清华大学微积分课件16定积分(一)
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作业
P166 习题6.2
1(1)(5). 2(2). 3(1)(3).
4(4)(5). 5(1).
复习：P158—166
预习：P168—174
2020/10/10
1
第十六讲 定积分（一）
一、两个典型例子
二、定积分的概念
三、可积性条件与可积类
四、定积分的基本性质
2020/10/10
2
一、两个典型例子 y [例1] 曲边形的面积问题
称 此 极 限 值 为f ( x) 在[a, b]上 的 定 积 分.
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 k 1
f (k ) xk
积分下限
[a, b] 称为积分区间
定积分是 : 积分和式的极限
b
[例1]曲边梯形的面积 A f ( x)dx a
b
[例2]变速直线运动的路程 s v(t )dt
k 1
n
C xk C(b a)
k 1
n
lim
0 k 1
f (k )xk
C(b a)
即
b
b
f ( x) dx C dx C(b a)
a
a
2020/10/10
10
[例2] 证 明Dirichlet函 数
1 D( x)
0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
性质二：关于区间的可加性
若 f R[a, b],c (a, b), 则 f R[a, c],
y
a
xi1 i xi
b
o
Ai f (i ) xi
f (i )
y f (x)
2020/10/10
9
[例1] 证明 f ( x) C 在[a, b]上可积
[证]
任 给[a,
b]的
一
个
划
分xk
n k
0
任 取k [ xk1 , xk ] (k 1,, n)
n
n
f (k )xk Cxk
k 1
2020/10/10
a
8
（二）定积分的几何意义
(1)若f ( x) 0, 则 b f ( x)dx A, 即 a 定 积 分 表 示 曲 边 梯 形 的面 积
(2)若f ( x) 0, 则 b f ( x)dx A, 即 a 定 积 分 表 示 曲 边 梯 形 的面 积 的 负 值
x
a t0 t1 tk1 tk tn b
将[a, b]分 成n个 子区 间[tk1, tk ] (k 1, 2, , n)
(2)取近似：任取 k [tk1, tk ] 以匀速近似变速
sk v( k ) tk (i 1,, n)
n
n
(3)求和： s sk v( k ) tk
长 度 为 xk xk xk1 ; 任 取k [ xk1 , xk ],
n
构 造 和 式:
k 1
f
(k )xk ,
记
max
1 k n
xk
,
2020/10/10
Βιβλιοθήκη Baidu
7
n
如 果 和 式 极 限lim 0 k 1
f (k )
xk
存 在,则
称 f 在[a, b]上 可 积, 记 f R[a, b];并 且
0
k 1
D(k
)xk
0
故Dirichlet函数在[0, 1]上不可积
2020/10/10
11
三、可积性条件与可积函数类
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分 复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研 究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是 先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
定理1： 若 f ( x) 在[a, b]上可积，则f ( x)
[证]
任给[0,
1]的一个划分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk xk 1
k 1
k 1
lim
0
k
1
D(
k
)x
k
1
另 取k [ xk1 , xk ]是 无 理 数 (k 1,, n)
n
n
D(k )xk 0
k 1
lim
k 1
的面积
无限细分,
即
max
1 k n
xk
0
n
如 果 极 限
lim
0 k1
f
(k )
xk
存在
n
则
2020/10/10
lim
0 k 1
f
(k )
xk
A
5
[例2] 变速直线运动的路程问题 已知速度v v(t),求在时间间隔[a, b]内
所 走 过 的 路 程s. (1)细分： 在[a, b]区间任意插入分点:
k 1
k 1
n
(4) 取极限: 2020/10/10
s
lim
0
k 1
v(
k
)
tk
6
二、定积分的概念
（一）黎曼积分定义：
设 函 数 f :[a, b] R, 对 区 间[a, b]
作 任 意 划 分, 即 在[a, b]中 插 入 一 组 分 点:
a x0 x1 xk1 xk xn b 记 第k 个 小 区 间[ xk1 , xk ] (k 1,, n) 的
有限个间断点,则 f ( x)在[a, b]上可积.
定理4：
若函数 f ( x)在[a, b]上单调,则 f ( x)在[a, b]上可积.
2020/10/10
13
四、定积分的基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关
性质一： 线性性质
若 f , g R[a, b], 则对任意常数 , , 有
曲边梯形 y f (x)
oa
2020/10/10
xi1 i xi
x
3
d
(1) 细分:
在[a, b]区 间 任 意 插 入 分 点:
a x0 x1 xi1 xi xn b
将[a, b]分成n个子 区间[ xk1, xk ] (k 1, 2, , n) 将 曲 边 梯 形 分 成n 个 小 曲 边 梯 形
在[a, b]上有界.
证明思路：反证法。假设 f(x) 在[a,b]上无界，
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼
和式无界，与和式极限存在相矛盾.
2020/10/10
12
定理2：
若函数 f ( x)在[a, b]上连续,则 f ( x)在[a, b]上可积.
定理3： 若有界函数f ( x)在[a, b]上只有
(2) 取近似： 任 取k [ xk1 , xk ], 记 : xk xk xk1
将 第k 个 曲边 梯形 的 面积 用矩形 面积 近似
Ak f (k ) xk
2020/10/10
4
(3)求和:
n
n
A Ak f (k ) xk
k 1
k 1
(4) 取极限:
n
分点越“密” , f (k ) xk 越接近曲边梯形
P166 习题6.2
1(1)(5). 2(2). 3(1)(3).
4(4)(5). 5(1).
复习：P158—166
预习：P168—174
2020/10/10
1
第十六讲 定积分（一）
一、两个典型例子
二、定积分的概念
三、可积性条件与可积类
四、定积分的基本性质
2020/10/10
2
一、两个典型例子 y [例1] 曲边形的面积问题
称 此 极 限 值 为f ( x) 在[a, b]上 的 定 积 分.
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 k 1
f (k ) xk
积分下限
[a, b] 称为积分区间
定积分是 : 积分和式的极限
b
[例1]曲边梯形的面积 A f ( x)dx a
b
[例2]变速直线运动的路程 s v(t )dt
k 1
n
C xk C(b a)
k 1
n
lim
0 k 1
f (k )xk
C(b a)
即
b
b
f ( x) dx C dx C(b a)
a
a
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[例2] 证 明Dirichlet函 数
1 D( x)
0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
性质二：关于区间的可加性
若 f R[a, b],c (a, b), 则 f R[a, c],
y
a
xi1 i xi
b
o
Ai f (i ) xi
f (i )
y f (x)
2020/10/10
9
[例1] 证明 f ( x) C 在[a, b]上可积
[证]
任 给[a,
b]的
一
个
划
分xk
n k
0
任 取k [ xk1 , xk ] (k 1,, n)
n
n
f (k )xk Cxk
k 1
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a
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（二）定积分的几何意义
(1)若f ( x) 0, 则 b f ( x)dx A, 即 a 定 积 分 表 示 曲 边 梯 形 的面 积
(2)若f ( x) 0, 则 b f ( x)dx A, 即 a 定 积 分 表 示 曲 边 梯 形 的面 积 的 负 值
x
a t0 t1 tk1 tk tn b
将[a, b]分 成n个 子区 间[tk1, tk ] (k 1, 2, , n)
(2)取近似：任取 k [tk1, tk ] 以匀速近似变速
sk v( k ) tk (i 1,, n)
n
n
(3)求和： s sk v( k ) tk
长 度 为 xk xk xk1 ; 任 取k [ xk1 , xk ],
n
构 造 和 式:
k 1
f
(k )xk ,
记
max
1 k n
xk
,
2020/10/10
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n
如 果 和 式 极 限lim 0 k 1
f (k )
xk
存 在,则
称 f 在[a, b]上 可 积, 记 f R[a, b];并 且
0
k 1
D(k
)xk
0
故Dirichlet函数在[0, 1]上不可积
2020/10/10
11
三、可积性条件与可积函数类
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分 复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研 究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是 先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
定理1： 若 f ( x) 在[a, b]上可积，则f ( x)
[证]
任给[0,
1]的一个划分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk xk 1
k 1
k 1
lim
0
k
1
D(
k
)x
k
1
另 取k [ xk1 , xk ]是 无 理 数 (k 1,, n)
n
n
D(k )xk 0
k 1
lim
k 1
的面积
无限细分,
即
max
1 k n
xk
0
n
如 果 极 限
lim
0 k1
f
(k )
xk
存在
n
则
2020/10/10
lim
0 k 1
f
(k )
xk
A
5
[例2] 变速直线运动的路程问题 已知速度v v(t),求在时间间隔[a, b]内
所 走 过 的 路 程s. (1)细分： 在[a, b]区间任意插入分点:
k 1
k 1
n
(4) 取极限: 2020/10/10
s
lim
0
k 1
v(
k
)
tk
6
二、定积分的概念
（一）黎曼积分定义：
设 函 数 f :[a, b] R, 对 区 间[a, b]
作 任 意 划 分, 即 在[a, b]中 插 入 一 组 分 点:
a x0 x1 xk1 xk xn b 记 第k 个 小 区 间[ xk1 , xk ] (k 1,, n) 的
有限个间断点,则 f ( x)在[a, b]上可积.
定理4：
若函数 f ( x)在[a, b]上单调,则 f ( x)在[a, b]上可积.
2020/10/10
13
四、定积分的基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关
性质一： 线性性质
若 f , g R[a, b], 则对任意常数 , , 有
曲边梯形 y f (x)
oa
2020/10/10
xi1 i xi
x
3
d
(1) 细分:
在[a, b]区 间 任 意 插 入 分 点:
a x0 x1 xi1 xi xn b
将[a, b]分成n个子 区间[ xk1, xk ] (k 1, 2, , n) 将 曲 边 梯 形 分 成n 个 小 曲 边 梯 形
在[a, b]上有界.
证明思路：反证法。假设 f(x) 在[a,b]上无界，
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼
和式无界，与和式极限存在相矛盾.
2020/10/10
12
定理2：
若函数 f ( x)在[a, b]上连续,则 f ( x)在[a, b]上可积.
定理3： 若有界函数f ( x)在[a, b]上只有
(2) 取近似： 任 取k [ xk1 , xk ], 记 : xk xk xk1
将 第k 个 曲边 梯形 的 面积 用矩形 面积 近似
Ak f (k ) xk
2020/10/10
4
(3)求和:
n
n
A Ak f (k ) xk
k 1
k 1
(4) 取极限:
n
分点越“密” , f (k ) xk 越接近曲边梯形