概率第五章

§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。
定理5.5 独立同分布的中心极限定理
p,
D
nA n
1 n2
DnA
1 n2
npq
pq n
于是，
0, 有P
nA n
p
1
pq
n 2
即得：lim
P
n
nA n
p
1
大数定律的重要意义：
贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验 中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定 性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数 定律还提供了通过试验来确定事件概率的方 法，既然频率 nA/n 与概率 p 有较大偏差的 可能性很小，我们便可以通过做试验确定某 事件发生的频率并把它作为相应的概率估计， 这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法， 参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。
近似
~
1 N (3 ,
1 225
)。
例7：（例1续）在n重贝努里试验中，若已知每次 试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间 的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74 至0.76之间的概率不小于0.90。
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
1920 1
1920 1600 400
1 0.8 0.2119
例4：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加， 每人每年交200元,若老人在该年内死亡,公司付给 受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保 险公司在一年内这项保险亏本的概率。
解：设X为一年中投保老人的死亡数，则
X bn, p, n 10000, p 0.017
20 k 1
X
，
k
（2）1 20
20 k 1
X
k
，（3）1 20
20
X
2的近似分布。
k
k 1
解：由中心极限定理，1 20
20
X
，
k
k 1
1 20
20 k 1
Xk，
和
1 20
20 k 1
X
2均近似服从正态分布。
k
因为，E( X1) 0,
D(
X1)
4 12
1 3
,
1
E( X1 ) 2 ,
x2
1 2
dx
1 3
,
1 n
n k 1
X
2 k
P
1。 3
定理5.4 贝努里大数定理设事件A在每次试验中发生
的概率为p，记nA为n次独立重复试验中A发生的次数,
则 0,有：
lim P n
nA n
p
1
证明：利用契比雪夫不等式，因nA bn, p,故：
E
nA n
1 n
E
nA
1 n
np
n 18750。
由德莫佛--拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：
P10000X 10000200
P
X 200
1
200 np
np 1 p
1 2.321 0.01
思考题： 求保险公司至少 盈利10万元的概率。
答案：0.937
例5：设某工厂有400台同类机器，各台 机器发生故障的概率都是0.02，各台机器 工作是相互独立的，试求机器出故障的台 数不小于2的概率。
使得 0,均有：lim P n
Yn a
0,
则称随机变量序列Yn依概率收敛于常数a，
记为：Yn P a。
a a a
定理5.2 契比雪夫定理的特殊情形 ：
设随机变量序列X1, X 2 , , X n , 相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：
Yn
设nA为n重贝努里试验中A发生的次数，
P A p 0 p 1,则对任何区间(a,b]，
有：lim n
P
a
nA np np(1 p)
b
b a
1
t2
e 2 dt,
2
证明：令X i
1 0
第i次试验时A发生 第i次试验时A未发生
则 X1, X 2, , X n , 相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
D(
1 20
20 k 1
Xk
近似
~
N (0,
1 60 ),
X1 ) E( X12 ) [E( X1 )]2
1 12
,
1 20 20 k 1
Xk
近似
~
N
1 (2
,
1 240
)，
E(
X12
)
1 3
,
D( X12 )
E( X14 )
[E( X12 )]2
1 5
1 9
4 45
,
1 n
n k 1
X
2 k
1 n
n k 1
Xk
1
2
2
n
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
契比雪夫大数定律表明，当n很大时，X1, , Xn,
的算术平均
1
n
n k 1
Xk
接近于数学期望 。这
种接近是在概率意义下的接近。
此外，定理中要求随机变量的方差存在， 但当随机变量服从相同分布时，就不需要 这一要求。
1 0.000335 0.002684 0.9969.
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
PX
2
1
P( X
1)
1
1 np npq
7 2.8
0.9938
例6： 设随机变量X1, , X 20 , 相互独立同分布，
X1
~
U
(1, 1)。分别求（1）1 20
（1）1
n
n k 1
X k，（2）1n
n k 1
X
k
，（3）1 n
n k 1
X
2分别依概率收敛吗？
k
如果依概率收敛，分别收敛于什么？
解：由辛钦大数定律，X1, , X n , ,相互独立同分布，E( X1)存在,
X1 , , X n , , 相互独立同分布，E( X1 )存在,
X12 ,
,
X
2 n
解：记16只电器元件的寿命分别为X1, X 2, , X16,
16
则16只电器元件的寿命总和为X Xi , i 1
由题设E Xi 100, D Xi 1002
根据独立同分布的中心极限定理:
16
Y
i 1
Xi 16100 4 100
X
1600 400
近似服从N
0,1
PX
1920 1 P X
则X bn, 0.75, 从而 E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
(1) n 7500, P
0.74
X n
0.76
(0.76n 0.75n) (0.74n 0.75n)
0.1875n
0.1875n
2(0.04 n ) 1 2(2) 1 0.9544 3
定理5.3辛钦定理：随机变量序列X1, X 2, , X n ,
相互独立，服从同一分布， 且存在数学期望，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk,
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1.
例2：
设随机变量X1, , X n , ,相互独立同分布，X1 ~ U (1, 1).则
(2)P 0.74 X 0.76 (0.76n 0.75n) (0.74n 0.75n)
n
0.1875n
0.1875n
2(0.04 n ) 1 0.9, (0.04 n ) 0.95,
3
3
0.04 n 1.645, n (251.645)2 3 5074 3
契比雪夫 不等式估计
§1 大数定律
本章的大数定律，对第一章中提出 的频率稳定性”，给出理论上的 论证
契比雪夫不等式：
设随机变量X具有数学期望E X ,方差D X 2
则对于任意 0,都有：P
X EX
2 2
定理的等价形式为：P
X
E
X
1
2 2
随机变量序列依概率收敛的 定义
定义5.1：设随机变量序列Y1,Y2,Y3, ,若存在某常数a，
1 n
n k 1
Xk,
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
1.
即，
1 n
n k 1
Xk
P .
证明：由于E
YnEຫໍສະໝຸດ 1 nn k 1Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n
X
k
k1
1 n2
n k 1
DXk
1 n2
n 2
2
n
由契比雪夫不等式得：P
,
,相互独立同分布，E( X12 )存在,
故，1
n
n
X
，
k
k 1
1 n
n k 1
Xk，
1 n
n
X
2均依概率收敛。
k
k 1
因为，E( X1) 0,
故，1 n
n k 1
Xk
P 0，
同理，E( X1 )
11
1
1 x 2 dx 2 ,
1 n n k 1
Xk
P
1 2
，
E(X12 )
1 1
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i 1
从而，P(a
n i 1
Xi
b) (b n ) ( a n ).
n
n
思考题：
X
1 n
n i 1
X
的近似分布是什么？
i
答案：N (, 2 )
n
定理5.6 德莫佛--拉普拉斯定理
解：设机器出故障的台数为X,则X b400,0.02，
分别用三种方法计算：
1. 用二项分布计算
P X 2 1 P X 0 P X 1
1 0.98400 400 0.02 0.98399 0.9972
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 ,
P X 2 1 P X 0 P X 1
由于nA X1 X 2 X n ,
由定理5.4,
lim
n
P
a
nA np np(1 p)
b
b a
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)).
Pa nA b (
b np ) ( np(1 p)
a np ) np(1 p)
例3：设某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布,现随机取得16只，设 它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的 寿命的总和大于1920小时的概率。
设随机变量X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布，
E X i , D X i 2 , i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
x R, 有：
n
Xi n
lim P
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
证明略。