圆锥曲线齐次式与点乘双根法 (1)

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值

例1：为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的

12,Q Q 22

2212x y b b

+=12OQ OQ ⊥O

12Q Q 垂线，求的轨迹方程.

OD D

解法一（常规方法）：设，,设直线方程为

111222(,),(,)Q x y Q x y 00(,)D x y 12Q Q ，联立化简可得:

y kx m =+22221

2y kx m x y b

b =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩，所以

22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-= 22222221212222222

2()(2)

,22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==

++因为所以

12OQ OQ ⊥ 222222222222

121222222222

2()(2)2()2=0222121

b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++

22232(1)m b k ∴=+* 又因为直线方程等价于为，即对比于

12Q Q 0000

()x y y x x y -=--2

00000x x y x y y y =-++，则代入中，化简可得：.

y kx m =+00200

x k y x y m

y ⎧

-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩*22

20023x y b +=

解法二（齐次式）：

设直线方程为，联立 12Q Q 1mx ny +=222

2

222211110

22mx ny mx ny x y x y b b b

b +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩化简可得: 222

22()02x y mx ny b b +-+=22222222202x y m x n y mnxy b b

+---=整理成关于的齐次式：，进而两边,x y ,x y 2222222

(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=同时除以，则

2

x 22

2

2

2

2

22

1222

12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n

---+-=⇒=-因为所以，

12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥121k k =-22

22

12122m b b n -=--

22232()b m n ∴=+* 又因为直线方程等价于为，即对比于

12Q Q 0000

()x y y x x y -=--2

00000x x y x y y y =-++，则代入中，化简可得：.

1mx ny +=0

2200022

00

x m

x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩*22

20023x y b +=例2：已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线

2

214

x y +=l (0,1)P ,A B 的斜率之和为，证明：直线恒过定点.

,PA PB 1-l

解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：

P ''x

py

旧坐标

新坐标

(,)(',')x y x y ⇒即

(0,1)(0,0)⇒所以 '''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨

=-→⎩⎩

原来则转换到新坐标就成为： 12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒

+=-1212''

1''

y y x x +=-

12''1k k +=-即设直线方程为：

l ''1mx ny +=原方程：则转换到新坐标就成为：

2244x y +=22

'4('1)4x y ++=展开得：

22

'4'8'0x y y ++=

构造齐次式：

2

2

'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：

22

(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以，则

2'x 2

(48)'8'10n k mk +++=所以所以

128''148m k k n +=-

=-+1

2212

m n m n -=⇒=+而对于任意都成立. ''1mx ny +=1

'

(''1('')102

2

x n x ny n x y ∴++=⇒++

-=n 则：，故对应原坐标为所以恒过定点. ''0

'2''2102

x y x x y +=⎧=⎧⎪

⇒⎨⎨

=--=⎩⎪⎩21x y =⎧⎨=-⎩(2,1)-例3：已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭

22

182

x y +=(2,1)P 圆于两点，证明：直线斜率为定值.

,

A B AB

解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：

P

''x py

旧坐标

新坐标

(,)(',')x y x y ⇒