椭圆的简单几何性质练习题

课时作业(八)

[学业水平层次]

一、选择题

1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3

5的椭圆的标准方程是( )

A.x 2100＋y 2

36＝1 B.x 2100＋y 2

64＝1 C.x 225＋y 2

16＝1

D.x 225＋y 2

9＝1

【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3

5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2

16＝1，故选C.

【答案】 C

2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )

A.12

B.13

C.14

D.22

【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1

2. 【答案】 A

3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2

25－k

＝1(0

A ．有相等的焦距，相同的焦点

B ．有相等的焦距，不同的焦点

C ．有不等的焦距，不同的焦点

D ．以上都不对

【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2

25－k ＝

1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.

【答案】 B

4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2

3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )

A.5

13 B ．－513 C.21313

D ．－21313

【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝

a 2－

b 2＝

4－3＝1.

不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2

3＝1，

解得y 0＝±3

2，

所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫322＝13

2. 由余弦定理知

cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2

2|OM ||ON |

＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1322－322×132×132＝－513.

【答案】 B 二、填空题

5．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．

【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝1

2.

【答案】 1

2

6．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点M ⎝

⎛⎭⎪⎪

⎫

x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1

x 2－x 1

，

k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 2

2－y 21

x 22－x 21，

b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2

，

得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 2

1)＝0，即y 22－y 21x 22－x 2

1

＝－b 2a 2. 【答案】 －b 2

a 2

7．(2014·天津高二检测)已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y

22＝1上的一个

动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．

【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y

2

2＝1上的一个动点，所以m 2＋n

22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所

以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.

【答案】 [1,2] 三、解答题

8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为5

5的椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．

【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，

∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵e ＝

c a ＝5

5，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 2

20＝1. (2)因椭圆的焦点在x 轴上，

设它的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2

c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 2

20＝1.

9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．

【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横

坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 22

a 2＋y 2

b 2＝1，y 2＝3

4b 2，即

P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 2，32

b ，又∠OP A ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝3

2b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝

a 2－

b 2a ＝(3b )2－b 23b

＝22

3. [能力提升层次]

1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )

A.2

2 B.2－1 C ．2－ 2 D.2－1

2