【高中教育】最新高中数学第二章概率4二项分布导学案

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______年______月______日

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自主整理

进行n次试验，如果满足以下条件：

（1）每次试验只有________________相互________________的结果，

可以分别称为“________________”和“________________”；

（2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为

________________；

（3）各次试验是相互独立的.

设X表示这n次试验中________________次数,则

P(X=k)= ________________(其中k可以取________________).

一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为__________.

高手笔记

1.二项分布的识别策略

(1)凡是所考虑的试验可以看作是一个只有两个可能结果A和A的试验

的n次独立重复,则n次试验中A发生的次数X就服从二项分布.

(2)凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值,否则,随

机变量不服从二项分布.

例如:某射手射击击中目标的概率为0.8,从开始射击到击中目标所需的射击次数X.

分析:本例中的试验虽然满足:①一次试验结果只有两个,“击中”和

“不击中”;②各次试验是相互独立的,且每次试验“击中”发生的概

率都是0.8.但是X的取值不是有限个,而是无限个,即1,2,3,4,…,故

本例中X不服从二项分布.事实上,X服从几何分布,其分布列为

P(X=k)=(1-p)k-1·p (k=1,2,3,…).

(3)凡服从二项分布的随机变量在被看作观察n 次试验中某事件发生的次数时,此事件在每次观察中出现的概率相等,否则不服从二项分布. 例:(1)有一批产品共有N 件,其中M 件次品,采用不放回抽样方法,用X 表示n(n≤N -M 且n≤M )次抽取中出现次品的件数.

(2)有一批产品共有N 件,其中M 件次品,采用放回抽样方法,用Y 表示n(n≤N -M 且n≤M)次抽取中出现次品的件数. (1)中X 不服从二项分布,而服从超几何分布,

P(X=k)=(k=0,1,2,…,n)n

N

k n M

N k M C C C --∙ (2)中Y 服从二项分布,因为“放回”抽样能保证第一次、第二次、第三次、……抽取时抽到次品的概率为.

N

M 2.对P(X=k)=C(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n)的理解与认识k

k n p

如果1次试验中,事件A 发生的概率是p,那么A 发生的概率就是1-p.由于在1次试验中事件A 要么发生,要么不发生,所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次,则在另外的n-k 次中A 没有发生,但A 发生.因为P(A)=p,P(A)=1-p ，所以公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k 恰好为［(1-p)+p ］n 展开式中的第k+1项，这一点充分揭示了排列组合、二项式定理和概率三者之间的密切联系.k n 名师解惑

1.“恰有k 次发生”和“某指定的k 次发生”的区别

剖析：对于独立重复试验来说，恰有k 次发生实质上是k 种彼此互斥事件的情况，其概率为Cpk(1-p)n-k,而某指定的k 次发生是指某指定的试验要发生，另外的试验则不发生，其概率为pk(1-p)n-k.k n

例:社会福利组织定期发行某种奖券,每券1元,中奖率为p,某人购买1

张奖券,如果没有中奖,下次再继续购买1张,直到中奖为止,求此人购

买次数X的分布列.

解:购买奖券次数X的可能取值为全体自然数,事件“X=k”表示“此人

购买第k张奖券,前k-1张都没有中奖,而第k张中奖”,由于各期中奖

与否是相互独立的,因此-p) k-1p(k=1,2,3,4,…).

X12…k……

P p(1-p)p…(1-p)k-1p……

独立重复试验是指在相同的条件下可重复进行的，各次之间相互

独立的一种试验，每次试验都有两种结果（事件A要么成功要么失败），并且在任何一次试验中，事件发生的概率是均等的.在本题中中

奖之前是一定要发生“不中奖”这一事件,因此为独立事件,而不是n

次独立重复试验.这一点很易引起误解,一定要区分开.

2.区别“事件A恰好发生k次”与“最后一次一定是事件A发生”的

差异

剖析：在n次独立重复试验中事件A发生的概率为p,如果X表示事件

A在n次独立重复试验中事件A发生的次数，则事件“A恰好发生k次”的概率是P（X=k）=Cpk(1-p)n-k，而“最后一次一定是事件A发生”

暗含在前n-1次试验中事件A应出现k-1次，此时事件A发生的概率

为P（X=k）=Cpk-1(1-p)n-kp=Cpk(1-p)n-k.k

n

1

1

-

-

k

n

1

1

-

-

k

n

例:甲、乙两队进行比赛,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,比赛实行五局三胜制,X为本场比赛的局数,求X的概率分布列.

解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,则乙队胜甲队的概率为1-

0.6=0.4,比赛三局结束有两种情况:甲队胜三局或乙队胜三局,因而有P(X=3)=0.63+0.43=0.28；比赛四局结束有两种情况:前三局中甲胜2局,第四局甲胜或前三局中乙胜2局,第四局乙胜,因而