杆系结构单元

{Fpx }
e
xj
xi
p x l 1 1 ( x j x) p x dx （5-13） l ( xi x ) 2 1
1 [ N ] [ N i N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
例5-1 一维拉杆
1 1
[F ]
lA 2
1 1
[ K ]{ } {F }
对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:
设结点1的约束反力为F1，则有:
整体结构平衡方程
3 F1 2 lA 3 0 0 u1 3 3 2 3 3 2 2 u ( )lA 0 EA 2 2 2 2 1 2 2 1 1 u3 ( )lA l 0 2 2 0 1 1 u4 0 1 lA 2
静力等效 （5-16）
(6) 局部坐标单元刚度矩阵
对于等截面铰接杆单元，
1 0 EA e [k ] l 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
EA 1 1 [k ] 1 1 l
e
（5-17）
3、空间杆单元（3D LINK8）
Fi {F } Fj
e
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
u a1 a 2 x
（5-3）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj 确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-3），得
EA 1 1 [k ] l 1 1
e
（5-23）
5.4 梁单元
1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元
y
2 i 1 l 4 j F2
y
F4
x
i
l F1
j F3
x
3
（1）局部坐标下单元位移和单元力 ① 单元位移
1
e
2 3 4 vi i v j j
第五章
5.1 概述
杆系结构单元
杆系结构主要有：梁、拱、框架、桁架等，它们 常可离散成杆元和梁元。 梁
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
拱
框架
桁架
○ ○ ○ ○ ○
坐标系
有限元中的坐标系有结构坐标系和单元坐标系。 对于一个结构，结构坐标系一般只有一个；而单元 坐标系有很多个，一个单元就有一个单元坐标，并 且对每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型 单元的单元刚度矩阵相同，给单元分析带来方便。 y
v( x) [ N ]{ }e
将式（5-29）代入（5-32），得单元弯曲应变和单元位 移之间关系 （5-33） b [B]{ }e
[ B] B1 B2 B3 B4
y B 3 (12 x 6l ) l (6 x 4) (12 x 6l ) l (6 x 2l ) l
图示阶梯形直杆，各
段长度均为，横截面
积分别为3A，2A，A，
材料重度为γ ，弹性
模量E。求结点位移
和各段杆中内力。
EA 1 1 [k ] l 1 1
e
离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。 单元刚度矩阵： 2 3
[k ]
( 2)
2 AE 1 1 2 3 1 1 l
（5-20）
（4）应力矩阵
E [ S ] [1 l
e
0
0
1
0
0]
（5-21）
(5) 等价节点力
pl 1 0 0 1 0 0T {F } 2
（5-22）
(6) 单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，
1 0 EA 0 e [k ] l 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
单元应变： 单元应力
u j ui l
E
单元应变 N A
2 u u 7l (1) 2 1 l 8 E 2 u u l ( 2) 3 2 l E 2 u u 1 l ( 3) 4 3 l 2 E
看成局部坐 2、平面桁架杆单元（2D LINK1） 标下的拉压杆
应变矩阵 [B]为
1 [ B ] [ Bi B j ] [1 l 0 1 0]
（5-15）
（4）应力矩阵
E[ B]{ } [S ]{ }
e
e
应力矩阵 [S]为
E [ S ] [1 l 0 1 0]
（5-16）
(5) 等效节点力
( x j x) 1 0 x j 1 0 pl {Fp }e pdx xi l ( x x ) 2 i 1 0 0
y 2
1
4 i
j
l
3
x
（1）单元坐标单元位移向量

e
1 2 3 4
y 2 1 i j 4 3 x
（2）位移模式和形函数 ① 位移模式
由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同 式（5-3）、（5-4）。（y方向位移不引起单元力）
y 2 1 i 3 l 6 5 j 4 x
z
（1）单元坐标单元位移向量

e
1 2 3 4

5 6
T
（5-18）
（2）形函数
1 [ N ] [( x j x ) l 0 0 ( xi x ) 0 0] （5-19）
（3）应变矩阵
1 [ B ] [ 1 l 0 0 1 0 0]
u (u i
u j ui l
a1
xi )
u j ui l
a2
x
（5-4）
② 形函数 将式（5-4）改写为下列形式
u [ N ]{ }
式中形函数[N]为
e
（5-5）
1 [ N ] [ N i N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
（5-6）
（2）位移函数和形函数 梁单元内一点有2个位移： v、 因为， =dv/dx；仅一个位 y 移是独立的，取 v 。 2 ① 位移模式
i
1 l
4
j
3
x
设单元坐标位移模式为
v( x) a1 a2 x a3 x2 a4 x3
② 形函数
（5-28）
由单元两端点的节点位移条件，解出式（5-28） 中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写 为以下形式：
T
T
（5-24）
其中， v——y方向位移，即挠度。 dv ——角位移。 dx ② 单元力
F F1
e
F2 F3 F4 Qi M i Q j M j
T
T
（5-26）
其中， Q——剪力 M——弯矩
d 2v M EI 2 dx d 3v Q EI 3 dx
（5-27）
x
i l j
F N p ( x)dx
e l T py 0 y
（5-36）
将形函数矩阵[N]代入上式，积分可得分布荷载的 等效结点力。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。
几种横向分布荷载等价节点力
荷载分布 q
i i j
表1
Qj ql/2 7ql/20 ql/4 Mj - ql2/12 - ql2/20 - 5ql2/96
（5-34）
（4）应力矩阵
b Eb EB S
e
e
（5-35）
[D][B]
(5) 等效节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时 可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节 点力问题。
y
py(x)
E
将式（5-7）代入上式，得
E[ B]{ }e [S ]{ }e
式中[S]为应力矩阵
E [ S ] [ 1 1] l
（5-9）
1 [ B] [ Bi B j ] [1 1] l
（5-10）
(4) 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵仍式（1-33）推出
[k ]e B D B dv
② 形函数
u a1 a 2 x
[ N ] [ Ni 1 N j ] [( x j x ) l 0 ( xi x ) 0]
（5-14）
1 [ N ] [ N i N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
（3）应变矩阵
[ B]{ }e
Y X
○ ○ ○
x
y
P
x
○
○
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的 杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y 轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
（2）应变矩阵 一维铰接杆单元仅有轴向应变 du dx 将式（5-5）、（5-6）代入上式，得
上式也可写为
1 [ 1 1]{ }e l
[ B]{ }e
式中[B]为应变矩阵
1 [ B ] [ Bi B j ] [1 1] l
（5-7）
（5-8）
（3）应力矩阵
由应力应变关系
划去节点1所对应的第1行、行1列 。
5 2 0 u 2 5 2 2 3 1 u 3 l 3 2E u 1 0 1 1 4
7 l 2 解得结点位移 u 2 8 E 15 l 2 u3 8 E 19 l 2 u4 8 E
3 4
1
(1)
2
3 AE 1 1 1 [k ] l 1 1 2
[k ]
( 3)
AE 1 1 3 l 1 1 4
等效结点荷载：按静力等效原则，有:
[ F ](1)
( 3)
3lA 2
1 1
[F ]
( 2)
2lA 2
（3）应变矩阵
（5-31）
① 单元弯曲应变b与节点位移e的关系。 梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：

ρ
y
1
y

x
1
d d 2v 2 dx dx 1
dv ( ) dx
d 2v b y tan y y 2 dx 2 d v b y 2 （5-32） dx
v( x) [ N ]{ }e
式中
（5-29）
（5-30）
[ N ] [ N1 N2 N3 N4 ]
N1 (l 3 3lx 2 2 x 3 ) / l 3 2 2 3 2 N 2 (l x 2lx x ) / l 2 3 3 N 3 (3lx 2 x ) / l N 4 (lx 2 x 3 ) / l 2
Qi ql/2 3ql/20 ql/4
Mi ql2/12 ql2/30 5ql2/96
y i· j
·
x
z
5.2 杆单元 1、一维杆单元 下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长 度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2 个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。
i px
·
ui
百度文库
·u
l
j
x
j
LINK
单元结点位移向量
ui u j
e
单元结点力向量： （1）位移模式和形函数 ① 位移模式
T v
（1-33）
对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx， 故有：
[k ] A B D B dx
e T v
(5-11)
将式（5-8）代入上式，得
EA 1 1 [k ] 1 1 l
e
（5-12）
(5) 等效节点力 单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍 为以下形式 T e {F } [ N ] p x dx 当分布力集度px为常数时，有