“四点共圆”在中考数学解题中的应用赏析

2

1

A

B

D

C

“圆”来如此简单

——“四点共圆”在中考解题中的应用赏析

2012年8月，在暑假集体备课之际，新浙教版数学教材以焕然一新的面貌出现在大家眼前。与老版相比，新版教材增加了一些传授内容。其中，九年级上册的《圆内接四边形》就是一节新增内容。而且与之配套的《数学教学参考书》在3.6《圆内接四边形》这一课时末尾，颇有用意地在第103页“相关资源”中对于如何判定四点共圆作了批注。原文如下：

如何判定四点共圆。对于四点共圆的判定一般有以下两种方法：

1.如图，四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等

（如12

∠=∠），则这个四边形为圆内接四边形，也就是四边形的

四个顶点共圆。

2.如果四边形的两个对角互补，那么这个四边形为圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。

判定四点共圆会给许多几何问题的解决带来方便。

近年来，经过笔者的收集整理和实践探究，发现很多地方的中考试题，都能通过妙用四点共圆达到事半功倍的效果。现就四点共圆问题在中考解题中的应用，采撷几例，剖析解法，供大家分享。

一、四点共圆与线段问题结合的应用举例

例1．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB 的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．

（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

原方法分析：第（2）小题作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定

义得出EQ=1

2

BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=

3

2

AE，又BE=AE，

进而求出EF：EG的值．

原方法解答：（1）略

（2）解：如图，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四边形EQDH是矩形，

∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，

∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

∴sin∠B=

1

2 EQ

BE

=，

∴EQ=1

2 BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

∴cos∠AEH=

3

2 EH

AE

=，

∴EH=

3

2

AE．

∵点E为AB的中点，∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH=1

2

BE：

3

AE=1：．

该方法采用了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．

下面赏析四点共圆方法解（2）：

G

F

D

E

C

A B

解：连结GF,DE

∵在△ABC中，∠CAB=90° AC：AB=1：∴∠CBA=300

∵AD⊥BC ∴△BAD是直角三角形

∵点E为AB的中点∴DE=BE ∴∠EDB=∠CBA=300

∵EF⊥CE，AD⊥BC，

∴四边形DGEF对角互补

∴D、G、E、F四点共圆

∴∠FGE=∠FDE=300

∴EF：EG=tan∠FGE=1：

例2（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；

（2）求证：AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

原方法分析：第（2）题在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE ≌△ECP，于是结论得出；

原方法解答：（1）（3）略

（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，

∵∠B=90°，BK=BE，

∴∠BKE=45°，

∴∠AKE=135°，

∵CP平分外角，

∴∠DCP=45°，

∴∠ECP=135°，

∴∠AKE=∠ECP，

∵AB=CB，BK=BE，

∴AB﹣BK=BC﹣BE，

即：AK=EC，

易得∠KAE=∠CEP，

∵在△AKE和△ECP中，

，

∴△AKE≌△ECP（ASA），

∴AE=EP；

该方法采用了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此方法综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．

下面赏析四点共圆方法解（2）：

解：连结AC、AP

∵在正方形ABCD中∠BCD=900

CP是正方形外角的平分线

∴∠ACD=450∠PCD=450

∴∠ACP=900

∵∠AEP=90°

∴A、E、C、P四点共圆

∴∠APE=∠ACE=450

∴△EAP是等腰直角三角形

∴AE=EP

二、四点共圆与函数问题结合的应用举例

例3如图（1），直线

1

2

2

y x

=-+交坐标轴于A、B两点，交双曲线()0

k

y x

x

=<

于点C，且

(1)求k的值.

(2)如图（2），A,G关于y轴对称，P为双曲线上一点，过P作PD⊥x轴于D，分

S AOC=8