西南名校联盟(云南师大附中)2018届适应性月考卷(4)理数(解析版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.
本题选择B选项.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别7，3，则输出的 （）
A.6B.5C.4D.3
【答案】D
【解析】 时 ，不满足 ；
时 ，不满足 ；
时 ，满足 ，输出 ，
21.已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，其离心率 ，点 为椭圆上的一个动点， 面积的最大值为3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 ，过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 相交于 两点，直线 ， 与 轴分别相交于 两点，试问 是否为定值？如果，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
【答案】
【解析】如图所示，在正方体 中，
平面 对应平面 ，点 位于平面 内满足题意，
原问题等价于在平面直角坐标系中有点 ，存在点 到 轴的距离为该点到 点距离的2倍，求该点到 轴的距离的最大值.设 ，
由题意得： ，
整理得： ，
所以所求最大值为 ．
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于b,c的方程组，求解方程组结合椭圆的性质可得 ，则椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的y轴截距式方程： ，结合直线方程可得 ， ．联立直线方程与椭圆方程有 ，结合韦达定理可得 ，则 为定值.
试题解析：
（1）由题意知，当点 是椭圆的上、下顶点时， 的面积最大，
此时 的面积 ，①
试题解析：
（1）设等比数列 的公比为 ，且 ，
由 得 ，
又 是 与 的等差中项，
故 或 （舍）．
所以 ，
（2）由（1）得， ，
所以数列 的前 项和：
18.如图，在平面四边形 ， 和 都是等腰直角三角形且 ，正方形 的边 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
所以，没下满5局甲就获胜的概率
（2）由题意知 的所有取值为 则：
，
，
，
的分布列为:
2
4
5
．
20.已知函数 .
（1）若 ，则当 时，讨论 的单调性；
（2）若 ，且当 时，不等式 在区间 上有解，求实数 的取值范Baidu Nhomakorabea.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】试题分析：
（1）函数 的定义域为 ，且 ， ．分类讨论可得：
即曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ，
即 ，
因为 ，所以可设 是点 所对应的参数，则 ．
又直线过点 ，所以 ．
23.已知 ，若不等式 的解集为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：
【解析】试题分析：
（1）没下满 局甲就获胜有两种情况：①两局后甲获胜，此时 ，②四局后甲获胜，此时 ，则满足题意的概率值为
（2）由题意知 的所有取值为 ： ， ， ，据此可得 的分布列，计算其数学期望为 ．
试题解析：
（1）没下满 局甲就获胜有两种情况：
①两局后甲获胜，此时 ，
②四局后甲获胜，此时 ，
【答案】
【解析】圆 的圆心坐标为 ，它关于直线 的对称点坐标为 ，
即所求圆的圆心坐标为 ，所以所求圆的标准方程为 ．
14.二项式 的展开式中 项的系数为 ，则 __________．
【答案】
【解析】 ，
令 ，得
．
15.已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，由不等式组所表示的平面区域知：
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设曲线 与直线 交于 两点，若点 的坐标为 ，求 ．
又
因为 和 都是等腰直角三角形，
所以 ，
即 ，且 ，
所以 ．
（2）因为△ABE是等腰直角三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即AD，AB，AE两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系，
设AB=1，则AE=1， ，
，
设平面BDF的一个法向量为 ，
可得 ，
取平面ABD的一个法向量为 ，
则 ，
故二面角 的余弦值为 ．
又 ，则 .
本题选择B选项.
8.如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，在长宽高分别为 的长方体中， ，
则题中三视图对应的几何体是一个由图中的三棱柱 和三棱锥 组成的组合体，
故其表面积为：
，
本题选择D选项.
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
本题选择A选项.
2.已知复数 ，则 （）
A.0B.1C. D.
【答案】C
【解析】由复数的运算法则有： .
本题选择C选项.
3.在 中，若原点到直线 的距离为1，则此三角形为（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定
【答案】A
【解析】由已知可得： ，
故三角形为直角三角形.
本题选择A选项.
西南名校联盟（云南师大附中）2018届适应性月考卷（4）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求解一元二次不等式可得： ，
由补集的定义可得： ，
结合并集的定义有： .
所以 ．
当 时， ， 在 内单调递减；
当 时， 或 ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 或 ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由题意，当 时， 在区间 上的最大值 ．
当 时， ，
则 .
①当 时， ，
故 在 上单调递增， ；
②当 时，设 的两根分别为 ，
则 ，所以在 上 ，
又椭圆的离心率 ，②
由①②得： ，
所以，椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，则
直线 的方程为 ，则 ，即 ，
同理可得 ．
由 得 ，
由 得 且 ，
所以
，
故 为定值 ．
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19.甲乙两人进行跳棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分.若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立.
（1）求没下满5局甲就获胜的概率；
（2）设比赛结束时已下局数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
故 在 上单调递增， ．
综上，当 时， 在区间 上的最大值 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
17.在各项均为正数的等比数列 中， 是 与 的等差中项，若 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：
（1）由题意结合等差数列的性质可得 ，结合等差中项的性质可得 ，则 ，
（2）由（1）得， ，分组求和可得数列 的前 项和
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 的切点为 ， 的切点为 ，
由题意，对任意 存在 使得 ，
对任意 均有解 ，
故 对任意 恒成立，
则 对任意 恒成立．
又 .
本题选择C选项.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.圆 关于直线 对称的圆的标准方程为__________．
本题选择D选项.
点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．
7.已知 是函数 的零点，若 ，则 的值满足（）
A. B. C. D. 的符号不确定
【答案】B
【解析】函数 在 是增函数，故零点是唯一的，
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
9.若将函数 的图象向左平移 个单位，平移后所得图象的对称中心为点 ，则函数 在 上的最小值是（）
A. B. C. D.
4.已知点 是 所在平面内一点， 为 边的中点，且 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 为 边的中点， .
本题选择B选项.
5.已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则 等于（）
A. B. C.-1D.1
【答案】B
【解析】由函数满足 知 的周期为4，
又 是定义在 上的奇函数，故 ，
【答案】C
【解析】 ，
所以将 的图象向左平移 个单位后，
得到 的图象，
其对称中心为点 ， ，
即：
，取 可得 ，
函数 的解析式为 ，
的最小值是 .
本题选择C选项.
10.已知一个几何体下面是正三棱柱 ，其所有棱长都为 ；上面是正三棱锥 ，它的高为 ，若点 都在一个体积为 的球面上，则 的值为（）
A. B.1C. D.
点 到点 的距离最大，故 ；
点 到直线 的距离最小，即 ，
所以 的取值范围是 ．
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
16.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面 两两互相垂直，点 ，点 到 的距离都是2，点 是 上的动点，满足 到 的距离是 到点 距离的2倍，则点 的轨迹上的点到 的距离的最大值是__________．
11.已知数列 满足 是其前 项和，若 ，（其中 ），则 的最小值是（）
A. B.5C. D.
【答案】D
【解析】由题意， ，
以上各式相加得： ，又 ， ，
当且仅当 时等号成立.
本题选择D选项.
12.设过曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在过曲线 上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为（）
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】试题分析：
（1）消去参数可得直线 的普通方程为 ，极坐标化为直角坐标可得曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，可得 ，结合参数方程的几何意义可知 ．
试题解析：
（1）由直线 的参数方程： 得直线 的普通方程为 ，
由 得 ，配方得 ，
【答案】A
【解析】设外接球 的半径为 ，下底面 外接圆 的半径为 ，
则 ，
又 ， .
本题选择A选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
当 时， 在 内单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）原问题等价于当 时， 在区间 上的最大值 ．
且 ，则 .分类讨论 和 两种情况可得 ．据此求解关于实数a的不等式可得实数 的取值范围是 ．
试题解析：
（1）函数 的定义域为 ，由 得 ，
【解析】试题分析：
（1）由线面垂直的判断定理可得 平面 则 由平面几何知识可得 ，据此有 平面 ．
（2）由题意可知AD，AB，AE两两垂直．建立空间直角坐标系，设AB=1，据此可得平面BDF的一个法向量为 ，取平面ABD的一个法向量为 ，则二面角 的余弦值为 ．
试题解析：
（1）正方形 中，
又 且 ，所以
本题选择B选项.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别7，3，则输出的 （）
A.6B.5C.4D.3
【答案】D
【解析】 时 ，不满足 ；
时 ，不满足 ；
时 ，满足 ，输出 ，
21.已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，其离心率 ，点 为椭圆上的一个动点， 面积的最大值为3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 ，过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 相交于 两点，直线 ， 与 轴分别相交于 两点，试问 是否为定值？如果，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
【答案】
【解析】如图所示，在正方体 中，
平面 对应平面 ，点 位于平面 内满足题意，
原问题等价于在平面直角坐标系中有点 ，存在点 到 轴的距离为该点到 点距离的2倍，求该点到 轴的距离的最大值.设 ，
由题意得： ，
整理得： ，
所以所求最大值为 ．
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于b,c的方程组，求解方程组结合椭圆的性质可得 ，则椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的y轴截距式方程： ，结合直线方程可得 ， ．联立直线方程与椭圆方程有 ，结合韦达定理可得 ，则 为定值.
试题解析：
（1）由题意知，当点 是椭圆的上、下顶点时， 的面积最大，
此时 的面积 ，①
试题解析：
（1）设等比数列 的公比为 ，且 ，
由 得 ，
又 是 与 的等差中项，
故 或 （舍）．
所以 ，
（2）由（1）得， ，
所以数列 的前 项和：
18.如图，在平面四边形 ， 和 都是等腰直角三角形且 ，正方形 的边 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
所以，没下满5局甲就获胜的概率
（2）由题意知 的所有取值为 则：
，
，
，
的分布列为:
2
4
5
．
20.已知函数 .
（1）若 ，则当 时，讨论 的单调性；
（2）若 ，且当 时，不等式 在区间 上有解，求实数 的取值范Baidu Nhomakorabea.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】试题分析：
（1）函数 的定义域为 ，且 ， ．分类讨论可得：
即曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ，
即 ，
因为 ，所以可设 是点 所对应的参数，则 ．
又直线过点 ，所以 ．
23.已知 ，若不等式 的解集为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：
【解析】试题分析：
（1）没下满 局甲就获胜有两种情况：①两局后甲获胜，此时 ，②四局后甲获胜，此时 ，则满足题意的概率值为
（2）由题意知 的所有取值为 ： ， ， ，据此可得 的分布列，计算其数学期望为 ．
试题解析：
（1）没下满 局甲就获胜有两种情况：
①两局后甲获胜，此时 ，
②四局后甲获胜，此时 ，
【答案】
【解析】圆 的圆心坐标为 ，它关于直线 的对称点坐标为 ，
即所求圆的圆心坐标为 ，所以所求圆的标准方程为 ．
14.二项式 的展开式中 项的系数为 ，则 __________．
【答案】
【解析】 ，
令 ，得
．
15.已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，由不等式组所表示的平面区域知：
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设曲线 与直线 交于 两点，若点 的坐标为 ，求 ．
又
因为 和 都是等腰直角三角形，
所以 ，
即 ，且 ，
所以 ．
（2）因为△ABE是等腰直角三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即AD，AB，AE两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系，
设AB=1，则AE=1， ，
，
设平面BDF的一个法向量为 ，
可得 ，
取平面ABD的一个法向量为 ，
则 ，
故二面角 的余弦值为 ．
又 ，则 .
本题选择B选项.
8.如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，在长宽高分别为 的长方体中， ，
则题中三视图对应的几何体是一个由图中的三棱柱 和三棱锥 组成的组合体，
故其表面积为：
，
本题选择D选项.
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
本题选择A选项.
2.已知复数 ，则 （）
A.0B.1C. D.
【答案】C
【解析】由复数的运算法则有： .
本题选择C选项.
3.在 中，若原点到直线 的距离为1，则此三角形为（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定
【答案】A
【解析】由已知可得： ，
故三角形为直角三角形.
本题选择A选项.
西南名校联盟（云南师大附中）2018届适应性月考卷（4）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求解一元二次不等式可得： ，
由补集的定义可得： ，
结合并集的定义有： .
所以 ．
当 时， ， 在 内单调递减；
当 时， 或 ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 或 ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由题意，当 时， 在区间 上的最大值 ．
当 时， ，
则 .
①当 时， ，
故 在 上单调递增， ；
②当 时，设 的两根分别为 ，
则 ，所以在 上 ，
又椭圆的离心率 ，②
由①②得： ，
所以，椭圆 的标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，则
直线 的方程为 ，则 ，即 ，
同理可得 ．
由 得 ，
由 得 且 ，
所以
，
故 为定值 ．
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19.甲乙两人进行跳棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分.若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立.
（1）求没下满5局甲就获胜的概率；
（2）设比赛结束时已下局数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
故 在 上单调递增， ．
综上，当 时， 在区间 上的最大值 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
17.在各项均为正数的等比数列 中， 是 与 的等差中项，若 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：
（1）由题意结合等差数列的性质可得 ，结合等差中项的性质可得 ，则 ，
（2）由（1）得， ，分组求和可得数列 的前 项和
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 的切点为 ， 的切点为 ，
由题意，对任意 存在 使得 ，
对任意 均有解 ，
故 对任意 恒成立，
则 对任意 恒成立．
又 .
本题选择C选项.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.圆 关于直线 对称的圆的标准方程为__________．
本题选择D选项.
点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．
7.已知 是函数 的零点，若 ，则 的值满足（）
A. B. C. D. 的符号不确定
【答案】B
【解析】函数 在 是增函数，故零点是唯一的，
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
9.若将函数 的图象向左平移 个单位，平移后所得图象的对称中心为点 ，则函数 在 上的最小值是（）
A. B. C. D.
4.已知点 是 所在平面内一点， 为 边的中点，且 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 为 边的中点， .
本题选择B选项.
5.已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则 等于（）
A. B. C.-1D.1
【答案】B
【解析】由函数满足 知 的周期为4，
又 是定义在 上的奇函数，故 ，
【答案】C
【解析】 ，
所以将 的图象向左平移 个单位后，
得到 的图象，
其对称中心为点 ， ，
即：
，取 可得 ，
函数 的解析式为 ，
的最小值是 .
本题选择C选项.
10.已知一个几何体下面是正三棱柱 ，其所有棱长都为 ；上面是正三棱锥 ，它的高为 ，若点 都在一个体积为 的球面上，则 的值为（）
A. B.1C. D.
点 到点 的距离最大，故 ；
点 到直线 的距离最小，即 ，
所以 的取值范围是 ．
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
16.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面 两两互相垂直，点 ，点 到 的距离都是2，点 是 上的动点，满足 到 的距离是 到点 距离的2倍，则点 的轨迹上的点到 的距离的最大值是__________．
11.已知数列 满足 是其前 项和，若 ，（其中 ），则 的最小值是（）
A. B.5C. D.
【答案】D
【解析】由题意， ，
以上各式相加得： ，又 ， ，
当且仅当 时等号成立.
本题选择D选项.
12.设过曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在过曲线 上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为（）
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】试题分析：
（1）消去参数可得直线 的普通方程为 ，极坐标化为直角坐标可得曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，可得 ，结合参数方程的几何意义可知 ．
试题解析：
（1）由直线 的参数方程： 得直线 的普通方程为 ，
由 得 ，配方得 ，
【答案】A
【解析】设外接球 的半径为 ，下底面 外接圆 的半径为 ，
则 ，
又 ， .
本题选择A选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
当 时， 在 内单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）原问题等价于当 时， 在区间 上的最大值 ．
且 ，则 .分类讨论 和 两种情况可得 ．据此求解关于实数a的不等式可得实数 的取值范围是 ．
试题解析：
（1）函数 的定义域为 ，由 得 ，
【解析】试题分析：
（1）由线面垂直的判断定理可得 平面 则 由平面几何知识可得 ，据此有 平面 ．
（2）由题意可知AD，AB，AE两两垂直．建立空间直角坐标系，设AB=1，据此可得平面BDF的一个法向量为 ，取平面ABD的一个法向量为 ，则二面角 的余弦值为 ．
试题解析：
（1）正方形 中，
又 且 ，所以