(完整版)利用轴对称求最短距离[1]

④ 如图所示，在/ AOB 的边AO , BO 上分别找一点 E , F 使得DE + EF + CF 最小.分别 过点C , D 作关于AO , BO 的对称点 DC '，连接D C '，并与AO , BO 分别交于点 E , F , 此时DE + EF + CF 最小，则点E , F 即为所求.
最短路径问题 和最小
【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离 的和最小（将军饮马问题）•如图所示，在直线 直线AB 与直线I 的交点时，PA + PB 最小. l 上找一点 P 使得PA + PB 最小.当点P 为 B 4
P , B' 【方法归纳】 ①如图所示，在直线I 上找一点B 使得线段AB AB 即为所求.
最小•过点A 作AB 丄I ，垂足为B ,则线段 ②如图所示，在直线 BB 与直线I 交于点 I 上找一点P 使得PA + PB 最小.过点B 作关于直线I 的对称点B P ,此时
PA + PB 最小，则点P 即为所求. B a p. B'
③如图所示，在/ AOB 的边AO , BO 上分别找一点 C , D 使得PC + CD + PD 最小.过点P 分别作关于 AO , BO 的对称点E , F ，连接EF ，并与AO , BO 分别交于点 C , D ，此时PC + CD + PD 最小，则点C , D 即为所求.
B
A D' A
⑤如图所示，长度不变的线段CD在直线I上运动，在直线I上找到使得AC + BD最小的CD的位置.分别过点A, D作AA 7/ CD , DA '// AC, AA '与DA '交于点A',再作点B关于直线I的对称点B '，连接A'B与直线I交于点D 7,此时点D'即为所求.
0 I
r f f
-A'
D D'
B'
1
⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线(y= -x2) 上的一点，点 A (0, 1 )在y 轴正半轴.点P在什么位置时PA+ PB最小？过点B作直线I: y=- 1的垂线段BH BH ' 与抛物线交于点P',此时PA+ PB最小，则点P即为所求.
1.(13广东)已知二次函数y= x2—2mx + m2- 1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点0( 0, 0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当m = 2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P,使得PC + PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；
若P点不存在，请说明理由.
A D' A
【思路点拨】
（1）由二次函数的图象经过坐标原点0（0, 0）,直接代入求出m的值即可；
（2）把m= 2代入求出二次函数解析式，令x= 0,求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；
（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC + PD最短，求出CD 的直线解析式，令y= 0，求出x的值，即可得出P点的坐标.
【解题过程】
解：（1）•••二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），
•••代入二次函数y= x2—2mx + m2—1，得出：m2— 1 = 0，解得：m=± 1，
•••二次函数的解析式为：y= x2—2x或y= x2+ 2x;
（2）• m= 2，•••二次函数y= x2—2mx + m2—1 得：y = x2—4x + 3 =（x—2）2—1，•抛物线的顶点为：D （2，—1），
当x= 0 时，y= 3，「. C 点坐标为：（0，3），• C （0，3）、D （2，—1）;
（3）当P、C、D共线时PC+ PD最短，
【方法一】
• C （0，3）、D （2，—1），
设直线CD的解析式为y= kx + 3，代入得：2k+ 3 =—1，• k=—2，「.y=—2x + 3，
当y= 0时，一2x+ 3= 0，解得x= 3，• PC + PD最短时，P点的坐标为：P （|，
0）.
【方法二】
过点D作DE丄y轴于点E，
•PO〃DE，• DO=CO，• P0=4 解得:PO=2,
•PC + PD最短时，P点的坐标为：P （2，0）.
1
2. (11荷泽)如图，抛物线 y = ?x 2+ bx -2与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1, 0).
(1)
求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
(2) 判断△ ABC 的形状，证明你的结论；
(3) 点M ( m , 0)是x 轴上的一个动点，当 MC + MD 的值最小时，求 m 的值.
【思路点拨】
(1) 把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点 D 的坐标；
(2)
观察发现厶ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明.
由抛物线的解析式，
分别求出点B , C 的坐标，再得出AB , AC , BC 的长度，易得AC 2+ BC 2= AB 2,得出△ ABC 是直角三角形；
(3) 作出点C 关于x 轴的对称点C',连接C'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最 短”可知MC + MD 的值最小.求出直线 C'D 的解析式，即可得出点 M 的坐标，进而求出 m 的值. 【解题过程】
解：
(
1 )• ••点A (- 1, 0)在抛物线 y =护+ bx —
2 上,
1
X 2
(—1 ) 2
+ b X(— 1)— 2
=0,解得 . 3
b 一 3，
-25) 抛物线的解析式为
1 2 y=
2x2-
3 1/3、
-?x—2=(x—p
2 25
—8 ,•顶点
D的坐标为 (j,
(2) 当x= 0 时y=—2,. • C (0,—2), OC = 2 .
当y= 0 时，|x2—|x—2= 0,• •• X1=—1 , X2=
4, • B(4, 0), • OA = 1 , OB = 4,
AB = 5.
•/ AB 2= 25, AC 2 = 0A 2+ 0C 2= 5, BC 2= 0C 2+ OB 2= 20,「. AC 2 + BC 2 = AB 2. •••△ ABC 是直角三角形.
(3)作出点C 关于x 轴的对称点C',贝U C ' ( 0, 2), 0C = 2,
连接C 'D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MC + MD 的值
最小.
【方法一】
x + 2.
24
• m =41.
41 24
.•.当 y = 0 时，—祛 + 2= 0, x = 41 【方法二】 设抛物线的对称轴交 x 轴于点E .
•/ ED // y 轴，•/ OC 'M = / EDM ，/ C'OM =Z .OM = OCJ • EM = ED ， 2 24 = ，…m =
25 41 .
DEM C 'OM
DEM .
设直线C D 的解析式为y = kx + n ,则 n = 2 |k + n 一 25 解得: n = 2
k =-芸.y = 41
12。