第四章弯曲内力(平面刚架内力图)

m=Pa A
m=Pa x a B
P C a
(2) 取一段 (3) 加内力
x
o
M
Fs
FS ( x ) 0
(0 x a )
(4) 列平衡
F 0 Mo 0
材料力学
M ( x) （逆） m（顺） 0
M Pa
(0 x a )
求BC段的剪力和弯矩：
(1) 切一刀 (2) 取一段
剪力图： Fs
x
弯矩图：
M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例；
4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力
方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，
材料力学
二. 弯曲内力的计算练习
练习一：简支梁受力如图，试求C截面（跨中截 面）上的内力。
M1 2qa
2
q C
M2 2qa2
A a
B
a
4a
材料力学
M1 2qa
2
q C
M2 2qa2
A
FAy
a
B a 4a
FBy
1.根据平衡条件求支座反力
M
材料力学
A
0 0
FBy 3qa
M
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 F=qa C
剪力图和弯矩图
q
x
M
A
B 2a
FBy
Fs a FAy
2.分段列剪力方程和弯矩方程
CA段:
F
y
0
x
Fs( x ) qa
M ( x ) qax
(0 x a ) (0 x a )
M
材料力学
0
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 F=qa
为使同一位置处两侧截面上内
力分量必须具有相同的正负号，根据
梁的变形来规定内力的符号。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
剪力FS 符号规定：
Fs
Fs
规定产生顺时针转动效果的剪力为正，反之为负。 概括为“左上右下，剪力为正”。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
弯矩M 符号规定：
压 拉
使梁弯曲呈下凸的弯矩为正，反之则为负。 概括为“左顺时针右逆时针，弯矩为正”。
弯曲内力/剪力和弯矩
§4.3 剪力和弯矩
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a
m F
b
A
x
m
B
L
材料力学
a A x
m F
1.根据平衡条件求支座反力
b
B
m
Fb FAy L
Fa FBy L
L
m
FAy
A o x
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
思考： 以控制截面为分界线，将梁进行分段， 控制截面指外力规律发生变化的截面， 一般情况下梁横截面上的剪力和弯矩 各段单独列剪力方程和弯矩方程。 例如集中力、集中力偶的作用点、分布
随截面的位置而变化，在解题的时候，如 载荷的起点和终点对应的横截面。 何对梁进行分段？
材料力学
练习二：外伸简支梁受力如图所示。试列出梁
的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯
矩图。
F=qa C a
q
A 2a
B
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
1.根据平衡条件求支座反力
F=qa
C q A a FAy 2a
FBy
B
M M
材料力学
A
0 0
FBy
B
FAy
1 qa 2 5 qa 2
B
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8 KN .m
2、求指定横截面上的剪力和弯矩
P=2KN
q=2KN/m
A E
1m 1m
M
C
（2）求C截面上的内力
F B D
1m
Fs
2m
FBy
FAy
1m
F
y
0
FSC(↓) + q×1(↓) －FAY(↑) =0
FSC=1KN
M
C
0
M(逆) +q×1×0.5 (逆) +Mo(逆) -FAY×2 (顺) =0
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
m=Pa P B a a C
AB段：
FS ( x ) 0
M Pa
(0 x a ) (0 x a )
A
BC段：
FS ( x ) P
M 2Pa - Px
材料力学
(a x 2a )
Pa
-P
Fs 图
（x的区间）即可。
2. 剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处，F S(x)应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。 3. 若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。
F=qa
C a
q A
2a B
3.作剪力图
CA段:
M0 8 KN .m
P=2KN
q=2KN/m
A E
1m
材料力学
F C
1m 2m
B
1m 1m
D
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8 KN .m
P=2KN
q=2KN/m
A
FAy
E
1m 1m
C
2m
FBy
F
B
1m 1m
D
1.根据平衡条件求支座反力
M
M
材料力学
A
0
0
FBy 7 KN
FAy 3KN
剪力图和弯矩图
q
M
C AB段 :
x A
a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAy
B
Fs 2a
FBy
F
y
0
FS ( x) q( x a) FAy qa 0
5 FS ( x ) qa qx (a x 3a ) 2 Mx 0 (x - a) M ( x )(逆) q( x a ) (逆) FAy ( x a)(顺) qax(逆) 0 2 5 1 M( x) qax qa( x a ) q( x a )2 (a x 3a ) 2 2 材料力学
A
M F
E
1m 1m
C
2m
B
FBy
Fs
1m
D
FAy
1m
（4）求B右截面上的内力
F
材料力学
y
0
FSB右=4KN M= － 5KNm
MB右 0
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8 KN .m
P=2KN
q=2KN/m
A
F
E
1m 1m
C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
（5） B左右截面内力的关系
FBy
F M0 q A
C
a/2
D a
B
2a
材料力学
结论
在集中力偶作用处的截面两侧， 弯矩有突变，而剪力没有变化。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
完成课本118页例4.1
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
§4.4
剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
m=Pa P A
m=Pa
P
x
a
B a
C
x
(3) 加内力 (4) 列平衡
o
M
Fs
F 0 Mo 0
材料力学
FS ( x ) P 0
M 2Pa - Px
FS ( x ) P
(a x 2a )
M ( x )(逆) m( 顺) P(x a)(逆) 0
(a x 2a )
(a x 2a )
M 图
3.求FSmax和Mmax
m=Pa A B a
P C a
FS
max
P
（在BC段的各横截面上）
M max Pa
（在AB段的各横截面上）
-P
Fs 图
Pa
M 图
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
注意：
1. 在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围
剪力 Fs——使截面不产生移动 弯矩M ——使截面不产生转动
M
Fs
m
FAy
Fb Fs L
材料力学
M
o
0
A o x
m
FAy x （顺） M（逆） 0
Fb M FAy x x L
M
FAy
Fs
m
注：弯曲时横截面上的内力 既包括剪力又包括弯矩。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
思考： 如截取m-m截面右段梁， 则内力方向有何改变？
第四章 弯曲内力
材料力学
弯曲内力/弯曲的概念和实例
§4.1 弯曲的概念和实例
材料力学
弯曲内力/弯曲的概念和实例
一. 弯曲的概念
Me F2
q
F5
轴线
F 1
F3
F4
F6
弯曲：杆件受到垂直于杆轴线的外力即横向力或 受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线
由直线弯成曲线。
以弯曲为主要变形的杆件称之为梁。
对称面上。
材料力学
二. 弯曲实例
杠 铃 横 杠
材料力学
起 重 机 横 梁
材料力学
弯曲内力/受弯杆件的简化
§4.2 受弯杆件的简化
材料力学
一.受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂， 为了便于分析计算，应对受弯杆件进行必要的简 化，抽象出计算简图。 1.构件本身的简化
2.载荷的简化
材料力学
弯曲内力/弯曲的概念和实例
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如： T形梁 工形梁 矩形梁 圆截面梁
材料力学
弯曲内力/弯曲的概念和实例
F
q
M
横截面对称轴 轴线
概 念 图 解
梁弯曲后的轴线 纵向对称面
纵向对称面： 通过梁轴线和截面对称轴的平面。
平面对称弯曲： 梁所受外力和弯曲后的轴线都在纵向
（2）可动铰支座
一个约束，两个自由度
材料力学
（3）固定端
XA A YA
MA
三个约束，无自由度
材料力学
弯曲内力/受弯杆件的简化
二.静定梁的基本形式
静定梁：
支座反力可由静力平衡方程完全求出。 静定梁分类：
简支梁
材料力学
外伸梁
悬臂梁
弯曲内力/受弯杆件的简化
（a）简支梁
（b）外伸梁
（c）悬臂梁
材料力学
利用控制截面分段
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
练习：利用控制截面法将梁进行分段
M0 8 KN .m
P=2KN q=2KN/m
A E
1m
3m
F B D
1m
FBy
1m
FAy
5个控制截面，将梁分为４段．
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图
用图示的方法表示剪力和弯矩沿轴线的变化情况。
一.剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩 随截面的位置而变化。（如图）
M0 8 KN .m
P=2KN
q=2KN/m
A E
1m 3m
F B
1m 1m
D
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数， 即
FS=FS(x)
M=M(x)
称为剪力方程和弯矩方程。
并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
m=Pa A B a
P
C
a
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
1.列出梁的剪力方程和弯矩方程
不同截面上的内力是不同的，因此，先利 用控制截面法将梁进行分段．
m=Pa A B a a P C
材料力学
求AB段的剪力和弯矩：
(1) 切一刀
2
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
F
y
0
Fs qa
q
M2 2qa2
M
B
Fs q 2a FBy 0
Fs
C a
FBy
M
C
0
M（顺） 2qa a（顺） M2 （顺） FBy 2a（逆） 0
M 2qa
材料力学
2
弯曲内力/剪力和弯矩
B
FAy qa
弯曲内力/剪力和弯矩
2.求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2
q C
M
Fs
F
y
0
A
FS q 2a FAy 0
FAy
a
M
Fs qa
0
C
M（逆） 2qa a（逆） M1 （顺） FAy 2a（顺） 0
M 2qa
材料力学
材料力学
M= － 3KNm
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8 KN .m
P=2KN
q=2KN/m
M
A
F
E
1m 1m
C
2m
FBy
Fs
1m 1m
B
D
FAy
（3）求B左截面上的内力
F
材料力学
y
0
FSB左=－3KN M= － 5KNm
M
B左
0
弯曲内力/剪力和弯矩
M0 8 KN .m
P=2KN
q=2KN/m
FS
FSB右 FSB左 FBy
FS
M
M
MB右 MB左 FBy 0
材料力学
M B左
B左
B
B右
弯曲内力/剪力和弯矩
FBy
FS
M
FS
M
结论
B左
B
B右
在集中力作用处的截面两侧，剪
力有突变，而弯矩没有变化。
材料力学
练习三：一外伸梁受力如图，分析D左截面和D 右截面上内力的相互关系 。
总结：截面法求内力的注意事项
1.切一刀： 按指定截面和指定要求切； 2.取一段： 取简单的一段； 3.加内力： 内力必须为正方向； 4.列平衡： 平衡方程中的正负号。
材料力学
练习二： 一外伸梁受力如图所示，试求
（1）C截面上的内力；
（2）B左和B右截面上的内力； （3）分析B左和B右截面上内力的相互关系。
3.支座的简化
材料力学
1.构件本身的简化
通常取梁的轴线代替梁。
材料力学
2.载荷的简化
F1
F2
通常将载荷简 化为集中载荷 和均布载荷。
桥面板作用在钢梁的力
材料力学
均布载荷（设载荷为F，长度为L）：
q=F/L
q为单位长度内的载荷，称为载荷集度。 材料力学
3.支座的简化 （1）固定铰支座
两个约束，一个自由度