结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载

(d)
Δ
2Mu
1.5ql 1.2MuC 2.4MuD 2Mu (C D )
7.6
0.75l Mu
q3
6.756 l2
Mu
29
2 极限荷载取各跨独自破坏时的破坏荷载的最小值
6.4 q1 l 2 M u
q2
17.6 l2
Mu
6.756 q3 l 2 M u
qu
6.4
Mu l2
连续梁极限荷载的计算方法： ⑴对每一跨独立破坏机构分别求出相应的破坏荷载； ⑵取其中的最小值为极限荷载。
方向作单向运动。
33
【例17.4】 试求图示梁在均布荷载作用下的极限荷载。
q
A
B
x
EI＝常数
A
C
B
(b)
l
解：A端出现塑性铰,另一个塑
A
c
性铰有待确定。设坐标为
x，列虚功方程
q l 2
M u A
C
A
x
C
l x(l
x)
求dqq′的 最0 小x值2 4lx 2l 2 0
dx
x1 2 2 l (舍去）， x2 2 2 l
l 0.75l 0.75l
1.2Mu 1.2Mu
(c)
Δ
Mu
q
l 2
1.2M uB
1.2M uC
Mu
( B
C
)
8.8 l
M
u
q2
17.6 l2
M
u
28
CD跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
此处极限弯矩取左右两段的极
限弯矩中的较小者。
1.2M u
2.4M u
FPu Mu' A MuD
FPu
M
' u
3 2l
Mu
9 2l
A
M ' u
A
2l /3
FPu
DC
Mu
D
l/3
FPu
l
(M u
M u )
A
3 2l
D
3 2l
3 l
9 2l
弯矩图如图，弯矩
MB=
1 2
(M
' u
Mu )
M
u
,即M
' u
3M u
时，此破坏形态就可实现。
M' u
1 2
(M
' u
答案：正确
36
5、塑性铰处的弯矩值可以小于极限弯矩值 。 答案：错误
6、当截面的弯矩达到极限值——极限弯矩时，该截面的应力（ B ）。 A 继续增加； B 不再增加 C 迅速增加 D 缓慢增加
7、当结构中最大弯矩所在截面的边缘应力达到屈服应力时，如果继续
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s (S S )
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
6
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
解: A 3600mm2
只可能在各跨两端出现。
25
【例17.3】
图示连续梁，每跨为等截面。设AB和BC跨的正极限弯矩 为 M u ，CD跨的正极限弯矩为 2M u ；又各跨负极限弯
矩为正极限弯矩的1.2倍。试求连续梁的极限荷载 qu
q ql
(a) A
B
C
1.5ql
D
0.5l 0.5l l 0.75l 0.75l
解： 1 分别求出各跨独自破坏时的破坏荷载 (穷举法)
利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。 多采用机动法。
14
§17-3 超静定梁的极限荷载
一．单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰 的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。
FP
A
C
B
(a)
l2
C l 2
M
A
FP l
(b)
FP弹性阶段
MC
5 32
FPl
弹性阶段，A截面弯矩最大。
解：
FPu l
Mu
FPu
Mu l
13
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
确定极限荷载的方法： 静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。 虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构，
15
塑性阶段，A截面形成第一个塑性铰。
Mu
FP增大
A
C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
FP达到极限值FPu
Mu
16
[例] 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。
解：计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构
结构在A、C截面出现塑性铰。 A
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11.7 M u l2
34
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
【例】 AB段极限弯矩为 Mu，BC段极限弯矩为Mu。
求图示梁的极限荷载。
A
FP
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解:出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。
由于AB段、 BC段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅 可以出现在产生最大弯矩的A、D截面，也可能出现 在截面改变处B，可能的破坏机构有两种。
20
1 如果B、D截面出现塑性铰
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
-
M
u
)
FPu D
C
A
B
Mu 22
综上，当M
' u
3Mu
时，两种破坏形态都可能出现，
此时，塑性铰出现在位置A、B、D三个截面。
A
FP
B
D
C
l/3
l/3
l/3
计算超静定结构的极限荷载，关键是确定破坏机构，即 塑性铰的数量及位置。
23
二．多跨连续梁的极限荷载计算（重点）
连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不可能由相 邻几跨联合形成一个破坏机构。
该结构整体变为机构而破坏
结构局部变为机构而破坏。
不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同11 。
对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了 具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。 超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰， 结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。
26
AB跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
1.2M u
(b)
Mu
ql 1.2MuB Mu ( A B )
1.2M
u
0.5l
M
u
( 0.5l
0.5l
)
q1
6.4 l2
M
u
27
BC跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
FP1 Mu
FP 2
Mu (a)
FP1 Mu
FP 2
(b) Mu
FP 2
FP1
Mu
Mu
(c)
（c)图不可能出现
24
FP 2
FP1
Mu
45KN
15KN/m
40KN
Ai
B 1.5i
C
i
D
Mu
(c)
2m 6m
3m
8m
8m
（c)图不可能出现
25.26 60
49.49
74.67 120
75
Fra Baidu bibliotek
A
B
C
D
连续梁在竖向向下荷载作用下，每跨内的最大负弯矩
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
s
4
a)
b)
c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
A
B
2FPu2
Mu
1.2Mu
1.2Mu
C
3l / 4 2
2 FPu 2
3l
4
M u
1.2Mu (2
)
FPu 2
3l
2
4.6Mu
FPu 2
3.07
Mu l
FPu1
6Mu l
故
FPu
3.07
Mu l32
§17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
1. 比例加载 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例。
荷载只是单调增大，不出现卸载现象。
2．结构的极限状态应当满足的条件
1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一 局部都保持平衡。
2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，
结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即
︱M︱≤Mu 。 3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够
数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载
第15章 结构的塑性分析与极限荷载
第17章 结构的极限荷载
1
§17-1 概述
弹性设计方法 没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实
上，由塑性材料组成的结构当某一局部的σmax达到了屈服极 限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有 时不够经济合理。 塑性设计方法
塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。
1 静力法
FP
C
B
l/2
l/2
1 4
FPul
Mu
1 2
Mu
FPu
3 2
Mu
4 l
6M u l
Mu
FPu
A
C
B
Mu
极限状态的弯矩图
17
2 虚功法
A
Mu
FPu
C
1 Mu l/2
1
2 l/2
设破坏机构
B
令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向，
大小为δ。
1
l/2
2
l
2
21
4
l
列出刚体虚功方程： FPu M u M u 0
A l/3
FPu
B
DC
Mu
B
Mu
D
l/3
l/3
B
3 l
D
6 l
此时M图如图，MA=3Mu
3M u
Mu
A
B
l/3 l/6
FPu
D
C
Mu
当3M u M u，此破坏可实现。
由虚功方程可得： FPu MuB MuD
FPu
Mu
(3 l
6) l
FPu
M u l
21
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
35
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
答案：正确
3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素 影响。
答案：正确
4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷 载。
30
[例] 试求连续梁的极限荷载。
FP
2FP
A
Mu
0.5l
0.5l
B 0.75l 1.2Mu 0.75l
C
Mu FPu1 Mu
A
B
C
l / 2 2
解：
1) 第一跨破坏时
l
FPu1 2
Mu (2
)
FPu1
6Mu l
31
FP
2FP
A
Mu
0.5l
0.5l
B 0.75l 1.2Mu 0.75l
C
2) 第二跨破坏时
塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大
的方向发生有限的转角，卸载时消失。
8
都江堰市都江之春大厦 底层柱顶塑性铰
侧移机构
9
柱端塑性铰比较严重
10
破坏机构 结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构(几何可变体系), 失去继续承载的能力,称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
A1 A2 A / 2 1800mm2
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴:
20mm
y .mm
M u S (S S ) S [ A A .]
S
A
[
.]
S
A
.
26.79KN m
7
塑性铰、极限荷载
2
理想弹塑性模型
在塑性设计中，假设材料为理想弹塑 性材料，其应力与应变关系：加载时
s
A
B
材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。
残余应变
s A
CB
o
ε
理想弹塑性模型
o
D
εεP εs
ε
当应力达到屈服应力后在C点卸载，卸载时材料为线弹
性的。当应力减小为零时，应变为εP，εP是塑性应变，又
称残余应变。
3
§17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
5
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
s A1 s A2 0
A1 A2 A/ 2
结构的极限受力状态应满足的条件（P273）：
⑴平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； ⑵局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； ⑶单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
12
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu 已知M u
FPu
Mu
(
l
) 0
l
得:
FPu
6M u l
18
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
qu
A
C
B
l/2
l/2
A Mu
Mu l
C B
2 Mu
解：计算刚体虚功：
2
瞬变体系机构
W
l
y qu dx
Mu
Mu
Mu
qu
(
l
l
)
M u
qu l
M u
虚功方程：
qu l
M u
qu
16M u l 2 19