奥数课堂;数的整除
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小学奥数课堂第17讲：数的整除
数的整除性质
❖ （1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和 （a+b）或差（a－b）也能被c整除。
❖ （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然 数c整除，则数a必能被数c整除。
❖ （3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一 个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
❖ 解：组成的三位数个位数字只能是2或4两种 情况，若个位数字是2，百位、十位数字可从 余下的数字中取，这样可组成3×2=6（个） 三位偶数；若个位数字是4，同样也可以组成 6个三位偶数。这样总共12个。
❖ 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整 除的数共有多少个？
❖ 解：1～200中，能被6整除的数共有33个 （200÷6=33…），能被8整除的数共有25个 （200÷8=25）.但［6，8］=24， 200÷24=8……8，即1～200wk.baidu.com，有8个数既 被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－ 8=50。
❖ 例3：任意取出1998个连续自然数，它们的 总和是奇数还是偶数？
❖ 解：任意取出的1998个连续自然数，其中奇 数、偶数各占一半，即999个奇数和999个偶 数。999个奇数的和是奇数，999个偶数的和 是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们 的和是奇数。
❖ 例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片， 每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少 个？
数的整奇偶性
（1）奇数±奇数=偶数 （2）偶数±偶数=偶数 （3）奇数±偶数=奇数 （4）奇数×奇数=奇数 （5）偶数×偶数=偶数 （6）奇数×偶数=偶数 （7）奇数÷奇数=奇数
典型例题
❖ 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾 数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三 位数中，最大是几？
❖ 解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的 为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的 前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的 个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为 使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数 是858.
❖ （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整 除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反 之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个 数能分别被这两个互质数整除。
数的整除特征
（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这 个数能被4（或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则 这个数能被8（或125）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除， 则这个数能被3（或9）整除。
（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差 （以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以 前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7 （或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
数的整除性质
❖ （1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和 （a+b）或差（a－b）也能被c整除。
❖ （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然 数c整除，则数a必能被数c整除。
❖ （3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一 个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
❖ 解：组成的三位数个位数字只能是2或4两种 情况，若个位数字是2，百位、十位数字可从 余下的数字中取，这样可组成3×2=6（个） 三位偶数；若个位数字是4，同样也可以组成 6个三位偶数。这样总共12个。
❖ 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整 除的数共有多少个？
❖ 解：1～200中，能被6整除的数共有33个 （200÷6=33…），能被8整除的数共有25个 （200÷8=25）.但［6，8］=24， 200÷24=8……8，即1～200wk.baidu.com，有8个数既 被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－ 8=50。
❖ 例3：任意取出1998个连续自然数，它们的 总和是奇数还是偶数？
❖ 解：任意取出的1998个连续自然数，其中奇 数、偶数各占一半，即999个奇数和999个偶 数。999个奇数的和是奇数，999个偶数的和 是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们 的和是奇数。
❖ 例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片， 每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少 个？
数的整奇偶性
（1）奇数±奇数=偶数 （2）偶数±偶数=偶数 （3）奇数±偶数=奇数 （4）奇数×奇数=奇数 （5）偶数×偶数=偶数 （6）奇数×偶数=偶数 （7）奇数÷奇数=奇数
典型例题
❖ 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾 数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三 位数中，最大是几？
❖ 解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的 为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的 前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的 个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为 使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数 是858.
❖ （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整 除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反 之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个 数能分别被这两个互质数整除。
数的整除特征
（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这 个数能被4（或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则 这个数能被8（或125）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除， 则这个数能被3（或9）整除。
（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差 （以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以 前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7 （或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。