2 第2讲 参数方程

第2讲 参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另

一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），

y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通

方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

名称

普通方程

参数方程

直线 y －y 0＝k (x －x 0)

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α

y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)

圆

(x －x 0)2＋(y －y 0)2

＝R 2

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ (θ为参数且0≤θ<2π)

椭圆

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0) ⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)

抛物线

y 2＝2px (p >0)

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2pt

2y ＝2pt (t 为参数) 经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1

cos 2θ

.

(2)利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．

(3)将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化． (4)确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．

在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参

数)的右顶点，求常数a 的值． 解：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，

椭圆C 的普通方程为x 29＋y 2

4

＝1，

所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3.

已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，

y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，求它们的交点

坐标．

解：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝4

5x ，联立

易得它们的交点坐标为⎝

⎛⎭⎫

1，255.

如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．

解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋1

2

cos 2θ＝cos 2θ，

y P ＝1

2

sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．

所以圆的参数方程为⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．

以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中

取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ

＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．

解：化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l 的普通方程是x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0，标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.圆心(2，0)到直线的距离为|2－4|

2

＝2， 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.

参数方程与普通方程的互化

[典例引领]

已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 【解】 曲线C 1：(x ＋4)2

＋(y －3)2

＝1，曲线C 2：x 264＋y 2

9

＝1，

曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；

曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．

将下列参数方程化为普通方程．

(1)⎩⎨⎧x ＝3k

1＋k 2，y ＝6k 21＋k 2

；

(2)⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1－sin 2θ，

y ＝sin θ＋cos θ.

解：(1)两式相除，得k ＝y

2x ，

将其代入得x ＝3·y 2x

1＋⎝⎛⎭

⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．

(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y 2＝2－x . 即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0，2]．

参数方程的应用

[典例引领]

(2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为

参数)，直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，

y ＝1－t (t 为参数)．

(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .