论弗赖登塔尔数学教育思想的现实意义_乔爱萍[1]

让学生在黑暗中慢慢地摸索前行，而是通过教师 名 的指导，让学生绕开历史上数学前辈们曾经陷入 家 的困境和僵局，避免他们在前进道路上所走过的 与 弯路，浓缩前人探索的过程，依据学生现有的思 名 维水平，沿着一条改良修正的道路快速前进。 所 著
】 以，“再创 造”的“再”的关 键是教学中 不应该 简 单
除知识外，学生在“数学化”活动中将缄默地 收获到包含数学史、数学审美标准、元认知监控、 反思调节等多元成果，这些内容不仅有益于加深 学生对数学价值的认识，更有益于增强学生的内 部学习动机，增强用数学的意识与能力，这绝不 是只向学生灌输成品数学所能达到的效果。
二、“数学现实”思想的内涵及其现实意义
新课程倡导引入新课时，要从学生的生活经 验与已有的数学知识处抛锚创设情境， 这种观 点，早在半个世纪前的弗翁教育论著中已一再涉 及。 弗翁强调，教学“应该从数学与它所依附的学 生亲身体验 的现实之间 去 寻 找 联 系 ”， 并 指 出 ，
弗赖登 塔 尔 （1905－1990）是 荷 兰 著 名 的 数 学 家和数学教育家， 公认的国际数学教育权威，他 于 20 世 纪 50 年 代 后 期 发 表 的 一 系 列 教 育 著 作 在当时的影响遍及全球。 虽历经半个多世纪的历 史洗涤，但弗翁的教育思想在今天看来却依然熠 熠生辉，历久弥新。 今天我们重温弗翁的教育思 想，发现新课程倡导的一些核心理念，在弗翁的 教育论著中早有深刻阐述。 因此，领会并贯彻弗 翁教育思想，对于今天的课堂教学仍然深具现实 意义。 身处课程改革中的数学教育同仁们，理当 把弗翁的教育思想奉为经典来品味咀嚼，从中汲 取丰富的思想养料，获得教学启示，并能积极践 行其教育主张。
去尾烧中段的结果， 是学生学得快但忘得更快。
弗赖登塔尔批评道：这是一种“违反教学法的颠
倒”。 也就是说，数学教学绝不能仅仅是灌输现成
的数学结果，而是要引导学生自己去发现和得出
这些结果。 许多大家持同样观点，美国心理学家
戴维斯就认为：在数学学习中，学生进行数学工
作的方式应当与做研究的数学家类似，这样才有
更多的机会取得成功。 笛卡尔与莱布尼兹说：
“……知识并不是只来自于一种线性的， 从上演
绎到下的纯粹理性……， 真理既不是纯粹理性，
也不 是纯粹经验 ，而是理性与 经验的循环 。 ”[3]康
德说：“没有经验的概念是空洞的，没有概念的经
验是不能构成知识的。 ”[4]
“纸 上 得 来 终 觉 浅 ，绝 知 此 事 要 躬 行 ”，“ 数 学
重复当年的真实历史，而是要结合当初数学史的 发明发现特点，结合教材内容，更要结合学生的 认知现实，致力于历史的重建或重构。 弗翁的理 由是：“数学家从来不按照他们发现、创造数学的 真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲 折的思维推理获得的结论，他们常常以‘显而易 见’或是‘容易看出’轻描淡写地一笔带过；而教 科书则做得更彻底，往往把表达的思维过程与实 际创造的进程完全颠倒，因而完全阻塞了‘再创 造的通道’。 ”[6]
化”方式使学生的知识源自现实，也就容易在现
实中被触发与激活。 “数学化”过程能让学生充分
经历从生活世界到符号化、 形式化的完整过程，
积累“做数学”的丰富体验，收获知识、问题解决
策略、数学价值观等多元成果。
另一方面，“数学化”对学生的远期与近期发
展兼具重大意义。 从长远看，要使学生适应未来
的职业周期缩短、节奏加快、竞争激烈的现代社
“数学现实”思想，让我们知晓了创设情境的 真正教学意图及创设恰当情境对于教学的重要 意义。 首先，情境应该源于学生的生活常识或认 知现状，前者的引入方式可以摆脱机械灌输概念 的弊端，现实情境的模糊性与当堂知识联系的隐 蔽性更有利于学生进行“数学化”活动，有利于学 生主意自己拿，方法自己找，策略自己定，有利于 学生逐步积淀生成正确的数学意识与观念，后者 是学生进行意义建构的基本要求。 其次，教师有 效教学的必要前提， 是了解学生的数学现实，一 切过高与过低的、与学生数学现实不吻合的教学 设计必定不会有好的教学效果。 由此我们也就理 解了新数运动失败的一个重要原因，是过分拔高 了学生的数学现实；同时也就理解了为什么在课 改之初，一些课堂数学活动的“幼稚化”会遭到一 些专家的诟病，就是因为没有紧贴学生的数学现 实贴船下篙。 “如果我不得不把全部教育心理学 还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的唯 一最重要因素是学习者已经知道了什么。 ”奥苏 贝尔的话恰好也道出了“数学现实”对教学的重 要意义。
弗赖登塔尔把“数学化”作为数学教学的基 本原则之一，并指出：“……没有数学化就没有数 学，没有公理化就没有公理系统，没有形式化也 就没有形式体系。 ……因此数学教学必须通过数 学化来进行 。 ”[1]弗翁的“数学 化”，一直被作 为 一 种优秀的教育思想影响着数学教育界人士的思 维方式与行为方式，对全世界的数学教育都产生 了极其深刻的影响。
数学方法，以形成公理体系与形式体系，使数学
知识体系更系统、更完美。
目前一些教师或许是教育观念上还存在偏
差，或许是应试教育大环境引发的短视功利心的
驱动，常把数学化（横向）的四个阶段简约为最后
一 个 阶 段 ， 即 只 重 视 数 学 化 后 的 结 果 — ——形 式
化，而忽略得到结果的“数学化”过程本身。 斩头
从近期讲，经历“数学化”过程，让学生亲历 了知识形成的全过程， 且在获取知识的过程中， 学生们要重建数学家发现数学规律的过程，其中 探究中对前行路径的自主猜测与选择、自主分析 与比较、在克服困境中的坚守与转化、在发现解 决问题的方法时获得的智慧满足与兴奋、在历经 挫折后对数学式思维的由衷欣赏，以及由此产生 的对于数学情感与态度方面的变化， 无一不是 “数学化”带给学生生命成长的丰厚营养。 波利亚 说：只有看到数学的产生，按照数学发展的历史 顺序或亲自从事数学发现时，才能最好地理解数 学。 同时，亲历形成过程得到的知识，在学生的认 知结构中一定处于稳固地位，记忆持久，调用自 如，迁移灵活。 从而十分有利于学生当下应试水 平的提高。
三、“有指导的再创造”思想的内涵及其现实 意义
1.“有 指 导 的 再 创 造 ”中 “再 ”的 意 义 及 启 示 弗赖登塔尔倡导按“有指导的再创造”的原 则进行数学教学，即要求教师要为学生提供自由 创造的广阔天地，把课堂上本来需要教师传授的 知识、需要浸润的观念变为学生在活动中自主生 成、缄默感受的东西。 弗氏认为，这是一种最自 然、最有效的学习方法。 这种以学生的“数学现 实”为基础的创造学习过程，是让学生的数学学 习重复一些数学发展史上的创造性思维的过程。 但它并非亦步亦趋地沿着数学史的发展轨迹，也
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名 家
论弗赖登塔尔数学教育思想的现实意义 与 名 著 乔爱萍 】
摘要：半个世纪前的弗赖登塔尔数学教育思想在今天看来依然历久弥新。 弗赖登塔尔教育思 想的核心是“数学化”、“数学现实”与“有指导的再创造思想”，研究其内涵对今天的数学教育具有 深远的现实意义。
关键词：弗赖登塔尔；数学化；数学现实：有指导的再创造 中图分类号：G40-09 文献标志码：A 文章编号：1673-9094(2014)02-00510-05
我们不难看到，今天的许多常规课堂，由于 课时紧、自身水平有限、工作负担重、应试压力大 等原因，教师们常常喜欢用开门见山、直奔主题 的 方 式 来 进 行 ，按 “讲 解 定 义—分 析 要 点—典 例 示范—布置作业”的套路教学，学生则按“认真听 讲—记忆要点—模仿题型—练习强化”的方式日 复一日地学习。 然而，数学课如果总是以这样的 流程来操作，学生失去的，将是亲身体验知识形 成中对问题的分析、比较、对解决问题中策略的 自主选择与评判，对常用手段与方法的提炼反思 的机会。 杜威说：“如果学生不能筹划自己解决问 题的方法，自己寻找出路，他就学不到什么，即使 他能背出一些正确的答案，百分之百正确，他还 是学不到什 么。 ”[7]其实，学习 数 学家的 真 实 思 维 过程对学生数学能力的发展至关重要。 张乃达先 生说得好：“人们不是常说，要学好学问，首先就 要学做人吗？ 在数学学习中，怎样学习做人？ 学做 什么样的人？ 这当然就是要学做数学家！ 要学习 数学家的‘人品’。 而要学做数学家，当然首先就 要学 习数学家 的 眼光！ ”[8]这只 能从数学家 “做 数 学”的思维方式中去学习。
世界转化为数学模式的习惯，努力揭示事物本质
52 与规律的态度等等，却会随时随地发生作用。
张奠宙先生曾举过一例，一位中学毕业生在 上海和平饭店做电工， 从空调机效果的不同，他 发现 地下室到 10 楼 的 一 根 电 线 与 众 不 同 ， 现 需 测知其电阻。 在别人因为距离长而感到困难的时 候， 他想到对 地下 室 到 10 楼 的 三 根 电 线 进 行 统 一处理。 在 10 楼处将电线两两相接，在地下室分 三次测量，然后用三元一次方程组计算出了需要 的结果。 这位电工后来又做过几次类似的事情， 他也因此很快得到了上级的赏识与重视。 这位电 工解决问题的方法，并不完全是曾经做过类似数 学题的方法，而是得益于他用数学的意识。 在现 实生活中，有了数学式的观念与意识，我们就总 想把复杂问题转化为简单问题，就总是试图揭示 出面临问题的本质与规律，就容易经济高效地处 理问题，从而凸显出卓尔不群的才干，进而提高 我们工作与生活的品质。
何为“数学化”？ 弗翁指出：“笼统地讲，人们 在观察现实世界时，运用数学方法研究各种具体 现象，并加以整理和组织的过程，我称之为数学 化。 ”[2]同时他 强调 数学化 的对 象分为 两类，一 类 是现实客观事物，另一类是数学本身。 以此为依
2014·02A
收 稿 日 期 ：2013-11-19
作者简介：乔爱萍，江苏省清江中学（江苏淮安，223001）数学教研组长，中学数学特级教师，中学数学高级教 师 ，主 要 研 究 方 向 为 数
“只有源于现实关系，寓于现实关系的数学，才能 使学生明白和学会如何从现实中提出问题与解 决问题，如何 将所学知识 更好地应 用于 现 实 ”。 [5] 弗翁的“数学现实”观告诉我们，每个学生都有自 己的数学现实，即接触到的客观世界中的规律以 及有关这些规律的数学知识结构。 它不但包括客 观世界的现实情况，也包括学生使用自己的数学 能力观察客观世界所获得的认识。 教师的任务在 于了解学生的数学现实并不断地扩展提升学生 的“数学现实”。
会，使数学成为整个人生发展的有用工具，就意
味着数学教育要给学生除知识外的更加内在的
东西，这就是数学的观念、用数学的意识。 因为学
生如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过
的具体数学定理、公式和解题方法大多是用不上
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的，但不管从事什么工作，从“数学化”活动中获
得的数学式思维方式与看问题的着眼点，把现实
起 来 有 三 条 ，一 是 “数 学 化 ”，二 是 “数 学 现 实 ”，三 是“有指导的再创造”。
我 们 需 要 研 究 的 是 ，弗 翁 的 “数 学 化 ”、“ 数 学 现实”、“有指导的再创造” 的思想内涵究竟是什 么？ 对于今天课堂教学的现实意义究竟又在哪 里？
一、“数学化”思想的内涵及其现实意义
弗赖登塔尔早年从事纯粹数学研究，在李群 和 拓 扑 学 等 方 面 多 有 建 树 ，20 世 纪 50 年 代 后 期 开始关注数 学教育， 发表 了 140 余 种 教 育 论 著 ， 其中最有影响的有 《作为教育任务的数学》、《播 种和除草》、《数学结构的教学法现象学》。 第一本 阐述了他对数学和数学教育的各种基本观点，第 二、第三本则可看成第一本的发展。 弗翁在其代 表作《作为教育任务的数学》中的核心思想归纳
学课程与教学。
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名 据，数学划分为横向数学化和纵向数学ห้องสมุดไป่ตู้。 横向
家 数学化指对客观世界进行数学化，它把生活世界
与 符号化，其一般步骤为：现实情境—抽象建模—
名 一般化—形式化。 今天新授课倡导的教学模式就
著 是遵循这四个阶段进行的。 纵向数学化是指横向
】
数学化后，将数学问题转化为抽象的数学概念与