2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

由
，得
，解得
．
因此数列 为“M—数列”.
（2）解：①因为
，所以
．
由
得
，则
.
由
，得
，
当
时，由
，得
，
整理得
．
所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为 bn=n
.
②由①知，bk=k ，
.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为 q ， 所以 c1=1，q>0.
因为 ck≤bk≤ck+1 ， 所以
“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:
b1
1,
1 Sn
2 bn
2 bn1
，其中
Sn
为数列{bn}的前
n
项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} n N* ，对任意正整数 k ， 当 k≤m
时，都有 ck bk ck1 成立，求 m 的最大值．
【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为 q ， 所以 a1≠0，q≠0.
a1 4, b1 6, b2 2a2 2, b3 2a3 4.
（Ⅰ）求 an 和 bn 的通项公式；
（Ⅱ）设数列cn满足 c1
1, cn
1, 2k n
bk
,
n
2k
,
2k 1,
其中 k N*. .
（i）求数列 a2n c2n 1 的通项公式；
2n
（ii）求 i1 aici n N* .
3.（2019•浙江）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，a3=4.a4=S3 ，数列{bn}满 足： 对每个 n∈N* ，Sn+bn ，Sn+1+bn、Sn+2+bn 成等比数列 （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ;
an
（2）记 Cn= 2bn ，n∈N* ，证明：C1+C2+…+Cn＜2 n ，n∈N* . 【答案】 （1）设数列 的公差为 d ， 由题意得
已知条件得出数列 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列
的通项公式。②由①知，bk=k ，
.因为数列{cn}为“M–数
列”，设公比为 q ， 所以 c1=1，q>0，因为 ck≤bk≤ck+1 ， 所以
3
，其中 k=1，2，3，…，m ， 再利用分类讨论的方法结合求导的
方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求
，根据等差数列、等比数列的通
项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ） 的通项公式为
的通项公式为
，
得出数列
的通项公式；
（ⅱ）将
代值并化简即可求值。
6.（2019•卷Ⅱ）已知an 是各项均为正数的等比数列， a1 2, a3 2a2 16.
（1）求 an 的通项公式；
（2）设 bn log2 an ，求数列bn的前 n 项和。
【解析】【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设
的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立
方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得
前 项和 ．
5.（2019•天津）设 an 是等差数列， bn 是等比数列.已知
有可能的值．
【答案】 （1）解： 等差数列 的公差
，数列 满足
，集合
．
当
，
集合
．
（2）解：
，数列 满足
，集合
恰
好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合
恰好有两个元素，此时
，
4
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的 终边关于 轴对称，如图 ， ，
q15≤216，
所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.
综上，所求 m 的最大值为 5．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关
系的确定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数
列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用 与 的关系式结合
列，等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差
，数列 满足
，集合
，利用元素和集合间的关系求出结合等差
数列 的通项公式和正弦值的求解方法求出数列 的通项公式，从而求出当
时的集合 S.
(2)当等差数列首项
时，利用数列 满足
， 用等差数列
的通项公式和正弦值的求解方法求出数列 的通项公式，再利用数列 的
点，必然有
当
时，因为
点，必然有
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个
，
，
，
，不符合条件．
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个
，
，
不是整数，不符合条件．
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个
或者 ，
，或者
，此时，
均不是整数，不符合题意．
综上，
．
【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数
【答案】 （1）解：设an的公比为 q，由题设得
，即
.
解得
（舍去）或 q=4.
因此 的通项公式为
.
10
（2）由（1）得 .
，因此数列bn的前 n 项和为
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于 q 的
方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数
通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有
两个元素的 d 的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分
类讨论的方法结合已知条件
，用等差数列 的通项公式和正弦值的求
6
解方法求出数列 的通项公式， 再利用 是不超过 7 的正整数，从而求出满
足要求的 的所有可能的值．
此时
，
综上，
或者
．
（3）解：①当
时，
②当
时，
，
，集合 ，
，符合题意． ，或者
，
等差数列 的公差
，故
，
，又
当 ③当
时满足条件，此时
时，
，
． ，
，或者
，因为
，故
．
当
时，
满足题意．
④当 所以 当 ⑤当
时，
， 或者
， ，
，故
时， 时，
，满足题意． ，
，所以
，
， ，故
． ，或者
5
当
时，因为
点，必然有
当
时，因为
度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s-1，且长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列
恰有 2s-1 个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。
【答案】 解：（I）1,3,5,6 或 1,3,5,9 或 1,3,6,9 或 3,5,6,9 或 1,5,6,9
（写出任意一个即可）；
（II）设数列 的长度为 q 的一个递增数列为
求 a1c1 a2c2 • • • a2nc2n n N* .
【答案】 解：（Ⅰ）解：设等差数列
为 q 依题意，得
，解得
.
所以， 的通项公式为
，
（Ⅱ）解：
=
的公差为 d，等比数列 ，故
的通项公式 为
.
的公比
.① ，②
8
②-①得，
.
所以，
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和
（I）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；
12
（II）已知数列{an}的长度为 P 的递增子列的末项的最小值为 am0 ， 长度为 q
的递增子列的末项的最小值为 an0 ， 若 p<q，求证：am0<an0；
（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长
且
；
设数列 的长度为 p 的一个递增数列为
且
；
因为 p<q，所以
，即 > ;
（III）
（用数学归纳法证明即可）.
【考点】数列的应用
【解析】【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；
（II）构造数列证明即可；
（III）根据题意写出通项公式即可.
10.（2019•卷Ⅰ）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 Sn=-a5
（2）由（1）知，
，
．
所以
，
． 【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出
，
则
是首项为 1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出
．即可得出
是首项为 1，公差为 2 的等差数
列．（2）结合（1）的结论把两个数列
、
的通项公式相减，
即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。 9.（2019•北京）已知数列{an}，从中选取第 i1 项、第 i2 项…第 im 项 （i1<i2<…<im）.若 ai1<ai2<…<aim.则称新数列 ai1 ， ai2 ， …，aim.为{an}的 长度为 m 的递增子列.规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为 1 的递增子 列.
可知
，
故
，
解得 d=2，
故
；
（Ⅱ）由（I）知
，
该二次函数开口向上，对称轴为 n=5.5， 故 n=5 或 6 时， 取最小值-30. 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和 【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出 d，即 可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应 的最小值. 8.（2019•卷Ⅱ）已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0， 4an1 3an bn 4,
2019 年高考数学真题 分类汇编专题 18：数
列(综合题)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2019 年高考数学真题分类汇编
专题 18：数列（综合题）
1.（2019•江苏）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} n N* 满足： a2a4 a5, a3 4a2 4a4 0 ，求证:数列{an}为
出 m 的最大值。
2.（2019•上海）已知等差数列an的公差 d 0, ，数列bn满足bn sinan ，
集合 S x | x bn, n N* ．
2
（1）若 a1 0, d 3 ，求集合 S；
（2）若 a1 2 ，求 d 使得集合 S 恰好有两个元素；
（3）若集合 S 恰好有三个元素： bnT bn ，T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所
即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在 n=1 时式子成立，假设 n=k 时式子成立，再证
n=k+1 时式子也成立即可.
4.（2019•天津）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于 0，已知
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a1 b1 3, b2 a3,b2 4a2 3.
（Ⅰ）求 an 和 bn 的通项公式； （Ⅱ）设数列 cn 满足
，
解得 从而
． ．
由
成等比数列得
．
解得 所以
． ．
（2）
．
我们用数学归纳法证明．
⑴当 n=1 时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设
时不等式成立，即
．
那么，当
时，
7
即当
时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式
． 对任意
成立．
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，
4bn1 3bn an 4.
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（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】 （1）解：由题设得
，即
． 又因为 a1+b1=l，所以 由题设得
是首项为 1，公比为 的等比数列． ，
即
．
又因为 a1–b1=l，所以
是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
（1）若 a3=4，求{an}的通项公式。
（2）若 a1≥0，求使得 Sn≥an 的 n 取值范围。 【答案】 （1）解：设 的公差为 d ．
由
得
．
由 a3=4 得
．
于是
．
因此 的通项公式为
．
13
（2）由（1）得
，其中 k=1，2，3，…，m.
2
当 k=1 时，有 q≥1；
当 k=2，3，…，m 时，有
．
设 f（x）=
，则
．
令 x
f（x） 因为
，得 x=e.列表如下：
e
+
0
极大值
，所以
．
取
，当 k=1，2，3，4，5 时，
，即
(e，+∞) –
，
经检验知
也成立．
因此所求 m 的最大值不小于 5．
若 m≥6，分别取 k=3，6，得 3≤q3 ， 且 q5≤6，从而 q15≥243，且
列bn 的通项公式，再利用等差数列的前 n 项和公式即可求出结果。
7.（2019•北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前 n 项和为 Sn ，求 Sn 的最小值.
【答案】 解：（I）根据三者成等比数列，
.【答案】 解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列
的公比为
.依题意得
解得
故 .
所以， 的通项公式为
的通项公式为
.
（Ⅱ）（i）
.
9
所以，数列
的通项公式为
.
（ii）
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和
公式。 （Ⅰ）由