矩阵的特征值和特征向量

称是矩阵A的特征值(eigenvalue)， 称x是矩阵A的对应于特征值的特征向量
(eigenvector)。
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2 1 1
例1
A
4
0
2
3 2 4
1
x1
2
1
2
x2
1
3
验证x1，x2是否是A的特征向量。
解
2 1 1 1 3 1
a1n
即
a21 a22 L
a2n 0
LL LL L LL
an1
an2 L ann
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矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
I A
A的特征矩阵
I A I A 0
A的特征多项式 A的特征方程
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤 ( A I )x 0
1.求矩阵A的特征方程 A I 0
2.求特征方程的根，即特征值
3.对每个特征值 i解方程组 ( A i I ) x 0
求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量
便得属于 i 的全部特征向量。
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则其对应的特征向量 x1, x2 , , xm 线性无关。
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定理3 设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2 ,L , n
(重特征值按重数算), 则有
(1) 12 L n A (2) 1 2 L n a11 a22 L ann TrA,
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(2) 由于Leabharlann Baidu
a11 a12 L a1n
| I A | a21 a22 L a2n
M
M
M
an1 an2 L ann
的行列式的展开中, 主对角线的乘积
( a11 )( a22 )L ( ann ) 是其中的一项;再由行列式的定义可知:展开式中的其余项至多
包含n-2个主对角线上的元素,因此|I-A|中含 n与 n1的项只能
证 (1)由于1, 2 ,L , n为A的特征值,故 | I A | ( 1)( 2 )L ( n )
=n (1 2 L n ) n1 L (1)n 12 L n
令 0,得 | A | (1)n 12 L n,即 | A | 12 L n
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当1 1时，解方程 （A I）x 0
1
A
I
0
4
1 3 1
1
0
4
r3 4r1
r2 3
1
0
0
1 1 3
1
0
0
r1
r3
r2
3r2
1
0
0
0 1 0
1
0
0
得基础解系1 （1，0，1）T 对应于1 1的全部特征向量为k（1 k 0）得基础解
取为
1
1
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当2 4时
34
1
1 x1
3
4
x2
0
0
1
1
1 1
x1 x2
0 0
x1 x2
对应的特征向量可取为
2
1
1
k（1 k 0）是对应于1的全部特征向量
k（2 k 0）是对应于2的全部特征向量
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3.1.2 特征值与特征向量的性质
A
3 1
1
3
解 A的特征多项式为
3
1
1
3
(3 )2 1 2 6 8
( 2)( 4)
A的特征值为 1 2, 2 4
当1 2时， 3 2 即 xx11xx22001
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1 32
x1 x2
0 0
x1 x2
11
1
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对应的特
征向量可
命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
x 0， Ax 1x， Ax 2x
1x
2x
0
（1
2）x
x0
0
1
2
0
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怎样求矩阵A的特征值与特征向量？
Ax x
要求实数与非零向量x.
(AI)x 0
它有非零解的充分必要条件是
AI 0
a11 a12 L
当2 3 2时，解方程 （A 2I）x 0
系
4
A 2I
0
4
1 0 1
1
0
r3
r1
1
4
0
0
1 0 0
1
0
0
0
1
2
11
3
0
4
对应于2 3 2的全部特征向量为
k22 k33 （k2，k3不同时为0）
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练习:求下列矩阵的特征值和特征向量
Ax1
4
0
3 2
2 4
2
1
6
3
3
2
3x1
1
是
2 1 1 2 6
Ax2
4
0
2
1
2
3 2 4 3 4
不是
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命题1 非零n维向量x是n阶方阵A的特征向量的 充分必要条件是：向量Ax与x共线。
命题2 如果x是矩阵A的对应特征值的特征向量， 则k（x k 0）也是A的对应特征值的特征向量。
定理1 n 阶方阵 A 与它的转置矩阵 AT 有相同的特征值。
定理2设 n 方阵 A 有互不相同的特征值 1，2， ，m，
（i I
A）x
0
的基础解系为
i1，
i
，
2
，iri
（i 1，2， ，m）,则
11,12 , ,1r1 ;21,22 , ,2r2 ; ;m1,m2 , ,mrm
线性无关.
推论 若 n 阶方阵有互不相同的特征值 1, 2 , , m
在主对角线元素乘积项中出现,故有
|I-A|= n (a11 a22 L ann ) n1 L (1)n | A | 比较 n1前的系数可得
1 2 L n a11 a22 L ann =trA
第三章 矩阵的特征值与特征向量
§1 方阵的特征值与特征向量 §2 矩阵的对角化
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第1节
方阵的特征值与特征向量
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3.1.1 特征值与特征向量的基本概念
定义3.1
设A是n阶方阵,如果存在n维非零向量x和数
满足
Ax x
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例2：求矩阵的特征值和特征向量
2 1 1
A
0
2
0
4 1 3
解 A的特征多项式为
2 1 1
AI 0
2
0
2 (2 )
1
4 1 3
4 3
(2 )(2 6 4) (2 )( 2 2)
( 1)( 2)2
A的特征值为 1 1, 2 3 2