非正弦周期电流电路信号及其分解

iS
Im 2
2Im π
[sin(t)
1 sin(3t)
3
1 sin(5t)
5
]
k
1 31 51 71
O
kω1
矩形波的
-π/2
相位频谱
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a2k b2k 0
f (t) O T/2
Tt
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周期函数的频谱图：
幅度频谱 Akm
Akm k1的图形
O 1 31 51 71
kω1
相位频谱
k k1的图形
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例2-1
Im
周期性方波信号的分解。
iS
iS(t)
Im
t
O T/2 T
0
0tT 2
T tT 2
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为
二次谐波 （2倍频）
高次谐波
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
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也可表示成
Akm cos(k1t k ) ak cos(k1t) bk sin( k1t)
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] k 1
系数之间的关系为
13-1 非正弦周期信号
生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等 方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f (t) f (t nT)
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例1-1 半波整流电路的输出信号。
T f (t) dt ∞ 0
可展开成收敛的傅里叶级数
注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足
狄里赫利条件。
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周期函数展开成傅里叶级数： 直流分量
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
基波（和原 函数同频）
A2m cos(21t 2 )
An m cos(n1t n )
例1-2 示波器内的水平扫描电压。
周期性锯齿波
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例1-3 脉冲电路中的脉冲信号。
t T
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例1-4 交、直流共存电路。
+V
Es
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13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
若周期函数满足狄里赫利条件：
①周期函数极值点的数目为有限个。
②间断点的数目为有限个。 ③在一个周期内绝对可积，即
求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
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注意 利用函数的对称性可使系数的确定简化
f (t) ①偶函数
f (t) f (t) bk 0
②奇函数
－T/2 O
f (t)
T/2 t
f (t) f (t) ak 0
－T/2 O T/2t
③奇谐波函数
f (t) f (t T ) 2
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
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iS
Im t
O T/2 T
等效电源
IS0
iS1
i i S3
S5
iS
Im 2
2Im π
[sin(t)
1 sin(3t)
3
1 sin(5t)
5
]
IS0
iS1
iS 3
iS 5
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iS
Im
Akm t
矩形波的 幅度频谱
O T/2 T
O 1 31 51 71 k1
直流分量：
I0
1 T
T 0
iS (t) dt
1 T
T /2
0 Imdt
Im 2
谐波分量： bk
1 π
2 0
π
iS
(t
Im [ 1 cos(kt)]
πk
)
π 0
sin( kt )d(t )
0 2Im
k为偶数
kπ k为奇数
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ak
2 π
2
0
π
iS
(t
)
cos
(kt
)d(t
)
2Im π
1 sin(kt)
k
π 0
0
Ak
b2 k
a2 k
bk
2Im kπ
iS 的展开式为
（k为奇数）
iS
Im 2
2Im π
[sin(t)
1 sin(3t)
3
1 sin(5t)
5
]
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周期性方波波形分解
直流分量 基波
t
三次谐波
五次谐波
t
t
七次谐波
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直流分量+基波 直流分量 基波
A0 a0
Akm ak2 bk2
ak Akm cosk
k
arctan( bk ak
)
bk Akm sin k
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系数的计算：
A0
a0
1 T
T
0
f
(t)dt
ak
1 π
2πБайду номын сангаас
0
f
(t ) cos(k1t )d(1t )
bk
1 π
2π
0
f
(t ) s in( k1t )d(1t )