高考数学专题训练试题12

第一部分 专题三 第2讲 三角函数的图象与性质

(限时60分钟，满分100分)

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．下列函数中，在区间(0，π

2)上为增函数且以π为周期的函数

是( )

A ．y ＝sin x

2 B ．y ＝sin x

C ．y ＝－tan x

D ．y ＝－cos2x

解析：由函数的周期为π可排除A 、B 选项；再由在(0，π

2)上为

增函数可排除C 选项．

答案：D

2．已知点P (sin 34π，cos 3

4π)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则

θ的值为( )

A.π4

B.3π4

C.5π4

D.7π

4 解析：∵sin 3π4＝sin π4＝22

，

cos 3π4＝－cos π4＝－22，即P (22，－2

2)．

∴|OP |＝

(

22)2＋(－2

2

)2＝1，角θ为第四象限角． 又∵sin θ＝－221＝－22，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π

4

.

答案：D

3．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )

A ．π B.2π C.3π D ．2π

解析：当|MN |最小时，点M ，N 必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M

(π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π. 答案：C

4．(精选考题·天津高考) 右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间[－π6，5π

6

]上的图象，为了

得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )

A ．向左平移π

3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来

的1

2

倍，纵坐标不变 B ．向左平移π

3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来

的2倍，纵坐标不变

C ．向左平移π

6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来

的1

2

倍，纵坐标不变 D ．向左平移π

6

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来

的2倍，纵坐标不变

解析：观察图象可知，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＝1，2π

ω＝π，故ω＝2，ω×(－π6)＋φ＝0，得φ＝π3，所以函数y ＝sin(2x ＋π

3)，故只要

把y ＝sin x 的图象向左平移π

3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来

的1

2

倍即可． 答案：A

5．已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是( )

A.π2

B.π3

C.π

4 D.π

6

解析：因为f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2(12sin x ＋32cos x )＝2sin(x ＋π

3)，

所以f (x ＋φ)＝2sin(x ＋π

3

＋φ)，

因为y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，因此

sin(0＋π3＋φ)＝±1，可得π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π

6，因

此φ的值可以是π

6

.

答案：D

6．使y ＝cos ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值，至多出现3

次最大值，则周期

T

的取值范围是

( )

A ．1

B ．1≤T ≤2 C.12

2

≤T ≤1 解析：由已知，函数的最小正周期T ≤1，且2T ≥1，故1

2≤T ≤1.

答案：D

二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．设函数y ＝2sin(2x ＋π

3

)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若

x 0∈[－π

2，0]，则x 0＝________.

解析：设2x 0＋π

3＝k π(k ∈Z)，

∴x 0＝k π2－π

6

(k ∈Z)，

又∵x 0∈[－π2，0]，∴令k ＝0得x 0＝－π

6.

答案：－π

6

8．函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x 的单调递增区间为________． 解析：∵f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12，∴由2k π－

π

2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得其单调递增区间为[k π－π3，k π＋π

6

]，k ∈Z.

答案：[k π－π3，k π＋π

6

]，k ∈Z

9．①存在α∈(0，π2)使sin α＋cos α＝1

3

；

②存在区间(a ，b )使y ＝cos x 为减函数且sin x ＜0； ③y ＝tan x 在其定义域内为增函数；