Z变换

b0 b1 z 1 b2 z 2 bm z m B( z) X ( z) 1 2 n A( z) 1 a1 z a2 z an z
r A Ck n k X ( z) Bn z 1 1 k 1 z z [ 1 z z ] n 0 k 1 k 1 k i M N M r
R1 X (z) K 1 1 P1 z
Rn 1 Pn z 1
三、实验原理
例3 用MATLAB命令进行部分分式展开，并求出其z反变换。
X ( z) 18 18 3z 1 4 z 2 z 3 | z | 0.5
解：MATLAB源程序为
B=[18]; A=[18,3,-4,-1]; [R,P,K]=residuez(B,A)
z 1

1 ( z 2)
z 1
1
即 X ( z)
z z z z 2 z 1 ( z 1) 2
x(n) [2n 1 n]u(n)
பைடு நூலகம் 用matlab求其部分分式
z z 2 X ( z) 2 ( z 2)( z 1) (1 z 1 )2 (1 2 z 1 )
三、实验原理
2、系统函数的零极点分析 离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与 激励的z变换之比:
H ( z) Y ( z) X ( z)
如果系统函数 H ( z ) 的有理函数表示式为
b1 z m b2 z m1 bm z bm1 H ( z) a1 z n a2 z n1 an z an1
( z z1 )(z z 2 ) ( z z m ) H ( z) k ( z p1 )(z p2 ) ( z pn )
三、实验原理
例8 已知一离散因果LTI系统的系统函数为：
z 0.32 H ( z) 2 z z 0.16
试用MATLAB命令求该系统的零极点。
三、实验原理
MATLAB信号处理工具箱提供了一个对X(z)进行部分分式
展开的函数residuez，其语句格式为： [R,P,K]=residuez(B,A) 其中: B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量， z 1 分子与分母多项式按照 升幂排列，从 z0的系数开始 R为部分分式的系数向量； P为极点向量； K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。
n
n x ( n ) z

其中，符号表示取z变换，z是复变量。 相应地，单边z变换定义为：

X ( z ) Z[ x(n)] x(n) z
n 0
n
三、实验原理
1. 求z变换 a. 使用ztrans和iztrans MATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans和z反变换函数iztrans，其语句格式 分别为 Z=ztrans(x) x=iztrans(z) 上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表 示，可通过sym函数来定义。
计算
2 111
，商的精度要求达到4位
1 111 200 000 111
若要求序列x(n)的长度为Nq
即 商的长度为Nq
当分子的长度b小于分母a的长度时，补0的长度为 (Na-Nb)+(Nq-1)
例6 用长除法求逆z变换：P53 例2-6
1 X ( z) 1 4 z 1 1 0.25z 1
试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。 1 0.36 z 2 H ( z) 1 1.52 z 1 0.68 z 2
MATLAB源程序为：
B=[1,0,-0.36]; A=[1,-1.52,0.68]; [R,P,K]=tf2zp(B,A) zplane(B,A),grid on; legend('零点','极点'); title('零极点分布图');
三、实验原理
MATLAB实现
在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到， 也可借助DSP工具箱中的函数tf2zp得到，tf2zp的语句格 式为： [R,P,K]=tf2zp(B,A) 其中，B与A分别表示分子与分母多项式的系数向量。 它的作用是将H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益 形式：
b=[0,0，1]; a=poly([1,1,2]); [r,p,k]=residuez(b,a);
得到 r= 1.0000 -0.0000 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i p=
2.0000 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i []
%初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数 %求三个系数[r,p,k]
B，A X(z)的分子与分母多项式的系数向量 R为部分分式的系数向量； P为极点向量； K为多项式的系数。
三、实验原理
R= 0.3600 0.2400 0.4000
P=
0.5000 -0.3333 -0.3333 K= []
从运行结果可知
p2 p3
表示系统有一个二重极点。 所以，X(z)的部分分式展开为
8 z 19 X ( z) 2 z 5z 6
| z | 3
Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); x=iztrans(Z); simplify(x) ans= -19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1) charfcn[0](n)是(n)函数在MATLAB符号工具箱中的表 示，反变换后的函数形式为：
X ( z )
1 0 1 (1 2 z 1 ) 1 z 1 (1 z 1 )2
对比一下两种分解方式，二者是 等价的。
k=
c.用长除法法求逆Z变换
MATLAB中提供了多项式乘法和除法函数：conv(b, a)和 deconv(b, a) C=conv(b, a)：其中b、a是两个向量。 如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法； 如果是任意两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。
三、实验原理
3、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
在离散系统中，z变换建立了时域函数 h(n)与z域函数 H ( z ) 之间的对应关系。因此，z变换的函数 H ( z ) 从形式可以 反映 h(n) 的部分内在性质。 我们通过讨论H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的 零极点分布与系统时域特性的关系。
X ( z)
0.5 0.5 1 z 1 1 (1 3) z 1
结合其ROC，可以得到信号为
x(n) 0.5 u(n 1) 0.5(1/3)nu(n 1)
三、实验原理
例5 用部分分式法求逆z变换：X ( z ) 解：
c3 c1 c2 X ( z) 1 z ( z 2)( z 1)2 z 2 z 1 ( z 1) 2
【例1】 试用ztrans函数求下列函数的z变换。
x(n) a cos(n)u(n)
n
x=sym('a^n*cos(pi*n)'); Z=ztrans(x); simplify(Z) % simplify(S) 对表达式S进行化简 ans= z/(z+a)
【例2】 试用iztrans函数求下列函数的z反变换。
[q,r]=deconv(b, a)：其中b、a是两个向量。 如果是一个有理分式的分子、分母多项式的系数，则完成 多项式的除法b/a； 如果是任意两个数组，则完成的是解卷积b/a； 返回结果q为商，r为余数。
在z变换应用时，要求[b, a]是X(z)中按照z-1的升幂排
列的分子分母的系数。
计算序列x(n)的长度：
z 2
z ( z 2)( z 1) 2
X ( z) c1 ( z 2) z
c2
1
z 1
1 d 2 X ( z) ( z 1) (2 1)! z dz

1 ( z 2) 2
z 1
1
c3
1 2 X ( z) ( z 1) (2 2)! z
实验五 z变换
一、实验目的
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换
和z反变换；
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的系
统函数的零极点分布与时频特性分析；
二、实验设备
1、计算机 2、MATLAB6.5 软件
三、实验原理
(1) 序列的正反Z变换
X ( z ) Z [ x(n)]
1 z X ( z) 2 z 例4 用部分分式法求逆z变换： 3z 4 z 1 3
z z 1 X ( z) 2 3z 4z 1 3 4z 1 z 2
MATLAB程序： b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a); 得到 r =[0.5, -0.5]’ p =[1, 1/3]’ k =[] %初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数
19 x(n) (n) (5 3 n 1 3 2 n 1 )u (n) 6
三、实验原理
b. 使用部分分式展开求逆z变换
如果信号的z域表示式是有理函数，进行z反变换
的另一个方法是对X(z)进行部分分式展开，然后 求各简单分式的z反变换.如果X(z)的有理分式表 示为：
X ( z)
0.36 0.24 0.4 1 0.5 z 1 1 0.3333z 1 （1 0.3333z 1 ) 2
x(n) [0.36 (0.5) n 0.24 (0.3333 ) n 0.4(n 1)(0.3333 ) n ]u(n)
三、实验原理
三、实验原理
z 0.32 z 0.32z H ( z) 2 z z 0.16 1 z 1 0.16z 2
>>B=[1,0.32]; >>A=[1,1,0.16]; >>[R,P,K]=tf2zp(B,A) R= -0.3200 P= -0.8000 因此，零点为： z 0.32 -0.2000 K= 极点为： p1 0.8 p2 0.2 1
1 2
三、实验原理
若要获得系统函数的零极点分布图，可直接应用zplane函 数，其语句格式为： zplane(B,A) 其中，B与A分别表示的分子和分母多项式的系数向量。 它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。
三、实验原理
例9 已知一离散因果LTI系统的系统函数为：
z 2 0.36 H ( z) 2 z 1.52z 0.68
Nq=7; %待求解x(n)的项数 b=[-1]; %初始输入分子多项式的系数 Nb=length(b); %分子多项式的项数 a=poly([4,0.25]); % poly() 求解多项式的系数， Na=length(a); %分母多项式的项数 b=[b, zeros(1,Nq+Na-Nb-1)]; % 将b补零成为长度为Nq+Na-1的多项 式 Nb=length(b); %分子多项式的项数 [q,r]=deconv(b,a) %求二个系数[q,r] stem([0:Nq-1],q); title('x(n)'); xlabel('n'); ylabel('x(n)');
例7 用长除法求逆z变换：
X ( z) 1
1 0.9z 1 0.7 z
1 2 1
Nq=100; %待求解x(n)的项数 b=[1]; %初始输入分子多项式的系数 Nb=length(b); %分子多项式的项数 a=poly([0.9,0.9,-0.7]); % poly()可以求解多项式的系数，初始输入分母多 项式的项数 Na=length(a); %分母多项式的项数 b=[b, zeros(1,Nq+Na-Nb-1)]; % 将b补零成为长度为Nq+Na-1的多项式 Nb=length(b); %分子多项式的项数 [q,r]=deconv(b,a) %求二个系数[q,r] stem([0:Nq-1],q); xlabel('n') ylabel(‘x(n)')