 b + c < 40 时，需用确切概率法进行检验，
卡方检验
内容安排
卡方检验入门 配对设计两样本率比较的χ2检验 行列表资料的分析 确切概率法
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卡方检验入门
概 述
卡方检验是以卡方分布为基础的一种常用假 设检验方法，主要用于分类变量，它的基本 的无效假设是：
H0：行分类变量与列分类变量无关联 H1：行分类变量与列分类变量有关联 α=0.05 k ( Ai Ti ) 2 2 χP = ∑ 统计量 ，其中Ai是样本资料的 Ti i =1 计数，Ti 是在H0 为真的情况下的理论数(期望值)。
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配对设计两样本率比较 的χ2检验
方法原理
例6.9 用A、B两种方法检查已确诊的乳腺癌 患者140名，A法检出91名(65%)，B法检出 77名(55%)，A、B两法一致的检出56名 (40%)，问哪种方法阳性检出率更高？
A法 ＋ － 合计 B法 ＋ 56 (a) 21 (c) 77 － 35 (b) 28 (d) 63 合计 91 49 140
mcci 56 35 21 28
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注意事项
McNemar检验只会利用非主对角线单元格上 的信息，即它只关心两者不一致的评价情况， 用于比较两个评价者间存在怎样的倾向。因 此，对于一致性较好的大样本数据， McNemar检验可能会失去实用价值。
例如对1万个案例进行一致性评价，9995个都是 完全一致的，在主对角线上，另有5个分布在左 下的三角区，显然，此时一致性相当的好。但如 果使用McNemar检验，此时反而会得出两种评价 有差异的结论来。
理论频数不宜太小，一般认为不宜有1/5以上格子 的理论频数小于5或有一个格子的理论频数小于1 不太理想的办法
与邻近行或列中的实际频数合并 删去理论频数太小的格子所对应的行或列
最理想的办法
增加样本含量以增大理论频数（但是可能吗） 确切概率法
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确切概率法
分析实例
注意：确切概率法不属于χ2检验的范畴，但常作 为χ2检验应用上的补充。