计算机图形学 曲线的生成
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Bezier曲线在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第一 条边及最后一条边的走向一致。
2、对称性 。 Bezier曲线形状相同，走向相反。即假如保持n次Bezier曲 线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（Pi）改为下 标为n-i的点（Pn-i），则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。
4、三次Bezier曲线：
n=3，三次多项式，有四个控制点，则： 其中
Q(t ) PiBi ,3(t )
i 0
3
(1 t )3 P 0 3t (1 t ) 2 P1 3t 2 (1 t ) P 2 t 3 P3
B 0 , 3(t ) (1 t ) 3 B1, 3(t ) 3t (1 t ) 2 B 2 , 3(t ) 3t 2 (1 t ) B 3, 3(t ) t 3
n=1,有两个控制点，则：
Q(t ) PiBi ,1(t )
i 0
1
(1 t ) P 0 tP1, t [0,1]
说明：一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。
矩阵表示为：
1 1 P0 P(t ) [t ,1] P 1 0 1
为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处 要求各种连续性条件。
1、C0连续，可以简单的表示曲线相连，即如果两个曲线段具有一个 公共的端点，那么这两个曲线段是连续的。
2、C1连续，如说明代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的 一阶导数。 3、二阶参数连续，记作C2连续，是指两个曲线段在相交点处有相同 的一阶和二阶导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段。
1 P0 0 P 1 0 P2 0 P3
t [0,1]
二、Bezier曲线的性质
1、端点及端点切线 t=0：
Q(0) PiBi , n(0)
i 0
n
P0 B 0, n(0) P1B1, n(0) ... PnBn, n(0)
3、三次B样条曲线的边界条件
如果要使曲线以P0为起始点且切于向量p0p1，同时以Pn为终点且切于 向量pn－1Pn，那么只需要在始端和终端各增加一个顶点P－1及Pn＋1，使
得向量P－1P0＝P0P1,Pn－1Pn＝PnPn+1,这样在始端和终端所增加的B样条
曲线段即可满足上述要求。
3、凸包性。Bezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（包 含所有顶点的最小凸多边形）之中，
4、几何不变性。
这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形 状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的 选择。
三．Bezier曲线的拼接
7.1.1 规则曲线绘制的基本原理
对曲线进行离散化处理，把它们分割成很多 短的直线段，用这些短的直线段组成的折线来逼 近曲线。 至于这些短的直线段取多长，则取决于图形 输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度， 但我们所要求达到的精度不能逾越图形设备实际 所具有的精度。
7.1.2 规则曲线绘制的基本方法
，此时所对应的基底函数分别为：
1 1 F2,3 (t ) (1) j C4j (t 1 j )3 3! j 0 1 (3t 3 3t 2 3t 1) 6 1 0 F3,3 (t ) (1) j C4j (t j )3 3! j 0 1 3 t 6
t=1： P 0
Q(1) PiBi , n(1)
i 0
n
P0 B 0, n(1) P1B1, n(1) ... PnBn , n(1) Pn
Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。
Q (t ) n ( Pi pi 1) Bi 1, n 1(t )
7.2.2 基本定义
1.参数连续性
C0连续：曲线相连。
C1连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 一阶导数 C2连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 一阶导数和二阶导数 2.几何连续性
G0连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。
G1连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。 G2连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数和二阶导数均成比 例。
2、B样条曲线的性质
（1）端点性质及连续性
（2）局部性 每一段三次B样条曲线由4个控制点的位置向量来决定。改变一个控 制点的位置，最多影响四个曲线段。 （3）扩展性 如果增加一个控制点，就相应地增加了一段B样条曲线。且原有B样 条曲线不受影响，而且新增地曲线段与与原曲线地连接处具有一阶 、二阶连续的特性。
Chap 7
曲线的生成
7.1. 规则曲线的生成
所谓规则曲线就是一条可以用标准代数方程来描 述的曲线。 例如，在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的 点都能满足符合某种条件，而满足该条件的点又均位于 这条曲线上，那么我们就可以把这种对应关系写成一个 确定的函数式： y = f (x) 这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即 为这个方程的曲线。
（1）具有二阶几何连续；（2）不存在多余的拐点和奇异点；（3） 曲率变化较小。
拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。
7.2.1 曲线的表示要求
1)唯一性
2)几何不变性
3)易于定界
4)统一性 5)易于实现光滑连接 6)几何直观
7.2.2 基本定义
型值点： 是指通过测量或者计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的 数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建 立曲线的数学模型，从而根据数学模型去获得曲线上每一点的 几何信息。 控制点： 是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该 控制点。
' i 1
n
在起始点，t=0，B0,n-1(0)=1,其余项均为0，故有：
Q' (0) n( P1 P0)
在终止点，t=1， B n-1,n-1(1)=1,其余项均为0，故有：
Q' (1) n( Pn Pn 1)
对于三次Bezier曲线，n=3，所以
Q ' (0) 3( P1 P 0) Q ' (1) 3( P 3 P 2)
则第i段、三次B样条曲线的矩阵形式可表示为：
Qi ,3 (t ) Fl ,3 (t ) Pi l
l 0
3
t3 t2
1 3 3 3 6 3 1 t 1 3 6 3 0 4 1 1
源自文库
T M B GB
1 Pi 0 Pi 1 0 Pi 2 0 Pi 3 t [0,1)
三．Bezier曲线的拼接
设有两条Bezier曲线Q1(t)和Q2(t) ，其控制顶点分别为：Ｐ0,Ｐ1,Ｐ2 ,Ｐ3及 R0 ,R1,R2 ,R3 如何把它们按照一定的连续条件连接起来？ （1） Q1(t)的终点P3和Q2(t)的始点R0重合，即达到C0连续。 （2）要使它们达到C1连续的充要条件是，P2，P3=R0，R1三点共线,且。 P2 ，R1应在P3=R0的两侧 （3）要使它们达到C2连续的充要条件是要在C1连续的前提下再增加两个 条件，即：
1 3 F0,3 (t ) (1) j C4j (t 3 j )3 3! j 0 1 3 (t 3t 2 3t 1) 6 1 2 F1,3 (t ) (1) j C4j (t 2 j )3 3! j 0 1 3 (3t 6t 2 4) 6
P1
•密切平面重合,副法线矢量同向。 •曲率相等。
P0
P2 P3(R0)
R3
R2
R1
7.2.3 B样条曲线的定义
1、B样条曲线的数学表达式 （1）一般形式 若给定N＝m+n＋1个顶点（m为最大段号，n为阶次），则第i段（ i＝0，1,…,m）、n次等距分割的B样条曲线函数可表示为：
Qi ,n (t ) Pi l Fl ,n (t ), l 0,1,...,n
参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列
点的纵横坐标，从而画出曲线。
(3)极坐标方程曲线的生成
极坐标方程形式是 r = P (θ) ，式中r为向径，θ为 极角。因绘图时使用的是直角坐标系，因此在绘制极坐
标方程曲线时，需先将点的极坐标(r ,θ)转换成直角坐标
(x , y) ，然后才能画出这个点曲线。坐标转换公式为： x = r cosθ y = r sinθ
其中，基底函数：
i 0
n
1 n l Fl ,n (t ) (1) j Cnj1 (t n l j ) n n! j 0
j n
n! C j!(n j )!
Pi l
为定义第i段曲线特征多边形的 n＋1个顶点
（2）三次（四阶）B样条曲线
由于n=3，所以l＝0，1，2，3
称为三次Bezier曲线的调和函数。这四条曲线均是三次 曲线，形成Bezier曲线的一组基。任何三次Bezier曲线 都是这四条曲线的线性组合。
B0,3(t)
B3,3(t)
B1,3(t)
B2,3(t)
0
t
三次Bezier曲线四个Bezier基函数
1 3 3 3 6 3 p(t ) t 3 t 2 t 1 3 3 0 0 0 1 T M be Gbe
(1)函数 y = f (x) 曲线的生成
绘制曲线 y = f (x) 时，应给出自变量x的取值范围 x1 和 x2 ，并选取适当的 x 增量Δ x ，计算出曲线上一系列 相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。
(2)参数方程曲线的生成
绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算 机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式： x = f 1( t ) y = f 2( t )
7.2 自由曲线的生成
广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。 插值：给定一组有序的数据点Pi，i＝0，1，…，n，构造一条曲线顺 序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，搜构成的曲线称 为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为 对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 光顺：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是：
7.2.2 Bezier 曲线
一、定义及其数学表示式
1、定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…， n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：
其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t) 是n次Bernstein基函数：
Bezier曲线的例子
2、一次Bezier曲线
3、二次Bezier曲线：
n=2，有三个控制点，则：
Q PiBi , 2(t )
i 0
2
( P 2 2 P1 P0)t 2 2( P1 P0)t P0
说明：二次Bezier曲线为抛物线。
P(t ) [t 2
1 2 1 P0 t 1] 2 2 0 P 1 1 0 0 P2
2、对称性 。 Bezier曲线形状相同，走向相反。即假如保持n次Bezier曲 线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（Pi）改为下 标为n-i的点（Pn-i），则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。
4、三次Bezier曲线：
n=3，三次多项式，有四个控制点，则： 其中
Q(t ) PiBi ,3(t )
i 0
3
(1 t )3 P 0 3t (1 t ) 2 P1 3t 2 (1 t ) P 2 t 3 P3
B 0 , 3(t ) (1 t ) 3 B1, 3(t ) 3t (1 t ) 2 B 2 , 3(t ) 3t 2 (1 t ) B 3, 3(t ) t 3
n=1,有两个控制点，则：
Q(t ) PiBi ,1(t )
i 0
1
(1 t ) P 0 tP1, t [0,1]
说明：一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。
矩阵表示为：
1 1 P0 P(t ) [t ,1] P 1 0 1
为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处 要求各种连续性条件。
1、C0连续，可以简单的表示曲线相连，即如果两个曲线段具有一个 公共的端点，那么这两个曲线段是连续的。
2、C1连续，如说明代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的 一阶导数。 3、二阶参数连续，记作C2连续，是指两个曲线段在相交点处有相同 的一阶和二阶导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段。
1 P0 0 P 1 0 P2 0 P3
t [0,1]
二、Bezier曲线的性质
1、端点及端点切线 t=0：
Q(0) PiBi , n(0)
i 0
n
P0 B 0, n(0) P1B1, n(0) ... PnBn, n(0)
3、三次B样条曲线的边界条件
如果要使曲线以P0为起始点且切于向量p0p1，同时以Pn为终点且切于 向量pn－1Pn，那么只需要在始端和终端各增加一个顶点P－1及Pn＋1，使
得向量P－1P0＝P0P1,Pn－1Pn＝PnPn+1,这样在始端和终端所增加的B样条
曲线段即可满足上述要求。
3、凸包性。Bezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（包 含所有顶点的最小凸多边形）之中，
4、几何不变性。
这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形 状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的 选择。
三．Bezier曲线的拼接
7.1.1 规则曲线绘制的基本原理
对曲线进行离散化处理，把它们分割成很多 短的直线段，用这些短的直线段组成的折线来逼 近曲线。 至于这些短的直线段取多长，则取决于图形 输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度， 但我们所要求达到的精度不能逾越图形设备实际 所具有的精度。
7.1.2 规则曲线绘制的基本方法
，此时所对应的基底函数分别为：
1 1 F2,3 (t ) (1) j C4j (t 1 j )3 3! j 0 1 (3t 3 3t 2 3t 1) 6 1 0 F3,3 (t ) (1) j C4j (t j )3 3! j 0 1 3 t 6
t=1： P 0
Q(1) PiBi , n(1)
i 0
n
P0 B 0, n(1) P1B1, n(1) ... PnBn , n(1) Pn
Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。
Q (t ) n ( Pi pi 1) Bi 1, n 1(t )
7.2.2 基本定义
1.参数连续性
C0连续：曲线相连。
C1连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 一阶导数 C2连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 一阶导数和二阶导数 2.几何连续性
G0连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。
G1连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。 G2连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数和二阶导数均成比 例。
2、B样条曲线的性质
（1）端点性质及连续性
（2）局部性 每一段三次B样条曲线由4个控制点的位置向量来决定。改变一个控 制点的位置，最多影响四个曲线段。 （3）扩展性 如果增加一个控制点，就相应地增加了一段B样条曲线。且原有B样 条曲线不受影响，而且新增地曲线段与与原曲线地连接处具有一阶 、二阶连续的特性。
Chap 7
曲线的生成
7.1. 规则曲线的生成
所谓规则曲线就是一条可以用标准代数方程来描 述的曲线。 例如，在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的 点都能满足符合某种条件，而满足该条件的点又均位于 这条曲线上，那么我们就可以把这种对应关系写成一个 确定的函数式： y = f (x) 这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即 为这个方程的曲线。
（1）具有二阶几何连续；（2）不存在多余的拐点和奇异点；（3） 曲率变化较小。
拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。
7.2.1 曲线的表示要求
1)唯一性
2)几何不变性
3)易于定界
4)统一性 5)易于实现光滑连接 6)几何直观
7.2.2 基本定义
型值点： 是指通过测量或者计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的 数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建 立曲线的数学模型，从而根据数学模型去获得曲线上每一点的 几何信息。 控制点： 是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该 控制点。
' i 1
n
在起始点，t=0，B0,n-1(0)=1,其余项均为0，故有：
Q' (0) n( P1 P0)
在终止点，t=1， B n-1,n-1(1)=1,其余项均为0，故有：
Q' (1) n( Pn Pn 1)
对于三次Bezier曲线，n=3，所以
Q ' (0) 3( P1 P 0) Q ' (1) 3( P 3 P 2)
则第i段、三次B样条曲线的矩阵形式可表示为：
Qi ,3 (t ) Fl ,3 (t ) Pi l
l 0
3
t3 t2
1 3 3 3 6 3 1 t 1 3 6 3 0 4 1 1
源自文库
T M B GB
1 Pi 0 Pi 1 0 Pi 2 0 Pi 3 t [0,1)
三．Bezier曲线的拼接
设有两条Bezier曲线Q1(t)和Q2(t) ，其控制顶点分别为：Ｐ0,Ｐ1,Ｐ2 ,Ｐ3及 R0 ,R1,R2 ,R3 如何把它们按照一定的连续条件连接起来？ （1） Q1(t)的终点P3和Q2(t)的始点R0重合，即达到C0连续。 （2）要使它们达到C1连续的充要条件是，P2，P3=R0，R1三点共线,且。 P2 ，R1应在P3=R0的两侧 （3）要使它们达到C2连续的充要条件是要在C1连续的前提下再增加两个 条件，即：
1 3 F0,3 (t ) (1) j C4j (t 3 j )3 3! j 0 1 3 (t 3t 2 3t 1) 6 1 2 F1,3 (t ) (1) j C4j (t 2 j )3 3! j 0 1 3 (3t 6t 2 4) 6
P1
•密切平面重合,副法线矢量同向。 •曲率相等。
P0
P2 P3(R0)
R3
R2
R1
7.2.3 B样条曲线的定义
1、B样条曲线的数学表达式 （1）一般形式 若给定N＝m+n＋1个顶点（m为最大段号，n为阶次），则第i段（ i＝0，1,…,m）、n次等距分割的B样条曲线函数可表示为：
Qi ,n (t ) Pi l Fl ,n (t ), l 0,1,...,n
参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列
点的纵横坐标，从而画出曲线。
(3)极坐标方程曲线的生成
极坐标方程形式是 r = P (θ) ，式中r为向径，θ为 极角。因绘图时使用的是直角坐标系，因此在绘制极坐
标方程曲线时，需先将点的极坐标(r ,θ)转换成直角坐标
(x , y) ，然后才能画出这个点曲线。坐标转换公式为： x = r cosθ y = r sinθ
其中，基底函数：
i 0
n
1 n l Fl ,n (t ) (1) j Cnj1 (t n l j ) n n! j 0
j n
n! C j!(n j )!
Pi l
为定义第i段曲线特征多边形的 n＋1个顶点
（2）三次（四阶）B样条曲线
由于n=3，所以l＝0，1，2，3
称为三次Bezier曲线的调和函数。这四条曲线均是三次 曲线，形成Bezier曲线的一组基。任何三次Bezier曲线 都是这四条曲线的线性组合。
B0,3(t)
B3,3(t)
B1,3(t)
B2,3(t)
0
t
三次Bezier曲线四个Bezier基函数
1 3 3 3 6 3 p(t ) t 3 t 2 t 1 3 3 0 0 0 1 T M be Gbe
(1)函数 y = f (x) 曲线的生成
绘制曲线 y = f (x) 时，应给出自变量x的取值范围 x1 和 x2 ，并选取适当的 x 增量Δ x ，计算出曲线上一系列 相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。
(2)参数方程曲线的生成
绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算 机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式： x = f 1( t ) y = f 2( t )
7.2 自由曲线的生成
广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。 插值：给定一组有序的数据点Pi，i＝0，1，…，n，构造一条曲线顺 序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，搜构成的曲线称 为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为 对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 光顺：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是：
7.2.2 Bezier 曲线
一、定义及其数学表示式
1、定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…， n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：
其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t) 是n次Bernstein基函数：
Bezier曲线的例子
2、一次Bezier曲线
3、二次Bezier曲线：
n=2，有三个控制点，则：
Q PiBi , 2(t )
i 0
2
( P 2 2 P1 P0)t 2 2( P1 P0)t P0
说明：二次Bezier曲线为抛物线。
P(t ) [t 2
1 2 1 P0 t 1] 2 2 0 P 1 1 0 0 P2