附录I-截面几何性质-习题答案
材料力学--截面的几何性质答案
材料力学--截面的几何性质答案15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得返回15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩返回15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。
它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。
该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是上面一个圆的圆心到轴的距离是。
利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下：返回15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。
解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。
利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩（b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下：返回15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。
关于形心位置，可利用该题的结果。
解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。
惯性矩计算如下：返回15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩和。
解：先求形心主轴的位置即返回15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。
根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是；若即等式两边同除以2，然后代入数据，得于是所以，两槽钢相距。
材料力学 截面几何性质 习题及参考答案
截面几何性质 作业1. 判断题（1）任意平面图形至少有1对形心主惯性轴，等边三角形有3对形心主惯性轴。
（ × ） （2）平面图形的几何性质中，静矩和惯性矩的值可正、可负、可为零。
（ × ） （3）平面图形中，使静矩为零的轴必为对称轴。
（ × ） 2. 选择题（1）若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。
A. 静矩为零，惯性矩不为零B. 静矩和惯性矩均不为零C. 静矩和惯性矩均为零D. 静矩不为零，惯性矩为零（2）设图形具有三个以上（含三个）对称轴时，对某一形心轴的惯性矩I 1 ，对某一对正交形心轴的惯性积为I 2。
则当形心轴绕形心旋转时（ A ）。
A. I 1值不变，I 2恒等于零B. I 1 值不变，I 2不恒等于零C. I 1值变化，I 2恒等于零D. I 1值变化，I 2不恒等于零（3）任意图形的面积为A ，x C 轴通过形心C ，x 1轴和x C 轴平行，并相距a ，已知图形对x 1轴的惯性矩是I 1，则对x C 轴的惯性矩为（ A ）。
A. 21xC I I Aa =-B. 0xC I =C. 21xC I I Aa =+D. 1xC I I Aa =+C x 1（4）图示等底等高的矩形和平行四边形，对其形心轴y 的惯性矩I a 和I b 满足（ A ）。
A. I a = I bB. I a > I bC. I a < I bD. 不能确定（a ）（b ）（5）设矩形对其对称轴z 的惯性矩为I ，当其长宽比保持不变，面积增加1倍时，该矩形对其对称轴z 的惯性矩将变为（ A ）。
A. 4IB. 2IC. 8ID. 16I（6）图示任意形状图形，形心轴z 将图形分为两部分，则一定成立的是（ A ）。
A. S z 1 + S z 2 = 0B. I z 1 = I z 2C. A 1 = A 2D. S z 1 = S z 2（7）图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定（ A ）。
《材料力学》附录I截面的几何性质习题解
附录I 截里的几许本量 习题解之阳早格格创做[习题I-1]试供图示各截里的阳影线里积对付x 轴的静积.（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅= （b ） 解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅=（c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= （d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= [习题I-2]x 轴的静矩，并决定其形心的坐标.解：用二条半径线战二个共心圆截出一微分里积如图所示.dx xd dA ⋅=)(θ；微分里积的纵坐标：θsin x y =；微分里积对付x 轴的静矩为：半圆对付x 轴的静矩为：[习题I-3]试决定图示各图形的形心位子. （a ） 解：(b) 解：(c) 解：[习题I-4]解：用二条半径线战二个共心圆截出一微分里积如图所示.为：[习题I-5].解：圆的圆程为：里积，微分里积为：[习题I-6] 试供图示正圆形对付其对付角线的惯性矩.解：正圆形四条边的曲线圆程如图所示（设火仄坐标轴为.[习题I-7] 试分别供图示环形战箱形截里对付其对付称轴x 的惯性矩. (a) 解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-⨯⨯=-=απ(b)[习题I-8]试供图示三角形截里对付通过顶面A 并仄止于底边BC 的轴的惯性矩.解：已知三角形截里对付以BC 边为轴的惯性矩是，利用仄止轴定理，可供得截里对付形心轴的惯性矩 所以再次应用仄止轴定理，得[习题I-9]试供图示的半圆形截里对付于轴的惯性矩，其中轴取半圆形的底边仄止，相距1 m. 解：已知半圆形截里对付其底边的惯性矩是，用仄止轴定理得截里对付形心轴的惯性矩 再用仄止轴定理，得截里对付轴的惯性矩[习题I-10] 试供图示拉拢截里对付于形心轴x 的惯性矩. 解：由于三圆曲径相等，并二二相切.它们的圆心形成一个边少为的等边三角形.该等边三角形的形心便是拉拢截里的形心，果此底下二个圆的圆心，到形心轴的距离是上头一个圆的圆心到轴的距离是d 632.利用仄止轴定理，得拉拢截里对付轴的惯性矩如下： [习题I-11]试供图示各拉拢截里对付其对付称轴的惯性矩. 解：（a ）22a 号工字钢对付其对付称轴的惯性矩是.利用仄止轴定理得拉拢截里对付轴的惯性矩（b ）等边角钢的截里积是，其形心距中边沿的距离是28.4 mm ，供得拉拢截里对付轴的惯性矩如下：习题I-11（b ）图图形 b h Ixc a A Ix中间矩形 10 600 180000000 0 6000 180000000 上矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 下矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 左上L 形 1795100 1926 143869495 左上L 形 1795100 1926 143869495 左下L 形 1795100 1926 143869495 左下L 形17951001926143869495 A a I I xc x 2+=1220644645[习题I-12]试供习题I-3a 图所示截里对付其火仄形心轴的惯性矩.闭于形心位子，可利 用该题的截止.解：形心轴位子及几许尺寸如图所示.惯性矩估计如下：试供图示各截里对付其形心轴x的惯性矩.习题I-13(a)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上矩形1000 100 100000 650 65000000 225 83333333 5145833333 下矩形300 600 180000 300 54000000 125 5400000000 8212500000 齐图280000 119000000 425习题I-13(c)图形bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4) ai Ix(mm4)矩形2140 1150 2461000 575 1415075000 271222708333 159 333213698275 半圆790 -980333 335 -328692667 42750202791 399齐图1480667 1086382333 734半圆：π3/4ryc=半圆：ππ9/88/44rrIxc-=习题I-13(d)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix(mm4)从下往上2216 3520 8 28160 37475093 4924386131814 2520 23 57960 35941160 324821280 16 674 10784 367 3957728 0 408242699 408242699 2214 3080 711 2189880 32950307 333432587 449 4005 2893613 3427034 464367735习题I-13( b)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上图(3) 25 150 3750 275 1031250 148 7031250 89601489 中图(2) 200 150 30000 125 3750000 2 56250000 56328044 下图(1) 100 50 5000 25 125000 102 1041667 52667577 齐图38750 4906250 127 1985971105 123909 9127341 382 202330291 4[习题I-14] 正在曲径aD8=圆截里中，启了一个aa42⨯的矩形孔，如图所示.试供截里对付其火仄形心轴战横曲轴形心的惯性矩xI战y I.解：先供形心主轴的位子截里图形对付形心轴的静矩（里积矩）等于整：（y轴背下为正）（拉拢图形对付过圆心轴x1的惯性矩）（拉拢图形对付形心轴x的惯性矩）习题I-14b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc ai Ix(a4) 矩形4 2 -8.00 1 -8 2.667 1.1893 14.0圆 4 50.27 0 0 201.062 -0.1893 202.942.27 -8 -0.1893 188.9 [习题I-15]正圆形截里中启了一个曲径为mmd100=的半圆形孔，如图所示.试决定截里的形心位子，并估计对付火仄形心轴战横曲形心轴的惯性矩.解：习题I-15图形 bi hi rAiYci AiYciYcIxci ai Ix正圆形 200 20040000 100 4000000 133333333 2 133546801 半圆 50 -3927 79 -30936568597724 2860346 齐图360733690635 102130686455π34100r y c -=ππ98844r r I xc -⋅=A a I I xc x 2+=形心位子：X （0，102）.对付火仄形心轴的惯性矩：4130686455m m I x =.对付横曲形心轴的惯性矩：习题I-15图形 a r Iy （mm 4） 正圆形 200半圆 50 2454367齐图13087896681244r a I y ⋅-=π[习题I-16] 图示由二个a 20号槽钢组成的拉拢截里，若欲使截里对付二对付称轴的惯性矩x I 战y I 相等，则二槽钢的间距a 应为几？解：20a 号槽钢截里对付其自己的形心轴、的惯性矩是，；横截里积为；槽钢背到其形心轴的距离是.根据惯性矩定义战仄止轴定理，拉拢截里对付，轴的惯性矩分别是 ；若即等式二边共除以2，而后代进数据，得 于是所以，二槽钢相距[习题I-17] 试供图示截里的惯性积xy I解：设矩形的宽为b 下为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则由仄止移轴公式得：故，矩形截里对付其底边取左边所形成的坐标系的惯性积为：2241h b I xy =[习题I-18] 图示截里由二个mm mm mm 10125125⨯⨯的等边角钢及缀板（图中实线）拉拢而成.试供该截里的最大惯性矩max I 战最小惯性矩习题I-17 图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000 沉复加的矩形 10102500齐图上图+下图-沉复图= 497500解：从图中可知，该截里的形心C位于二缀板共共的形心上.过C C.C后所得到的坐标系是截里的的二条对付称轴，也便是该截查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：，，，角钢形心主惯性轴取截里形心主惯性轴之间的距离：（注：缀板用实线绘出，表示其里积可忽略没有计）[习题I-19].论断：1、过正圆形形心的一对付相互笔曲的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为整；2、过正圆形形心的一对付相互笔曲的轴，绕形心转化之后，惯性矩、惯性积脆持没有变.[习题I-20]决定图示截里的形心主惯性轴的位子，并供形心主惯性矩.（a ）解：截里的形心主惯性轴取横曲矩形的形心主惯性轴沉合.Ix Iy Ixy-259200000 Ix0= 704109187-259200000Iy0=54184146224)(2120xy y x yx y x I I I I I I I +-±+=(b)解：以20号槽钢（图I ）的下边沿为x 轴，左边沿为y 轴，修坐坐标系.8号槽钢编号为图II.则拉拢截里的形心估计如下：习题I-20(b) 少度单位:cm图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 10 64 II 16 -15 齐图习题I-20（b ）图形 Ai iabiIxci' Iyci' Ixci Iyci Ixciyci' Ixciyci tan2a0a0Ix0Iy0I 1981 165 0 II齐2296249[习题21]试用近似法供习题I-4出的透彻值相比较.解：圆的圆程为：把y轴的半径10过仄分面，做x轴的仄止线.从下往上，每个分块的中面的y坐标取x坐标如下表所示.[习题I-22]（提示：最简朴的证法是利用惯性积的仄止移轴公式，并利用一对付相互笔曲的坐标轴中有一为截里的对付称轴时，其惯性积为整的特性.）解。
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
附录1 截面的几何性质
tg2 0
二、主惯性矩（主矩）
图形对主轴的惯性矩Iｘ0、Iy0 称为主惯性矩，主惯性 矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。
Ix I y 2 2 I x0 I x I y ments of inertia: ( ) I xy I 2 2 y 0
y d yC O
I yC I rectangle xC I circle xC
x1
(1.5d )3 2d d 4 0.513d 4 12 64
2d
I xCyC 0 Therefore axes xC and yC are the
principal axes of the centroid.
y
一、截面的静矩
dS x dAy
x y 截面对x轴的静矩 dA 截面对y轴的静矩 x 量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。
dS y dAx
S x dS x ydA
A A
S y dS y xdA
A A
o
静矩的值可以是正值、负值、或零
二、截面的形心
yC
Example
求图示图形的形心主惯性 矩(b=1.5d)
y 2d yC O
C
d
x1
解： 1 建立坐标 2 求形心 x xC
xi Ai 0 0 x A A 2 d d y A i i y 2 4 2 0.177d A 2 d 3 d 4
o
yC dA
y xC
x a xC y b yC
I x y 2 dA
A
C
x
( y C b ) dA
材料力学截面图形的几何性质习题
附录Ⅰ 截面图形的几何性质
I-1 填空题： I-1(1) 当一个正方形的边长和一个圆形的直径相等时，两图形对 其形心轴的惯性矩之比应为 16 。
3π
I-1(2) 若已知图示平面图形对 A 轴的惯性矩为 27 bh3 ，则图 4
形对 C 轴的惯性矩为 3 bh3 ，对 D 轴的惯性矩为 9 bh3 。
y xC
−α
0
α
= 2 R3 sin α 。 3
x Oα C
R
A = R 2α 。
xC
=
2R3 sin α 3R 2α
=
2 R sinα 3α
。
题 I-4 图
I-5 如图的截面由一个直径为 D 的半圆和一个矩形组成。如果图形的形心位于半圆的水
平直径处，求矩形的高 a。
解：上半圆对形心轴的静矩：
S1
=
12
-1-
B
A
题 I-1(6) 图
工程力学习题解答
I-2 单选题：
I-2(1) 边长为 4a 的正方形，在如图位置挖去一个边长为 a
的小正方形，余下的阴影图形对坐标轴 x、y、x′、y′的静
矩分别为 S x , S y , S x′ , S y′ ，其中只有 C 是对的。
A． S x
=
a3 2
B． S y =
C． I x = I x′ + (a2 + a′2 ) A D． I x = I xC + (a + a′)2 A E． I x = I x′ + 2aa′A + a2 A F． I x = I x′ + 2aSx′ + a2 A
b′ C a′
材料力学附录I-1
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 2. 惯性矩
x 2 d A A I x y 2 d A A Iy
称为整个截面对y轴或x轴的惯性矩，亦称面积对轴 的二次矩，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
I p 2 d A x2 d A y 2 d A I y I x
A A A
上式表明平面图形对任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和等于该图 形面积对两轴交点的极惯性矩。 平面图形对过同一原点的任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和是一个常量。
3. 惯性积
I xy
xy d A
A
称为整个截面图形A对x、y轴的惯性积。惯性积是对一对正交轴定义的，
因此也是面积的二次矩，可正、可负也可能为零，常用单位为m4或mm4。 若x、y轴中有一个轴为截面的对称轴，则整个截面对两轴的惯性积恒 等于零。可以证明，在对称轴两侧对称位置处的微面积对于两轴的惯性积 数值相等而符号相反，因此整个截面对两轴的惯性积必然等于零。若x、y 轴都为对称轴，则整个截面对两轴的惯性积自然为零。
S x S x I S xII
图 I-4 例题I-3图
由 S x I S xII 0 ，可得
S x I S xII
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 1. 极惯性矩
I p 2 dA
A
定义为整个截面对O点的极惯性矩。 极惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
S x y d A y d A1 y d A2 A A1 A2 S y x d A x d A1 x d A2 A A1 A2
或
S x yC A yC1 A1 yC 2 A2 yCi Ai i 1 n S y xC A xC1 A1 xC 2 A2 xCi Ai i 1
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
附录Ⅰ 截面的几何性质.
附录Ⅰ截面的几何性质I-1选择题1 在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心。
B.图形两个对称轴的交点必为形心。
C.图形对对称轴的静矩为零。
D.使静矩为零的轴必为对称轴。
2 在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正，可负，也可为零。
A.静矩和惯性矩。
B.极惯性矩和惯性矩。
C.惯性矩和惯性积。
D.静矩和惯性积。
3 设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I, 则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为（B）。
A．2I B.4I C.8I D.16I4 若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是（A）。
A．静矩为零，惯性矩不为零B．静矩不为零，惯性矩为零。
C．静矩和惯性矩均为零。
D．静矩和惯性矩均不为零。
5 直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=（ B ）。
（A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/86 若截面有一个对称轴，则下列说法中，（D）是错误的。
A．截面对对称轴的静矩为零。
B．对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。
C．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。
D．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。
7 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的( B) 。
（A）形心轴B）主惯性轴（C）形心主惯性轴（D）对称轴8 在yoz 正交坐标系中，设图形对y , z 轴的惯性矩分别为I y 和I z ，则图形对坐标原点的极惯性矩 （ B ） 。
（A ） I p =0 （B ） I p = I y + I z（C ）22x y P I I I += （D ）222xy p I I I +=9 静矩的国际单位是 （ D ） 。
（A ） m 4。
（B ） m 。
（C ） m 2 。
（D ） m 310 图示矩形截面b×h 对y 轴的惯性矩为（B ）。
高教社2024材料力学1第7版习题解答附录1 平面图形的几何性质
题型：问答题Ⅰ.1在例题Ⅰ.1中，取微面积dA=dydz，试用二重积分重解该题。
答案：略。
解析：取平行于y轴的狭长条作为微面积，改变积分限，完成积分。
难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.2确定图示各图形形心的位置。
答案：见习题答案。
解析：利用组合图形求形心的方法。
难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.3试用积分法求图示各图形的I y值。
答案：见习题答案。
解析：利用I y的定义，用积分法求解。
难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.4试计算题Ⅰ.2中各平面图形对形心轴y C的惯性矩。
答案：见习题答案。
解析：利用组合图形求惯性矩的方法和平移轴公式。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.5薄壁圆环的平均半径为r，厚度为δ(r≫δ)，试证薄壁圆环对任意直径的惯性矩为I=πr3δ，对圆心的极惯性矩为I p=2πr3δ。
答案：略。
解析：分别用半径是r+δ2实心圆的惯性矩和极惯性矩减去半径是r−δ2实心圆惯性矩和极惯性矩，化简并略去高阶小量。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.6计算图示半圆形对形心轴y C的惯性矩。
答案：见习题答案。
解析：先算出形心位置，半圆图形对y轴的惯性矩是整个圆对y轴的惯性矩的一半，再利用平移轴公式计算。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.7计算图示图形对y、z轴的惯性积I yz。
答案：见习题答案。
解析：（a）利用平移轴公式计算；（b）用积分法计算。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.8计算下列图形对y、z轴的惯性矩I y、I z和惯性积I yz。
杨家将传奇完整40关攻略
附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右150 20 3000 75 225000140001730000Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai(b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左90 10 900 55 49500 5 45002500575002313250053Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai解：习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置型钢号 Ai(cm2) Yci(cm ) AiYci(cm3)Yc(cm ) Xci(cm )AiXci(cm3)Xc(cm ) 槽钢20 10 等边角钢80*10Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
截面几何性质答案
截⾯⼏何性质答案第七章截⾯⼏何性质基本要求与重点1.形⼼与重⼼（1）理解重⼼与形⼼，熟知常见规则图形形⼼的位置。
（2）记住以下常见规则⼏何图形的形⼼位置：圆及圆环、矩形、三⾓形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形⼼位置。
2.⾯积静矩（⼜称静矩或⾯矩）（1）了解⾯积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知⾯积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平⾏轴定理及组合图形惯性矩的计算⽅法。
（5）记住圆及圆环对圆⼼的极惯性矩（6）记住矩形截⾯对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形⼼主轴的概念主要内容1.形⼼与重⼼（1）概念与性质重⼼是物体的重⼒中⼼，形⼼是⼏何体的形状中⼼。
对均质物体，重⼼与形⼼位置重合。
若存在⼏何对称同，则形⼼必在对称轴上。
（2）计算形⼼位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常⽤的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A====∑∑， 2.⾯积静矩（⼜称静矩或⾯矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：⼏何图形的⾯积乘以形⼼到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：⼏何图形的元⾯积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元⾯积对该轴的静矩；所有点的元⾯积静矩之和，为⼏何图形的对该轴的静矩。
（2）⾯积静矩的重要性质：若图形对某轴的⾯积静矩为零，则该轴过这⼀图形的形⼼；反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形⼼互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选⽤代数式或积分式进⾏计算，⼯程中主要是利⽤代数式进⾏计算。
11S S n nx ix i i c i i y A y A ====??=?∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====??=?∑∑3.惯性矩与极惯性矩。
8附录I-截面的几何性质
y dA
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y A x d A
2
I x A y d A
2
y
由于 y x
2 2
（为正值，单位m4 或
2
mm4)
O
x
x
2 2 2 d A ( y x ) d A Ix Iy I 所以 p A A
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：
I x I x1 2 I x 2 5333 104 2 3467 104 12270 104 mm4
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
任意面元dA 在旧坐标系oxy 和新坐标系ox1y1的关系为：
B
a
D
Ip
πd 4 Iz Iy 2 64
§-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C 为其形心， Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为 Oxy , 形心 C 在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元 dA 在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
A dA
x1 x cos y sin
y
E
C
y1 y cos x sin
代入惯性矩的定义式：
D
O
x
B
x
I x1 y d A
A 2 1
材料力学-截面几何特性
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
(完整版)材料力学习题册答案-附录平面图形几何性质
附录 截面图形的几何性质一、是非判断题⒈ 图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。
（ √ ）⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。
（ × ）⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。
（ √ ）⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。
（ √ ）二、填空题⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 各组成图形对同一轴静矩 的代数和。
⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 。
⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形 主惯性轴 。
⒋ 过图形的形心且 图形对其惯性积等于零 的一对轴为图形的形心主惯性轴。
三、选择题⒈ 图形对于其对称轴的（ A ）A 静矩为零，惯性矩不为零；B 静矩和惯性矩均为零C 静矩不为零，惯性矩为零；D 静矩和惯性矩均不为零⒉ 直径为d 的圆形对其形心主轴的惯性半径=（ C ）。
i A d/2 B d/3 C d/4 D d/8⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴的惯性矩=（ C ）。
z Z I A B123234dD D -π63234dD D -π C D 126434dD D -π66434dD D -πz四、计算题1、求图示平面图形中阴影部分对z 轴的静矩。
232.0)2.06.0(4.0bh h h h b S Z =+⋅⋅=()8842422222bh h H B h h b h H h h H B S Z +-=⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-⋅=2、求图示平面图形对z 、y 轴的惯性矩。
4523231023.251040121040251040123010mm I I I II I Z ⨯=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+=由于图形对称，451023.2mm I I Z Y ⨯===3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。
mm y C 7.5610020201401010020902010=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=4723231021.17.46200.1012201003.33201401214020mm I I I II I Z ⨯=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+=46331076.112100201220140mm I Y ⨯=⋅+⋅=z zz。
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习题I −1 试求平面图形的形心位置。
解：由对称 m 3.0c =z m 357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y解：m 093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m 193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=yI −2 试求平面图形的形心坐标。
解：O(c)(a)z(b)l n n dzz zdzz z lnln2100c ++==⎰⎰()2c +=-=⎰⎰n ldzz ydyy l y nlnl n n解：由对称 r z =cπππ342322223222cr rr rydyy ry r==-=⎰I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。
（图中C 为截面形心）解：3c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S zzO(d)(a)(b)解：3c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S zI −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。
（z 轴通过截面形心） 解：()64646442414241d d d d I z -=-=πππ解：12121242414241a a a a I z -=-=I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。
解： 432bh y bdy h y I hz =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。
其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。
(a)a(b)C解： 444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π34cr y =所以由2c1Ay I I z z += 得 4222cm1098.0314213927.01=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z于是 4222m30.33141211098.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+=+=ππAaI I z zI −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。
试求截面对其水平形心轴的和竖直形心轴的惯性矩I z 和I y 。
解：令圆截面的惯性矩为I 1，矩形孔的惯性矩为I 2 ()()()a aa a a a y 18928.0848042222c =--⨯-⨯=ππ()()()()4223224219.18818928.0812*******.0464a a a a a a a a D I I I z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-=ππ ()434213.190124264a a a DI I I y y y =⋅-=-=πI −8 正方形截面中开了一个直径d =100mm 的半圆形孔，如图所示。
试确定截面的形心位置，并计算截面对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩I z 和I y 。
y cy c解：令正方形截面的惯性矩为I 1，半圆形孔的惯性矩为I 2mm31.281002003504810002002222c=⨯-⨯⨯⨯-⨯=πππy()4822422421mm 10307.131.2350481005098831.220012200⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=-=ππππz z z I I I484421mm10309.1641002112200⨯=⨯⨯-=-=πy y y I I II −9 图示为由两个18a 号槽钢组成的组合截面，如欲使此截面对两个对称轴的惯性矩相等，问两根槽钢的间距a 应为多少？解：查型钢表可知 4cm254012702=⨯=z I⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯=88.12699.256.982a I y由 yz I I = 得 cm76.9=aI −10 求图示截面的形心主轴的位置和形心主惯性矩。
解： m m737.39701010120570106010120C =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m m737.19701010120457010510120C=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=y习题I −9图462323mm 100032.1263.257010127010737.14101201210120C⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=zI462323mm 107832.2737.347010121070263.20101201212010C⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=y I()()()()45mm107263.9737.19455737.3970105737.19737.396010120CC⨯=-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯=z yI 由 093.12783200100320097263022tan CCCC=-⨯-=--=yzz y I I I α 得6.22720=α，即8.1130=α462222mm1021.39726304)27832001003200(212278320010032004)(212CC CCCC⨯=⨯+-++=+-++=z yy zy zz I I I I I I 452222mm1075.59726304)27832001003200(212278320010032004)(212CC CCCC⨯=⨯+--+=+--+=z yy z yz y I I I I I II −11 图示为一正方形截面，z 、y 为截面的两个对称轴，z 1、y 1为与z 、y 轴成α角的一对正交轴。
（1）求截面对z 1和y 1轴的惯性矩I z 1和I y 1，并将I z 1、I y 1值与I z 、I y 值比较；（2）z 1、y 1轴是否为主轴？由此可得出什么结论？ 解： 124aI z =，124aI y=，0=yzI则122sin 2cos 2241aI I I I I I yz yz yz z =--++=αα 122sin 2cos 2241aI I I I I I yz yz yz y =+--+=αα2cos 2sin 211=+-=ααyz yz z yI I I I习题I −11图所以z 1、y 1轴也是主轴，又由于z 1、y 1轴过形心，因此此两轴为形心主轴。
由此可见，如果一个平面图形对两个直角坐标轴的惯性矩相等，并且此两轴为主轴，则转轴后的坐标轴也应该是主轴，并且惯性矩不变。
I −12 试证明：如果平面图形过一点有两对以上的主轴，则过该点的任一对正交轴都是主轴。
证明：设两对主轴对应的转角分别为α1、α2，则有2cos 2sin 21111=+-=ααyz yz z yI I I I 02cos 2sin 22222=+-=ααyz yz z yI I I I因此，有⎪⎩⎪⎨⎧==-002yz y z I I I 即有 yzI I = 、0=yzI ，由上题结论可知“如果平面图形过一点有两对以上的主轴，则过该点的任一对正交轴都是主轴。
”。