电子电路正弦曲线向量..
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正弦交流电基本概念 向量分析法
图2-1
u Um 0 （a） ωt
Um
u
0
u Um
φ0 （b）
ωt
0
φ0 （c）
ωt
图（a）中，φ0=0，u=Umsinωt；
图（b）中，φ0>0，u=Umsin(ωt+φ0)；
图（c）中，φ0<0，u=Umsin(ωt－φ0)。 φ0的正、负问题。
－π<φ0<π
2.相位差
两同频率的正弦量之间的相位角之差或初相位之差。
则 u 与 I 的相位差为 ui= (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞 后 90，或 I 比 u 超前90。 已知某正弦电压在t=0时为 110 2V ，初相角为30°，求其有效值
u Um sin(wt 30。 )
u(0) U m sin 30 U Um
u u1 u2 u3 u4
何谓反相？同 相？超前？滞 后？
不能！因为180V的正弦交流 电，其最大值≈255V >220V!
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，
u1与u4同相，即相位差为零。
第3章
3.2 正弦量的表示法
1 9
3.2.1 复数
＋j b r A 复平面 上有向 线段
。
u(0) 110 2 Um V 220 2V 。 sin 30 0.5
220 2 V 220V 2 2
i
0
同相 O i2 i1
t
i
反相
O
i2 i1
t
相位差φ的大小与时间t、角频率ω无关，它仅取决于两 个同频正弦量的初相位。
第3章正弦交流电路的向量分析法ppt课件
电工与电子技术
RI2T
直流电流I流过电阻时， 在相同时间消耗的能量
R Ti2dt 0 周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
有效值的定义式： I 1 T i 2 dt
T0
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
电工与电子技术
第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 正弦交流电压电流的相量 3.2 电路基本定律的相量形式 3.3 RLC串并联交流电路的分析 3.4 正弦交流电路的功率和功率因数 3.5 电路的谐振
a
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
复数四则运算回顾
电工与电子技术
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
注意：
电工与电子技术
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平 、耐压值指的是最大值
4. 视在功率
电路分析基础正弦量的相量向量法
基尔霍夫定律的相量形式 R、L、C元件VCR的相量形式
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
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开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
正弦电路的电压电流及相量表示
解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为
=（-180o）-（- 45o ）= -135o＜0
所以u（t）滞后i1（t）135o 。
电压u（t）与电流i2（t）的相位差为
= -180o - 60o = -240o 由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位 差应为 = -240o+360o = 120o＞0，因此u（t）超前 i2（t）120o 。
四、正弦量的有效值 有效值的提出： 正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正 弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个 周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上 产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压 u （t）的有效值。用大写字母“U”表示。 有效值的定义式：
1 U T
本讲作业
1、复习本讲内容；
2、预习下一讲内容——正弦电路的相量分析法； 3、书面作业：习题8-1，8-2，8-4，8-5。
8.2 正弦量的相量表示
一、相量表示法的提出 前面学过的解析式（三角函数表示法）和正弦量 的波形图（正弦曲线表示法）都不便于分析计算正弦 电路。为了解决这个问题，引入了正弦量的第三种表 示方法——相量表示法。 二、相量表示法采用的形式 相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。
三、相量表示方法 模等于正弦量的有效值（或振幅），幅角等于 正弦量的初相的复数，称为该正弦量的相量。相量 用该正弦量的符号上加一圆点“ · ”来表示，说明它 是时间的函数，以便与一般复数相区别。 振幅相量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 I m 、 Um 等表示。其振幅相量表达式为
将u3（t）的解析式整理如下： u3（t）= 5cos（100πt + 60o） = 5sin（100πt + 60o + 90o） = 5sin（100πt + 150o ）V 所以得到
电子电路正弦曲线向量
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49
阻抗计算举例（续）
这个并联阻抗与60Ω电阻之间是串联关系，于 是可以得到uo和ui之比为
U U o i ZLZ C L Z C Rj1j10 6 00 0 00.87 35 .9 06
所以
Uo 0.87 530.96Ui
0.87 530.962030
17.1560.96
时域表达式为 uo＝17.15sin(4t＋60.96˚)
相量
IImIIm i i UmUmu
U Uu
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5.2.4 正弦量的微分、积分的相量表示
d i(t ) dt
j I
i(t )dt
1 j
I
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5.2.5 总结：从时域表示到频域表示
复数表示形式的转化
A a j b A co jA si n A e j A
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8
5.1.3 正弦信号的参考方向
根据电子运动的瞬间相位差来定义同 频率正弦信号的方向。
规定某个正弦量的初相为零，并称之为 参考正弦量。
其余正弦量可以参照它来计算出各自的 初相，从而确定每个正弦量的表达式。
参考正弦量的作用是确定电路中每个正 弦量的初相。
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5.1.4 正弦信号的有效值
有效值是一个直流量，这个直流量在电阻 上所产生的功率与一个周期为T的信号在该 电阻上所产生的平均功率相等。
有效值也称方均根值
I 1 T i2dt T0
电流有效值
I
Im 2
0.707Im
电压有效值
UUm 2
0.70U 7m
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电工电子技术基础知识点详解2-3正弦量的相量表示
正弦量的相量表示正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，还可以用相量来表示。
相量表示法的基础是复数，即用复数表示正弦量。
要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算简便而又形象。
1. 复数复数的表示形式及相互关系设复平面有一复数A ，其模为r ，幅角为ψ ，如图1所示。
它可以用以下几种形式表示；(1) 复数的代数式: b a A j +=22b a r += 复数的模ab arctan =ψ 复数的辐角(2) 复数的三角式：)sin j (cos sin j cos ψψψψ+=+=A A A A(3) 复数的指数式: ψj re A =(4) 复数的极坐标式: ψ∠=r A上述复数的四种表达形式，可以互相转换。
ψψψψ∠==+=+=r re r b a A j )sin j (cos j复数的加减运算可用代数式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。
说明：数学中虚数用i 表示。
电工中在相量表示时，为了不与电流i 相混淆，改用j 表示虚数。
2．正弦量的相量表示由上可知：复数由模和幅角两个特征来确定，而正弦量由幅值、角频率、初相角三个特征来确定。
在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率是已知的，可以不考虑。
因此，一个正弦量由幅值(或有效值)何初相位就可确定。
比照复数，正弦量可用复数表示。
复数的模即为正弦量的幅值(或有效值)复数的辐角即为正弦量的初相角为了与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称相量。
用大写字母加“·”表示。
若已知正弦电压为)sin(m ψω+=t U u ，相量式可写为ψψψψ∠==+=mj m m m )sin j (cos U e U U U 最大值相量 相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角或:ψψψψ∠==+=U e U U Uj )sin j (cos 有效值相量相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角综上所述，正弦量的相量表示，其实质是将同频率的正弦量变换成它的复数形式，这样就把正弦稳态交流电路中繁琐的三角函数运算变换成复数运算，从而简化了运算过程。
浅谈交流电的向量表示法
浅谈交流电的向量表示法开封市供电公司、电工进网作业培训班辅导教师胡慈丹我们都知道，当我们用交流电压表测量两相对地220V 之间的交流电压时，是380 V。
测量两点电压，相当于两点对地（或对公共线）电压相减，这里为什么“220-220≠0”而是380呢？这要从交流电的向量谈起。
1．什么是向量。
向量也称矢量，就是带方向的量，我们平常所用的是算术量或代数量，是不带方向的。
举个例子。
某人从家中（图1中A 点）向北走3公里到 B点，然后再向西走4公里到C点，如果问他走了多少路，那么：3+4=7，他走了7公里，这是算术量，但如果问他从家到停止的地方移动了多少距离，即位移多少，那么就“3+4≠7”了。
我们用比例尺量一下AC两点的长度，是5公里。
图中带箭头的线段AB、BC、AC就是向量。
2．交流电的向量。
众所周知，交流电是随时间按正弦规律变化的，图2（a）以交流电压为例，表现了这一特性。
图2左边圆形中，纵直径表示电压的比例尺，横直径从圆心O向右是开始轴。
带箭头的线段，以U m为半径，以不变的角速度，以逆时针方向旋转，它与横轴的夹角跟着变化，它的垂直高度（线段在纵轴上的投影，就是正弦）代表的瞬时值也在变化，每经过一个时间t，就有相应的角度和瞬时值与之对应。
如此往复下去，向右展开为一条无限长的曲线，就是正弦曲线。
图中“带箭头的线段”既有长度（U m），又有方向（角度），所以就是向量。
交流电的向量是旋转向量，向量每旋转一周360º的时间称为一个周期，用T表示。
每秒钟包含的周期数称为频率，用f表示。
图中不同箭头表示了一个向量的不同角度。
向量旋转的角度又称为相位。
向量在一个时间起点下所处的相位称为初相位。
比如图2（a）中当开始（时间在0秒）时向量处在OA 位置，那么这个向量初相位就是0，对应于右边图2（a）的曲线。
当开始（时间在0秒）时向量处在OB位置，那么这个向量初相位就是ψ，曲线示于图2（b）。
表达式是：u=U m sin(ωt+Ψ)其中，u为瞬时值，U m为峰值，ω=2πf为角速度，f为频率，我国为每秒50周（50赫芝），2π相当于一周360 ，t为时间秒，Ψ为初相位。
正弦量的矢量图解法
O a Re Re 一个复数 A 可以在复平面上表示为从原点到 A 的向量 ， 此时 a 可看作与实轴同方向的向量， b 可看作与虚轴同方 向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A 的向量，其模为|A|，幅角为 。所以复数A又可表示为
A=|A|ej =|A|
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
Re
I2
I1 I 2
小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T
t
瞬时值
u U m sin t
U
相量图
I
复数
符号法
j U a jb U e U
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
3 j4 U
u 5 2 sin( t 531 )
Im A2 A1 O
Re
加减法可用图解法。
(2) 乘除运算——极坐标 若 则 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j( θ 1θ 2 ) | A1 | e θ 1 θ 2 jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A2 |
项目十五 正弦量的矢量表示法
三角函数式 波形图
i sin 1000 t 30
i
t
这两种方法不便于运算，重点介绍矢量表示法。
一、正弦量的矢量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。 u u U
电工学第8章正弦量与相量
u
j= /2：
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2；
i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
i 0
u
iw t
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) i2(t) 10cos(100 t 2)
•
I
u(t)
2Ucos(w t θ ) U Uθ
Y
注： 正弦交流电压和正弦交流电流在用相量表示时
有幅值相量（如 的不同表示.
I
m
,
U
）和有效值相量（如
m
I
,
U
）
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4. 相量法 把正弦量的加减、微积分计算转换为复数代数运算
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
8.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
i
T
瞬时值表达式：
波形：
O
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w
t
正弦量为周期函数y(t)=y(t+kT )
周期T (period)和频率f (frequency) :
正弦交流电的相量图表示法ppt课件
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
7
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。 4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
在直角坐标系上可表示为.
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0 ax
A=r/
变换关系为：r a2 b2
arctg b a
或： a r cos b r sin
3
5.2 正弦交流电的相量图表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
正弦交流电的相量图表示法矢量长度矢量与横轴夹角初相位矢量以角速度按逆时针方向旋转homehome描述正弦量的有向线段称为相量phasor幅度用最大值表示则用符号
5.2 正弦交流电的相量图表示法
1
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
包含幅度与相位信息。
HOME
5
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用
设： 幅度：相量大小 U2 U1
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
U1
电路分析PPT课件-第8章 正弦量与相量
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
例 i(t) R
+
u(t)
L
-C
用相量运算：
相量法的优点：
i(t) 2 I cos(w t y i )
u(t )
Ri
L
di dt
1 C
idt
U RI jwLI I jwC
（1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
jw L 相量关系： UL jwL I jX L I
相量模型
有效值关系： U=w L I 相位关系：u=i +90°
3. 电容元件VCR的相量形式
iC(t)
+ u(t) -
•
IC
+ •
U-
时域形式： 已知 u(t) 2U cos(wt u )
则
du(t) iC (t) C dt
2wCU sin( w t u )
u=i 相位关系
2. 电感元件VCR的相量形式
i(t)
+ u-L(t)
正弦量的矢量图解法
3 j4 U
3 j4 U
3 j4 U
u 5 2 sin( t 531 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数、相量 --- 大写 +
？
已知：
正误判断 u 2 10 sin ( t 15 )
则：
U 10？ຫໍສະໝຸດ 15j15 U 10 e
？
正误判断
已知：
I 10050
则：
i 100sin ( t 50 ) ？
最大值
I m 2I 100 2
A=|A|ej =|A|
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctag a
直角坐标表示 极坐标表示 或
a | A | cosθ b | A | sinθ
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
一、正弦量的矢量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。 u u U
m
sin t
ω
Um
t
矢量长度 =U m 矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度 ω 按逆时针方向旋转
最大值
Um
有效值
电路3-2正弦量的向量表示法
u的相量为
U U1 U 2 4 j 4 3 3 3 j3 9.2 j3.9 1023.10 V
所以
u 10 2 sin(t 23.10 )V
电
路
3．2 正弦量的相量表示法
一、相量的概念 I 只反映正弦量的两个要素，而隐含着 第三个要素的一个旋转矢量叫做相量 。 用大写字母上方加一个点来表示 。如 表示电流的有效值相量。 而 U 和 U 则表示电压的有效值相量 和最大值相量。
m
电
路
对正弦量
u=Umsin(ωt+Ψ)
最大值 相量
对应的相量为
电
路
例3.2.3 u1= 8sin（ωt+60°）V ， u2= 6sin （ωt-30°）V ，试用相量法求电压u=u1+u2 。 解：u1的相量为
U1 8600 8cos 600 j8sin 600 4 j4 3 V
u2的相量为
U 2 6 300 6cos(300 ) j 6sin(300 ) 3 3 j3 V
U m U m
U U
电
路
如果
I m 10300
i=10sin(ωt+30°)
则它表示的正弦量为
二、相量图 为了计算的方便，经常用图形来表示相 量，只有同频率的正弦量其相量才能画 在同一复平面上，画在同一复平面上的 表示相量的图称为相量图。 。
电
下图就是 的相量图
路
I m 1030
正弦交流电路和向量法
功率和功率因数
功率
正弦交流电路中元件消耗或输出的能量，分为有功功率、无功功率和视在功率。
功率因数
反映电路中能量利用效率的指标，定义为有功功率与视在功率的比值。
谐振和滤波器
谐振
正弦交流电路中某些特定频率下，电路呈现纯阻性，此时电流和电压达到最大值，产生谐振现象。
滤波器
利用电感器和电容器组成的网络，对特定频率的信号进行选择性的通过或抑制，从而实现信号处理或 噪声抑制。
环境友好与可持续发展
随着对环境保护意识的提高，未来的研究将更加注重电力系统的环境友好性和可持续发展 。例如，研究正弦交流电路在可再生能源并网、智能电网等方面的应用，以及如何通过改 进向量法来提高电力系统的能效和减少对环境的影响。
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05 向量法在正弦交流电路中 的应用
计算阻抗和导纳
计算阻抗
利用向量法，可以通过计算正弦交流电 的电压和电流的相位差，得到阻抗的模 长和相位角。
VS
计算导纳
导纳是电导和电感的向量和，可以通过向 量法计算得到导纳的模长和相位角。
分析功率和功率因数
01
02
03
分析有功功率
利用向量法，可以计算出 正弦交流电路中的有功功 率，即电阻消耗的功率。
乘法运算
将一个向量旋转90度后与另一个向 量相接，形成一个新的向量。
除法运算
将一个向量除以另一个同方向的向量， 得到一个标量结果。
04 正弦交流电路分析
阻抗和导纳
阻抗
表示正弦交流电路中元件对电流的阻 碍作用，由电阻、电感和电容组成， 用复数表示。
导纳
与阻抗互为倒数关系，表示元件对电 压的响应，也由电阻、电感和电容组 成，同样用复数表示。
第三章_正弦交流电路和向量法
j ＝ 0， 同相：
u, i
0
wt
j=± /2，正交
u, i u
i 0
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
i1
0
w
i2
i2 I2
i1+i2 i3 i3 w
I3 wt
有效值： 1
2
3
初相位：
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
正弦量
复数
实际是变 换的思想
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2. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位)
电路方程是微分方程： +i u R C L
d uC duC LC RC uC u( t ) dt dt
2
_
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t y 1 )
i2 2 I 2 cos(w t y 2 )
上 页 下 页
w
角频率：
u, i i1 I1
4 正弦交流电路和向量法
第4章 正弦交流电路
4.2.2 正弦量的有效值
1 I T
T
0
I sin tdt
2 m 2
2 Im T
T
0
1 cos 2t dt 2
2 Im (T 0) 2T
2 T Im T ( dt cos 2tdt) 0 2T 0
Im I 0.707 I m 2 Um U 0.707U m 2 U m 220 2 311V
第4章 正弦交流电路
4.3.1 复数及四则运算（三）
3. 复数的四则运算 (1) 复数的加减法 设 A1 a1 jb1 r1 1
A2 a2 jb2 r2 2
O ＋j A1＋A2
A2 A1－A2 A1 ＋1
则 A A ( a a ) j (b b ) 1 2 1 2 1 2
第4章 正弦交流电路
4.2.1 有效值的定义（二）
1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。
2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和 直流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I 的数值叫做交流I的有效值
第4章 正弦交流电路
4.11 正弦交流电路的相量分析法
4.12 正弦交流电路的功率 4.13 功率因数的提高
4.14 谐振
第4章 正弦交流电路
4.1 正弦量的基本概念
第4章 正弦交流电路
4.1.1 正弦交流电的三要素（一）
正弦交流电：电压、电流均随时间按正弦函 数规律变化 1. 振幅值（最大值）
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰
第4章 正弦交流电路
第三章_正弦交流电路和向量法
V
则 i 0.149 2 sin(ω t 3.4o ) A
uR 2.235 2 sin(ω t 3.4o ) V uL 8.42 2 sin(ω t 86.6o ) V uC 3.95 2 sin(ω t 93.4o ) V
UC UL
U
j
-3.4°
UR
I
相量图
US UR UC 5150 5 j5
5150 5 2 450 25 2 300V
I,UR
UC
uS
_
0.2F
相量模型
I
+ 5
US
_
-j5
UC
US
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当无源网络内为单个元件时有：
I
I
+
U
R
-
+
U
C
-
Z UI R
I
U
UUUCXL
U
等效电路
U
2 R
U
2 X
.
I
R
+
+.-
UR
.
1
U -
jwC '
+.
-U X
wL=1/wC ，X=0， j z=0，电路为电阻性，电压与.电流同相。
UL
UC
UR U I
等效电路
+. U
-
I +.
R -U R
上页 下页
例 iR
L
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
0.02F
解 U 12000
u 15
_
4H
jX L j45 j20
正弦量的相量表示法
4－１ 正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法:三角函数式、波形图、相量图(式). 一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的"矢量，称为相量.如：•m I 、•m U 、•mE .有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。
如：•I 、•U 、•E 。
2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上,否则无法进行比较和运算。
二、同频率正弦量的加、减确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。
量1•I 和2•I ，而１、 相量作图法的步骤：先用出相后以1•I 和2•I 为邻边作一平行四边形,其对角线即为合成电流i 的相量•I 。
•I 的长度为有效值，•I与横轴正方向的夹角即为初相ψ。
２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如: •••••-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连"，第三条边即是它们的和。
两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。
多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。
三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。
jb a I +=•其中，a---—实部，b---—虚部 ψψsin ,cos I b I a ==则:()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=•，式中,Ｉ--——复数的模,ψ-—-—复数的幅角abtg b a I =+=ψ,22 复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：ψψ∠==•I Ie I j复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。
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示，通常规定|θ|≤π。
02:55:155Biblioteka 5.1.1 正弦信号的三要素
振幅、角频率和初相称为正弦量的的三要素。
i I m sin(t i )
角频率
Im i
振幅
相位
初相
波形
θ i O
02:55:15
ωt
6
正弦信号的三要素（续）
【例5-1】计算我国工频电源的周期和角频率。 【解】我国工频电源的频率为50Hz，所以
02:55:15 19
A1 e j1
5.2.2 将微分方程转化为代数方程
通过把正弦时间函数映射到复数空间，
难以求解的微分方程转化成了关于复 数的代数方程， 利用代数方程求出复数空间的解， 再把复数解映射回时间域内的正弦时 间函数。
（阅读教材）
02:55:15 20
5.2.3 正弦信号的相量表示
旋转向量与正弦函数的对应
02:55:15
21
正弦信号的相量表示（续）
正弦量 相量
i I m sin(t i ) 2I sin( t i )
u U m sin(t u )
2U sin(t u )
02:55:15
02:55:15 9
5.1.4 正弦信号的有效值
有效值是一个直流量，这个直流量在电阻
上所产生的功率与一个周期为T的信号在该 电阻上所产生的平均功率相等。 1 T 2 有效值也称方均根值
I
电流有效值 电压有效值
02:55:15
Im I 0.707I m 2 Um U 0.707 Um 2
根据 其中
02:55:15
A a b
2
2
b arctan a
17
复数的极坐标形式
（3）极坐标形式
只要知道了模|A|和幅角φ就可以写出一个
复数，所以得到了如下的极坐标形式简 化记法
A＝|A|∠
斯坦因梅茨（Charles
Proteus Steinmetz，
1865～1923）形式
02:55:15
|A|
A a +1
15
复数的代数形式
（1）代数形式（直角坐标形式） A＝a＋jb
两个实部相等，虚部互为相反数的复数
互为共轭复数（用A*表示）
A*＝a-jb
02:55:15
16
复数的指数形式
（2）指数形式
a = |A| cos b = |A| sin 得到 A＝|A|(cos ＋j sin ) 依据欧拉公式，ej＝cos＋jsin 得到 A＝|A|ej
02:55:15 11
第5章 正弦稳态分析
5.1 5.2 5.3
5.4
5.5 5.6 5.7 5.8
02:55:15
正弦交流电 相量 相量分析 阻抗与导纳 谐振 相量分析法 交流电路的功率 三相电路
12
5.2 相量
正弦函数的运算十分烦琐，求解微分
方程也不容易。 利用向量法则可以把正弦时间函数映 射到复数空间中的复数，用复平面上 的向量来代表正弦时间函数， 而微分方程则转化成了简单的代数方 程，从而简化了正弦稳态电路的分析 和求解。
10
T
0
i dt
5.1.5 正弦信号的运算
根据基尔霍夫定律，将得到线性微分方程
组，这很难求解。
必须另辟蹊径，寻找更加简单的解决办法。
但是，根据数学知识可知
在同频率的正弦信号激励下，必然存在一组相 同频率的正弦稳态电压或电流解，能够满足这 一个微分方程组。 或者说：在相同频率的正弦激励下，完全由线 性元件组成的动态电路中将产生同频率的正弦 稳态响应。
着时间按正弦规律变化。
02:55:15
3
幅值、周期、频率、角频率
振幅：Im是正弦波的幅值或者说是最大值 周期：每隔T时间正弦波的变化循环一次 频率：单位时间变化多少次
1 f＝ T
角频率：单位时间变化多少角
ω＝2πf ＝2π/T
02:55:15 4
相位、初相
相位：正弦波在t时刻的幅角 初相：正弦波在t＝0s时的相位，用θ来表
如果θi－θu＝0，则称电流和电压同相； 如果θi－θu＝π，则称电流和电压反相； 如果θi－θu＝π/2，则称电流和电压正交。
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5.1.3 正弦信号的参考方向
根据电子运动的瞬间相位差来定义同
频率正弦信号的方向。
规定某个正弦量的初相为零，并称之为
参考正弦量。 其余正弦量可以参照它来计算出各自的 初相，从而确定每个正弦量的表达式。 参考正弦量的作用是确定电路中每个正 弦量的初相。
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3．复数的运算
（1）加减法：使用代数形式 A1±A2＝(a1±a2)＋j(b1±b2) （2）乘除法：使用指数或极坐标形式
A1· A2＝|A1|· |A2| ej( 1+ 2)＝|A1|· |A2|∠( 1+ 2)
A1 j (1 2 ) A1 A1 e (1 2 ) j 2 A2 A2 e A2 A2
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5.2.1 复数及其运算
1．虚数 方程x2＋9＝0的解 x1,2＝±j3
其中j称为虚数的单位 在数学中一般用i表示复数的虚数单位，
在电路理论中，为了避免与电流符号混 淆而改用j表示。
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2．复数
复数A＝a＋jb可用复平
面上的有向线段来表示。 +j 有向线段的长度|A|称为 b 复数A的模，模总是取正 值。 有向线段与实轴正方向 O 的夹角 称为复数A的辐 角。
1 1 T 0.02(s) f 50
ω＝2πf＝2×3.14×50＝314（rad/s）
02:55:15
7
5.1.2 正弦信号的相位差
两个同频率的正弦电流和电压信号
i(t)＝Imsin(ωt＋θi) u(t)＝Umsin(ωt＋θu) 它们的相位差等于初相之差 Φiu＝θi－θu
电路与模拟电子技术 原理
第五章 正弦稳态分析
02:55:15
1
第5章 正弦稳态分析
5.1 5.2 5.3
5.4
5.5 5.6 5.7 5.8
02:55:15
正弦交流电 相量 相量分析 阻抗与导纳 谐振 相量分析法 交流电路的功率 三相电路
2
5.1 正弦交流电
交流电的电压和电流的大小和方向随