正、负数与数轴

有理数之一：正数与负数及数轴。

本章是在小学学过的算术数的基础上引进了负数，从而使数域扩大到了有理数；并由此引出数轴，相反数，绝对值等概念以及有理数的运算法则。随着知识的不断深入，初二时我们的数域

将扩大到实数，到了高中还会学习复数。这一章以及第一章是为我们以后的数学学习打下的基础，

我们务必认真学好这一章的知识。

一、本讲的重点，难点和关键

重点：有理数特别是负数的意义以及数轴的意义。

难点：了解有理数特别是负数的意义；利用数轴进一步理解有理数的意义。

关键：利用数轴建立起来的数与形统一的观点。

二、知识要点：

1．在小学学过的算术数包括正整数，正分数和0的基础上，由实际生活中具有相反意义的

量，如温度有零上，零下之分；帐目有收入，支出之分；买卖有盈亏之分等等。我们把这样具有

相反意义的量分别用不同符号记号，以示区别，如当零上15°C记作+15°C，则零下5°C记作-5°C；收入20元记作+20元，则支出20元记作-20元等等。在这里，“+”号读作“正”号，“+20”读作“正20”；“-”号读作“负号”，“-10”读作“负10”。这样引入了负数和正数，由此建立了有理数的概念。

正数前面的“+”号常省略不写，如+12可写成12。

整数：正整数，0和负整数统称为整数；如5，0，-3等等。

分数：正分数，负分数统称为分数。如，，-3等等。

有理数：整数和分数统称为有理数。

2．有理数的分类我们要弄清楚；其分类如下：

或

3．零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。

4．数轴的意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素是：原点，正方向和单位长度，三者缺一不可。我们必须能正确，规范地画出

数轴。

对于给出的有理数，我们应能以刻度尺为工具，准确地在数轴上画出表示这些数的点，表示

指定数的点要用笔涂成小圆黑点。比如给出-5，-4，0，0.5, 3等，能画一条数轴，并在数轴上

面标出表示它们的点，如图：

反之，对于一条数轴上标出的点能说出它们表示的数。比如，指出下列图中A，B，C，D，E各点分别表示的有理数：

答：点A表示-3，点B表示-1，点C表示2，点D表示3，点E表示4。

5．数轴的建立使任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点，有的也可以

表示有理数，而点是最基本的几何图形，从而就建立了数与几何图形之间的关系，我们称其为“数形结合”。从而使有理数的大小直观化：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数

都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数。

我们应该知道：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点并不都表示有理

数，有的点还表示无理数，这个数轴也叫做“实数轴”，这些我们将在初二时学到。

三、例题：

例1．把下列各数分别填在相应的大括号内：25,-6,-0.91,π , 3.14,-7, 0, -50, , 9.

(1) 整数集合：{25, -7, 0, -50, 9 ......}

(2) 分数集合：{-6, -0.91, 3.14, ......}

(3) 正整数集合：{25, 9 ......}

(4) 负整数集合：{-7, -50 ......}

(5) 正分数集合：{3.14, ......}

(6) 负分数集合：{-6, -0.91 ......}

(7) 正有理数集合：{25, 3.14, , 9 ......}

(8) 负有理数集合：{-6, -0.91, -7, -50 ......}

(9) 有理数集合：{25, -6, -0.91, 3.14, -7, 0, -50, , 9 ...... }

注意：整数都可以看作是分母为1的分数，因此有理数一定能写成分数的形式，而π是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，π是无理数。

例2．判断正误，并说明理由。

（1）所有正数都是整数。

（2）在整数中除了正整数就是负整数。

（3）分数是有理数。

（4）正整数都是自然数。

（5）任何有理数都有倒数。

答：

（1）不正确。因为正分数是正数但不是整数。如是正分数，但它不是整数。

（2）不正确。因为零是整数，但它既不是正整数也不是负整数。

（3）正确。因为整数和分数统称为有理数。

（4）正确。

（5）不正确。因为零不能做除数，故有理数零没有倒数。

例3．下列各图中，哪些是数轴？为什么？

答：只有（3）是数轴。因为它是具有三要素：正方向，原点，单位长度的直线。

（1）不是数轴。因为它是曲线，不是直线。

（2）不是数轴。因为它没有单位长度。

（4）不是数轴。因为它是线段，不是直线。

（5）不是数轴。因为它的方向反了。

（6）不是数轴。因为它没有规定正方向。

例4．比较和的大小。

说明：比较两个数的大小是初中数学中重要内容之一，在前面我们已经谈到可以利用数轴来

比较大小，但这不是唯一的方法。下面我们来研究另外的比较两个正数的大小的常用方法。

解：方法一：利用两数的差来判断，即两数a和b，若a-b>0,，则a>b；若a-b=0, 则a=b;

若a-b<0, 则a

∵-==>0.

∴>.

方法二：利用通分化为同分母分数，再比较分子的大小来判定。

∵=，=，且180 >169.

∴>.

（*）方法三：利用两数的比，看比值大于1还是小于1来判断，即若>1,则a>b；若<1, 则a

∵：=·=>1,

∴>.

例5．当x分别为3，7，10时，比较5x-35与0的大小。

解：当x=3时，5x-35=5×3-35=15-30=-20<0,

∴当x=3时, 5x-35<0,

当x=7时, 5x-35=5×7-35=35-35=0,

∴当x=7时, 5x-35=0,

当x=10时, 5x-35=50-35=15>0,

∴当x=10时，5x-35>0.

说明：通过此题我们应进一步理解当代数式5x-35中的字母x取不同的值时，对应代数式的值也不同。

四、练习：

（一）用正数，负数填空：

（1）支出100元记作_______元，收入150元记作_______元。

（2）盈利800元记作_______元，亏损600元记作_______元。

（3）电梯上升5米记作_______米，下降3米记作_______米。

（4）王淼向东走5米，记作+5米，那么他走了_______米，则表示他向西走了8米。

（5）足球比赛胜2场记作_______场，负1场记作_______场。

（6）海拔_______米，相当于海面上高度100米，海拔_______米相当于海面下300米。

（二）判断正误：

（1）所有的整数都是正数。（）

（2）正数和负数统称有理数。（）

（3）零不是正数，也不是负数，但是整数。（）

（4）没有最大的正整数，也没有最大的负整数。（）

（5）在有理数中，不是正数的数一定是负数。（）

（6）任何一个有理数都可以在数轴上找到和它对应的点。（）

（7）数轴上任意一点都表示一个有理数.（）