27.1.2圆的对称性(教学设计)

第27章圆

27.1.2．圆的对称性

一、学情分析

学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。

学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。

二、教学任务分析

知识与技能：

1．理解圆的旋转不变性；

2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．

过程与方法：

1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。

情感态度与价值观：

培养学生积极探索数学问题的态度与方法。

教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．

教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。

第一环节 课前准备

活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。

第二环节 创设情境，引入新课

活动内容：

问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？

活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。

第三环节 合作探究 感受新知

活动内容：

（一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性；

请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：

它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ?

归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。

（二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理；

做一做

按下面的步骤做一做

1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。

0’

O

2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A 与O ′A ′重合。 由此得到：

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 想一想

1、在同圆或等到圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？

2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？

探索总结：

定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 （三）讲解例题及完成随堂练习。

例1 P38（略）

例2 如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥AB 重足分别为E ，F ．⑴如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？

⑵如果OE=OF 那么AB 与CD 的大小有什么关系？为什么？∠ AOB 与∠ COD 呢？

练习：完成课本P39 随堂练习1、2 活动目的：

进一步培养学生探索新知识的能力，通过实验得到圆的旋转不变性及，利用圆的旋转不变性探索到圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并能用叠合法说明其正确性。

实际教学效果：

1、学生做活动（二）内容的实验时，在画AOB ∠与B O A '''∠重合时，要使OB 相对于OA 的方向与B O ''相对于A O ''的方向一致,否则当OA 与A O ''重合时,OB 与B O ''不重合。

2、要帮助学生理解用叠合法说明该定理。

3、在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提，可通过举反例强化对定理的理解如下所示，虽然AOB ∠=B O A '''∠，但

A O

A '

B '

B C

A F

B

E

O

D

B A AB ''≠，B A AB ''≠。

4、例题的学习，将定理扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系。

第四环节 课堂小结 梳理新知

活动内容：

在得出本节结论的过程中，我们使用了哪些研究图形的方法？（同学们互相讨论，归纳）

活动目的：

培养学生总结，归纳知识的能力，语言的表述能力。 实际教学效果：

要让学生有充分的时间进行交流，讨论。教师在当中要引导学生去归纳。如：折叠、轴对称、旋转、证明等方法。

第五环节 创新探究

活动内容：

如图，在⊙O 中，弦CD AB =，AB 的延长线与CD 的延长线相交于点P ，直线OP 交⊙O 于点E ，F ，你以为APE ∠与CPE ∠有什么大小关系？为什么？

活动目的：

通过弦CD AB =这个条件联想构造它们所对的弦心距的辅助线，去应用本节所学的定理，培养学生综合运用知识的能力。

实际教学效果：

该问题可以一题多变，充分让学生感受到该图形的美，培养学生的发散思维。 第六环节 课后作业

A E C

M

B

D

P

O N