基本不等式 教学设计

基本不等式

2a b +≤

(2) 课程目标

(),02

a b a b +≥。结合具体事例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 教材分析

本节在上节课的基础上，主要讲解基本不等式在求最值中的应用，采取化归、方程等思想将函数表达式转化，然后采取换元、“1”的代换等方法将题目解答。本节所使用的方法较多，可帮助学生通过类比，再加深理解等式和不等式的共性与差异，具体到本节课的要求，无论方法还是思想，运用基本不等式时始终应注意“一正二定三相等”。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解基本不等式在求最值中的应用.

教学目标

重点：基本不等式的应用

难点：应用基本不等式时应注意“一正二定三相等”

知识点：求解最值时函数的变形方法

能力点：培养学生观察、分析、猜想等思维能力

教育点：引导学生体会化归思想在数学中的应用

自主探究点：变形的其他方法

考试点：基本不等式的应用

易错易混点：应用基本不等式时忽略“一正二定三相等”

拓展点：数字“1”的其它表现形式

教具准备 多媒体

一、复习引入

1、基本不等式2

b a ab +≤ 称ab 为b a ,的几何平均数,称

2b a +为b a ,的算术平均数,即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数；利用分析法和几何法的证明；

2.重要变形

+≥a b 积定和最小),22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

(和定积最大)； 3.利用基本不等式求最值

运用基本不等式求最值需满足“一正二定三相等”,即

（1）0,0a b >>；

（2）积定和最小,和定积最大；

（3）等号成立的条件：当且仅当a b =时等号成立.

4、课堂练习

（1）04,(82)x y x x <<=-当时函数的最大值是_____.

（2）18,221

x y x x >=+-当时函数的最小值是_____. 二、讲授新知

例1.求下列函数的最值

（1）当0x >时,求21()x f x x

+=的最小值； （2）当0x >时,求234()x x f x x

++=的最小值； （3）当1x >-时,求234()1

x x f x x ++=+的最小值；

解：(1)由0x >,因此10x

>,即得211()2x f x x x x +==+≥=,当且仅当1x =时等号成立.

（2）由题意得2344()3x x f x x x x ++==++,由0x >可得40x >,因此()37f x ≥=,当且仅当2x =时等号成立.

（3）(法I)分离常数

2234(1)(1)22()(1)1111x x x x f x x x x x ++++++===++++++,由1x >-可得

10 x+>,

2

1

x

>

+

,因此由基本不等

式()11

f x≥=,当且仅

当1

x=时等号成立.

(法II)换元法

令1

t x

=-,则0,1

t x t

>=-,

因此原式

2

(1)3(1)42

=11

t t

t

t t

-+-+

=++≥,

当t=

即11

x t=-=时等号成立.

【设计意图】函数

1

(0)

=+>

y x x

x

是很多分式函数求最值的原式模型,第(3)题中采用了常用的两种解决分式函数最值的方法,其目的就是为了通过变形得到类似函数

1

(0)

=+>

y x x

x

的形式,进而利用基本不等式(由于两个正数的积为定值),求出函数的最小值.

【变式练习】(1)求函数

42

2

33

1

x x

y

x

++

=

+

的最小值.

解：令21

t x

=+,则1

t≥,21

x t=-,

因此原式

22

(1)3(1)311

+12

1

t t t t

t

t t t

-+-+++

===+≥

-

,当且仅当1

t=即0

x=时,等号成立. （2）若对任意的0

x>,

231

x

a

x x

≤

++

恒成立,则实数a的取值范围是_____.(2010山东) 解：由0

x>,因此

2

11

1

315

3

x

x x x

x

=≤

++++

,当且仅当1

x=时等号成立,因此

1

5

a≥.

例2．已知0

x>,0

y>,且

19

1

x y

+=,求x y

+的最小值.

解：(法I)“1”的代换

199

()()10

x y

x y x y

x y y x

⎛⎫

+=+⋅+=++

⎪

⎝⎭

,由于0

x>,0

y>,因此由基本不等式可得

原式102316

≥+⨯=,当且仅当3

y x

=时等号成立.又

19

1

x y

+=,解得4,12

x y

==.

所以当4,12

x y

==时,

min

()16

x y

+=.

(法II)消元