概率统计分布模型

应用举例
例3：某交叉口有左转专用信号相，通过调查分析， 车流符合二项分布，每一周期内平均到达20辆车， 有25%的车辆左转但无右转，试求： <1>到达三辆车中有一辆左转车的概率； <2>某一周期不使用左转信号相的概率？
离散型分布---- 3.负二项分布
基本公式：P(0) p P(k) k 1(1 p) P(k 1) 0 p 1
离散型分布---- 2.二项分布
基本公式：
P(k
)
Cnk
(
t n
)
k
(1
t n
)
nk
参数个数： p t , n
n
递推公式： P(k) Cnk pk (1 p)nk
数字特征：M np D np(1 p)
参数估计:
p m s2 m
n m m2 p m s2
适用条件：二项分布适用于描述比较拥挤，车辆自由行
T闭
3600(1
Qtc
e 3600
Qtc 3600
Qtc
e ) 3600
连续型分布----2.移位负指数分布
t 基本公式：P(ht t) e(t ) P(ht t) 1 e(t ) 参数个数：
密度函数：F(t) 1 e(t) p(t) F(t) e(t)() e(t)
数字特征：M 1
参数估计： 1
m
l
m2 s2
模型简化：
l 1时,
P( ht
t)
11
(t)i
i0
et i!
et
l 2时,
P( ht
t)
21
(2t)i
i0
e2t i!
[1 2t]e2t
l 3时,
P( ht
t)
31
(3t)i
i0
e3t i!
[1 3t 1 (3t)2 ]e3t
2
l 4时,
k
参数个数：p
数字特征：M (1 p)
p
D
(1
p2
p)
参数估计：p
m s2
m2 s2 m
适用条件：该模型适用于波动性很大的车流。
应用举例
某一信号灯控制的交叉路口，绿灯时间约有80% 的车辆可以直接通过，而有20%的车辆产生延误。 现有观测资料若干，试计算5辆车中可直接通过4 辆车的概率？不发生延误的车辆是多少？
应用一：计算无控交叉口次要道路的通行能力
1.某主干道优先次干道等让交叉口，主干道上的车流通
行能力为Q主 辆/小时，为连续行驶的交通流并假定车流的
车头时距分布服从移位的负指数分布，允许次要道路车辆 通过或插入的临界间隙为α秒，当出现可插间隙时，次要 道路车流可以相继通过的随车时距为β秒，试分析计算该
多少？次要道路可能通过的车辆又为多少？
P(ht
6) e6
12006
e 3600
e2
0.1353
e
12006
e 3600
e2
Q次 Q主 1 e 1200
12003 1200 1 e1 257
1 e 3600
P(ht
6)
e(6 )
1200(61.0)
e 3600
5
e 3
概率统计分布模型
信号灯配时:一个周期内到达的车辆数 行人交通管制:大于行人穿越时间的车头时距频率 无控交叉口次要道路通行能力:主要车流的车头时 距的分布。 交通实体的到达具有随机性，有两种方法描述： 1. 离散型分布：描述给定时间或距离内到达的车辆数 的变化。 2. 连续型分布：描述车辆到达时间间隔的统计特性。
离散型分布---- 1.泊松分布
基本公式：P(k) (t)k et
k!
参数个数：在计数间隔内平均到达的车辆数 m t
递推公式： P(k 1) m P(k) k 1
数字特征：均值 M t方差 D t
参数估计：样本均值作为参数的取值
适用条件：适用于密度不大，车辆间的相互影响微弱，其 它外界干扰因素基本上不存在的车流，即车流是随机的。
D
1
2
参数估计： 1 m s
s
连续型分布----2.移位负指数分布
适用条件：适用于描述不能超车的单列车流的车 头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。
缺陷：车头时距越接近，其出现的可能性越大。
P(t)
t
一般时距分布图 （1）车头时距分布的概率密度曲线一般是先升后降。 （2）为了克服移位的负指数分布的局限性，可以采用更通 用的连续型分布模型，如M3分布、爱尔朗分布、Wei bull分 布、Pearson III型分布、对数正态分布、复合指数分布等。
假定tc为车辆或行人横穿车流的临界时间，那么开段就 是车头时距大于或等于tc 的区段，闭段就是车头时距 小于tc 的区段。
开段和闭段相关计算公式
开段分布概率：P开
P(ht
tc ) etc
Qtc
e 3600
Qtc
1h内开段总个数：n开 Qe 3600
开段所有车头时距平均值：h开
tc
3600 Q
Erlang分布的应用
计算无控交叉口次要道路的通行能力或交通量
Q次
Q主
l 1 i0
(1)i i!
Q主 l x e 3600
Q主 l x
1 e 3600
(i) x1
当参数l等于2时，有：
Q次
3600e2
[1 2
1
]
连续型分布----4.Wei bull分布
( t )
基本公式： P(ht t) e t
( t )
P(ht t) F(t) 1 e
0
参数个数：三个参数，起点参数 、现状参数、尺度参数
密度函数：
p(t) F '(t)
( t
( t )
) 1e
概率密度曲线：Wei bull分布的概率密度曲线类似于Erlang分
布的概率密度曲线，其密度曲线的形状随参数的大小而变化。
交叉口的理论通行能力（次要道路上排队不超过n辆）。
Q次
Q主
(1
e ( )
)(1 e
)
• 2.某不设信号管制的交叉口，次要道路上车流为能横穿
主要道路车流，车辆通过主要车流的最小ht为6s，次要 道路饱和车流的平均ht为3s，主要道路Q为1200辆/h。 求:(1) ht为6s或更大的概率？次要道路可能通过的车 辆数？(2)若最小ht为1.0s，那么ht大于等于6s的概率是
分布函数
F(t) P(ht
l 1
t) 1 (lt)i
i0
elt i!
密度函数 p(t) F'(t) lelt (lt)l1 l 1/ 2 / 3
(l 1)!
概率密度曲线 1.0 0.8 L=1
0.6 L=2
0.4 L=4
0.2
0
参数l的取值等于2时，密度曲线为先升后降，符合车头时距的一般变化规律。
1 1200 1
1 3 1200
]
255辆 / h
3600
3600
应用二：计算信号交叉口左转车流通行能力
连续型分布----3.Eralng分布
基本公式：P(ht
t)
l 1 i0
(lt )i
elt i!
P(ht
t)
1
l 1 i0
(lt )i
elt i!
参数个数：l
数字特征：M 1
1
D 2l
合并后的理论频数大于5为止 ，且此时应以合并后的组 数作为计算自由度的组数 。
连续型分布----1.负指数分布
基本公式： P(ht t) et P(ht t) 1 et
参数个数：一个
概率密度函数：F (t) P(ht t) 1 et
p(t) F'(t) et () et
Q例4：某无信号控制交叉口，主要道路上的流量为Q辆/小 时，次要道路上车流横穿主要车流所需要的时间为秒， 主要道路上车辆的车头时距服从负指数分布，试求次 要道路上车辆的平均延误时间？
d 1 [e 1]
交通流中的开段和闭段
开段与闭段的含义：在对车辆行驶状态调查中，可以 观测到有些车辆间距可以允许行人或车辆横穿，而有 些车辆间距行人或车辆无法横穿。通常称能横穿的区 段为开段，不能横穿的区段则称之为闭段。
离散型分布---- 4.拟合优度检验
拟合优度检验概述
➢对于实际观测到的交通流数据，到底属于何种概 率分布模型，事先是不知道的，但可以假定其服 从某种分布，然后来检验其是否服从该分布。
➢检验就是将理论分布与实际分布作比较，进行数 据拟合，这就需要有一套评价拟合质量的方法。 在交通工程中，常用的是 2 检验法。
P( ht
t)
41
(4t)i
i0
e4t i!
[1 4t 1 (4t)2
2
1 (4t)3]e4t
6
l , 将产生均一的车头时距
适用条件：
Erlang分布函数中的参数l可以反应从自由车流到拥挤车 流的各种车流条件。参数l的取值越大，车流越拥挤，驾 驶员自由行车越困难；l的取值越小，说明车流越畅通， 驾驶员有较大的行驶自由度。通常，Erlang分布中的参数 l可以认为是非随机性程度的一种粗略表示，车流的非随 机性程度随着参数l的增加而增加。
0.1889
Q次
Q主
e ( ) (1 )(1 e
)
1200
(1
1200(61.0)
e 3600
1200
1.0)
(1
12003
e 3600
)
3600
1200
(1
5
e3 1) (1 e1) 3
269辆 / h
Q次
Q主
e ( ) 1
[1 2
1200(61)
1
e 3600
] 1200
[0.5
1h内开段包括的全部时间：T开
Qtc
Qe 3600 (tc
3600 ) Q
开段和闭段相关计算公式
闭段分布概率
：P闭
P(ht
tc ) 1 etc
Qtc
1 e 3600
1h内闭段总个数
：n闭
Q(1
Qtc
e ) 3600
闭段平均时距值
：
h闭
1
[1 etc
tcetc
]
1 etc
1h内闭段包括的全部时间 ：
拟合优度检验的步骤
建立原假设H0
数据整理
分布形式
模型标定
g
选择适宜的统计量 2
fi2 N
F i1 i
确定统计量的临界值
2
显著性水平的确定；自由度DF的计算 DF g q 1
判断统计检验的结果
2 2则接受； 2 2 则拒绝
拟合优度检验时的注意事项
总频数应较大，即样本量应足够的大。 样本分组应连续 ，且样本分组数应不小于5。 检验时，应优先选用简单的概率统计分布模型去拟合。 计算理论频数后，应将理论频数小于5的组合并，直到
例2：某交通流属泊松分布，已知交通量为1200辆/小时， 试求车头时距t≥5s的概率；车头时距t>5s的出现的次数； 车头时距t≥5s的车头间隔的平均值？
应用举例
例3：某主干道优先次干道等让交叉口，主干道上的车流 通行能力为Q主辆/小时，为连续行驶的交通流并假定 车流的车头时距服从负指数分布，允许次要道路车辆 通过或插入的临界间隙为秒，当出现可插间隙时，次 要道路车流可以相继通过的随车时距为秒，试分析计 算该交叉口的理论通行能力（假定次要道路上排队车 辆最多不超过n辆）。
驶机会不多的车流。
应用举例
例1：在某条公路上，上午高峰期间，以15s间隔 观测到达车辆数，得到的结果如下表示，试用二 项分布拟合之。
到达数xi <3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >
频数fi
0 3 0 8 10 11 10 11 9 1 1 0
例2：有一信号灯控制的交叉口停车线处，每周期 平均到达的车辆数为20辆，其中20%是左转车辆， 求该信号周期中没有左转车的概率？
数字特征：M 1
参数估计： 1
m
D 1
2
连续型分布----1.负指数分布
适用条件：描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的
多列车流的车头时距分布。 缺陷：车头时距越短出现的概率越大，但这种情形在不能
超车的单列车流中是不可能出现的。
应用举例
例1：在交通量为Q=600辆/小时的道路上，在观测断面处 的到达车辆数服从泊松分布，求车头时距在18-24秒之 间的数量占总车头时距数量的比例？
应用举例
例1：在平均交通量为120辆/h的道路上，车辆到达符合泊 松分布，求30s内无车、有1辆、2辆、3辆、4辆及以上车 辆到达的概率。 例2：60辆汽车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路 段上有4辆及4辆以上车辆的概率。 例3：某信号灯交叉口周期T=96s，有效绿灯时间g=44s,在 有效绿灯时间内排队的车流以Q=900辆/h的流量通过交叉 口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯 交叉口上游车辆的到达率为λ=369辆/h，车辆的到达服从 泊松分布，求使到达的车辆不致两次排队的周期占周期总 数的最大百分率？
离散型分布---- 5.拟合优度检验
2检验所能解决的两类问题 某随机变量（车辆到达数）是否服从某种完全给定的概 率统计分布模型（模型及参数）。
某随机变量（车辆到达数）是否服从某种形式的概率统 计分布模型。给定了分布类型（如泊松分布），但没有 给出对应的参数值，而应自行通过样本数据去估计出该 分布的参数值。