2018年湖北仙桃市中考数学试卷(含解析)

2018 年湖北省 江汉油田潜江天门仙桃 市初中毕业、升学考试
数学
（满分 120 分，考试时间 120 分钟）
、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃
市，
A ．－ 8
B ． 8
【答案】 D
【解析】 乘积为 1 的两个数互为倒数，
∵ 【知识点】 倒数
1，3分）8 的倒数是（ ）
11 C ． D ． 88 11
8 81 1，∴8的倒数数是 18，故选 D ．
2，3 分） 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（
【答案】 A
【解析】 本题主要考察几何体的平面展开图．根据侧面都是矩形可知，该根据侧面都是矩形可知，该几何体是柱 体，根据上下底都是三角形可知，该柱体是三棱柱．故选 A ． 【知识点】 几何体的展开图
3．（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 3，3分） 2018年 5月26日至 29日，中国国际大数据产业博览会在
贵州召开，“数化万物，智在融合”为年度主题．此次大会成功签约项目 350 余亿元．数 350 亿用科学记数 法
表示为（ ）
亿用科学记数法表示为 3.5 1010 ．故选 B ． 【知识点】 科学记数法
4，3分）如图， AD ∥BC ，∠C 30°，∠ ADB ︰∠ BDC 1︰2，则
A ．三棱柱
B ．三棱锥
C ．圆柱
D ．圆锥
A ． 3.5 102
10
B ． 3.5 1010
11
C ． 3.5 1011
10
D ． 35 1010
答案】 B
解析】 本题主要考查科学记数法． 科学记数法表示数的标准形式为
2．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，
a 10n （且 1 a 10 ，n 为整数），所以 350
4．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，
∠ DBC 的度数是
A ．30°B．36 C．45 D．50°
【答案】D
【解析】∵ AD∥BC，∴∠ C＋∠ ADC 180°，∠DBC＝∠ADB，∵∠ C 30°，∴∠ ADC 150°．∵∠ ADC ∠ADB ＋∠ BDC ，∠ ADB ︰∠ BDC 1︰2，∴∠ ADB 50°．∴∠ DBC＝∠ ADB＝50°．故选D．
【知识点】平行线的性质
5．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，5，3 分）点A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是（）
A ．b 2 a B．1 2a 1 2b C．a b 2 D ．a 2 b
【答案】C
【解析】本题主要考查在数轴上比较数的大小．
如图，根据有理数的位置，在坐标轴上作出－a，－b，由数轴的概念可知 a 2 b 0 b 2 a，∵ a 0 b ，∴ a a，b b ．
A 项，b 2 a ，b 2 a ．故 A 项表述正确．
B 项，1 2a 1 2b ，根据不等式的性质，∵ a b，∴ 2a 2b，1 2a 1 2b．故 B 项表述正确．
C 项，a b 2应是b<2<－a．故 C 项表述错误．
D 项，a 2 b ．故 D 项表述正确．
故选 C ．
【知识点】在数轴上比较大小
6．（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，6，3分）下列说法正确的是（）
A ．了解某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查
B．数据3，5，4，1，1 的中位数是4
C．数据5，3，5，4，1，1的众数是1和5
D ．甲、乙两人射中环数的方差分别为s甲22，s乙23，说明乙的射击成绩比甲稳定
【答案】C
【解析】 A 选项，一个班人数比较少，适合普查， A 错误；
B 选项，从小到大排列依次是1、1、3、4、5，中位数应该是1，B 错误；
C 选项， 1 和 5 都是出现 2 次， 3 和 4 各出现 1 次，所以众数是 1 和5， C 正确；
D 选项，方差越小越稳定，所以甲的射击成绩比乙稳定， D 错误；
故选 C ．
【知识点】全面调查和抽样调查的关系，方差的性质，众数，中位数
7．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，
的圆心角的度数是（
是 x 3 ，则 m 的取值范围是（
答案】 C
思路分析】 根据折叠及正方形的性质可证 Rt △AFE ≌Rt △ADE ，在 Rt △ CGE 中，根据勾股定理求出 DE 的长． 解题过程】 ∵△ABG 沿AG 对折至△ AFG ，∴ AB AF ，GB GF ＝3．∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB AD
AF ．∴ Rt △ AFE ≌ Rt △ ADE （ HL ）．∴ DE EF ．设 DE x ，则 EF DE x ，GE x 3，CE 6 x ．在
7，3 分） 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥侧面展开图
A ．120°
【答案】 B
【解析】 首先设出母线长与底面半
径， 半径关系，再利用弧长公式求出
B ． 180°
C ． 240°
D ．300°
根据题意得出圆锥侧面积等于底面圆的面积的 2 倍， 得出母线与底面圆的
设母线长为 R ，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 n ，底面半径为 ∵底面周长为 2π r ，底面面积为π r 2，侧面积为π rR ＝2πr 2．
r ． ∴
R ＝2r ．
∵圆锥底面周长为 2π r ，
n π 2r
∴ 2π r ＝
．
180
∴ n 180 ． 故选 B ． 【知识点】 圆锥的有关计
算
8．（ 2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，
8，3分）若关于 x 的一元 次不等式组 3(x 1) x 9
的解集
m1
A ．m
B ． m ≥4
C ． m 4
D ． m ≤4
答案】 D 思路分析】
本题主要考察带参数的不等式组． 出关于 m 的不等式．注意考虑不等式取
先分别解出两个不等式， 等号的情况．
再结合答案和不等式组解集确定方式列
解题过程】 两个不等式分别解出后为
x3 x 3
，而不等式的解集为 x 3 ，由不等式口诀“同大取大”可知： x m 1
m 1 3，解得 m 4．当 m 1 3，m 4时，不等式的解集也是 x 3 ，综上所述 【知识点】 不等式组的解集
m ≤ 4．故选 D ．
9．（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 9，3分） 如图，正方形 ABCD 中，AB 6，G 是BC 的中点．将
△ ABG 沿 AG 对折至△ AFG ，延长 GF 交 DC 于点 E ，则 DE 的长是（ ）
A ．1
B ．1．5
C ． 2
D ．2． 5
12．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，12，3 分）计算：
1 (12)
Rt△CGE 中由勾股定理得CG 2 CE2 GE2．∴ 32（6 知识
点】正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理
10．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，10，3分）甲、乙两车从 A 地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/
h 的速度行驶 1 h 后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达 B 地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲
车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：
①乙车的速度是120km/ h；② m 160；③点H 的坐标是（7，80）；④ n 7.5．其中说法正确的是（）
A．4 个B．3个C．2个D．1 个
【答案】B
【思路分析】本题主要考察用图象表示函数关系，重点是分析函数图象每一部分表示的实际意义．函数图像分为4部分，最开始两人相距80千米，0 到2小时是乙在追击甲，并在2小时时追上；2到 6 小时是乙超过甲，在 6 小时时乙到达 B 地； 6 到H 点，是乙停留的 1 小时；最后一段是乙原路返回，直到在n 小时与甲相遇．
【解题过程】甲乙最开始两人相距80 千米，0 到 2 小时是乙在追击甲，并在2小时时追上，设乙的速度为
xkm/h，可得方程2x 2 80 80 ，解得x 120，故①正确；
在 2 小时时甲乙距离为0，在 6 小时时乙到达 B 地，此时甲乙距离（6 2）（120 80） 160 ，故②正确；
H 点是乙在 B 地停留 1 小时后开始原路返回， 6 小时时甲乙距离是160 ，一小时中只有甲在走，所以 1 小时后甲乙距离80km，所以点H 的坐标是（7，80），故③正确；
最后一段是乙原路返回，直到在n 小时与甲相遇，初始距离80km ，所以相遇时间80 （120 80） 0.4 ，所以n 7.4 ，故④错误；
综上所述，①②③正确，④错误，正确 3 个，故选B．
【知识点】用图象表示函数关系二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18 分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．11．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，11，3 分）在“ Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“ s”的概率为．
【答案】2
7
【解析】总共14 个字母，其中字母为“ s”有4个，故字母为“ s”的概率为 4 2．
14 7 【知识点】用定义求概率
答案】0
解析】直接利用二次根式的化简、绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简，再计算．
x）2（x 3）2．解得x 2．故选C．
1
1
33
3 2 （12） 1
3 2 3 2 0
【知识点】 二次根式分母有理化，绝对值，负整数指数幂
13．（ 2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 13， 3 分） 若一个多边形的每个外角都等于 30°，则这个多边形的
边数为． 【答案】 12
【解析】 利用多边形外交和 360°可得，多边形的边数为 360÷30＝ 12． 【知识点】 多边形的外角和
14．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 14，3分）某公司积极开展 “爱心扶贫” 的公益活动， 现准备将 6000
件生活物资发往 A ， B 两个贫困地区，其中发往 A 区的物资比 B 区的物资的 1． 5 倍少 1000 件，则发往 A 区的生活物资为件． 【答案】 3200
【解析】 设发往 A 区的生活物资为 x 件，则 B 区的物资为 6000 x 件依题意可列方程 x 1.5 （ 6000 x ） 1000， 解得
x ＝ 3200．
【知识点】 一元一次方程应用题
15．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 15，3 分） 我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船
B 在
海岛 A ，C 附近捕鱼作业，已知海岛 C 位于海岛 A 的北偏东 45°方向上．在渔船 B 上测得海岛 A 位于渔船 B 的北偏西 30°的方向上， 此时海岛 C 恰好位于渔船 B 的正北方向 18（1 3） nmile 处，则海岛 A ，C 之间的 距离为
nmile ．
答案】 18 2
【解析】
本题主要考察三角函数的应用． 过 A 作 AD ⊥ BC 于 D ．设 AD x ，∵ ∠C 45°， ∠ B 30°，∴ AD x
CD x ，AC
AD x 2x ，BD AD x 3x ．∵ BC 18(1 3) CD BD ， tan C tan 45
sin C
sin 45
tan B tan 30
∴ 18(1 3) x 3x ，解得 x
18． ∴ AC
18 2 ．
【知识点】 三角函数的应用
16．（ 2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃
16， 3 分） 如图，在平面直角坐标系△ P 1OA 1，△ P 2A 1 A 2 ，
P 3 A 2A 3，⋯都是等腰直角三角形， 其直角顶点 P 1（3，3），P 2，P 3，⋯均在直线 y
x ＋4 上．设△ P 1OA 1，
3
△ P 2A 1A 2，△ P 3A 2A 3，⋯的面积分别为 S 1， S 2， S 3，⋯，依据图形所反映的规律， S 2018 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
思路分析】 本题主要考察分式化简运算．先分子分母分别因式分解，再约分即可．
解题过程】 解： 4a 5ab 4b a 125a 2b b 2 4(5a ab b) (a 1b 5)a (2a b b)
12a ab 知识点】 分式运算，因式分
解
18．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 18，5 分）图①、图②都是由边长为 1的小菱形构成的网格，每个
小菱形的顶点称为格点．点 O ，M ，N ，A ，B 均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图． （ 1）在图①中，画出∠ MON 的平分线 OP ； （2）在图②中，画一个 Rt △ABC ，使点 C 在格点上．
【思路分析】 （1）在只能用直尺画角平分线的情况下，就设法将∠ MON 放置在能画出角平分线的图形中，如菱 形．（2）原图是由全等的小菱形组成的，∴要想找到直角就要从菱形的对角线方面入手考虑．设法找让三角形中 的一个顶点处在两个菱形的对角线交点位置，并且在格点上．
答案】 29017
4
思路分析】 积都与 本题主要考察一次函数图象与规律探索．由于都是等腰直角三角形，通过过 点的纵坐标有关，求得
P 作 x 轴垂线，发现面
解题过程】 设 P n (x n , y n )，过 P 2作
P 2，P 3的坐标，找到他们之间的规律． P 2M ⊥ x 轴于 M ，∵△ P 2A 1A 2是等腰直角三角形，
A 1M
P 2M y
2 ．∵
P 1（3， 3)，∴ OA 1
6，∴ P 2(y 2
1
6,y 2） ．代入 y
x ＋4 得，
3
得
y
3
3
3
，⋯，不难发现规律纵坐标后一个是前一个的一半，即
12 y n 2y n （y n ）
2
知识点】 一次函数图象与性质，等腰直角三角形的性质，探索规律
∵△ P n O n 1P n 是等腰直角三角形，∴ S n y 2 3(y 2 6)
1
y n 2y
n 1
，∴ y
n
32 ( n 1
) ．∴ S
2018 2n 1
4．解得 y 2
1 n 1
(2)n 1 y 1 ( 20318 1)2
3
．同理求 2 3．
2n 1 ．
9
．
2017 ．
4
17．（ 2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 17，5 分） 化简： 4a 4b 15a 2b
22 5ab a 2 b 2
2分
5分
1
A BP C C1 C
解题过程】解：（1）如图①，将∠ MON 放在菱形AOBC 中，连接对角线OC，并取格点P，OP 即为所
求．2分2）如图②所示，△ ABC 或△ ABC1均可．5分
19．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，19，7 分）在2018年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了统计，并绘制了不和条形统计图．
完整的统计表
请你根据所给的相关信息，解答下列问题：
（1）本次共随机采访了名教师，m ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知受访的教师中，E组只有 2 名女教师， F 组恰有1名男教师，现要从E组、F 组中分别选派1名教
师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是 1 男 1 女的概率．
【思路分析】（1）根据C组人数和所占的百分比，可得出总的被采访人数． 1 减去前 5 组百分比之和就是 F 组的
百分比．
（2）根据总的被采访的人数和D、F 组所占的百分比，可得出两组的人数．
（ 3 ）先算出E、F 两组中男女教师各自的的人数再用列表法求概
率．
【解题过程】解：（1）15÷25％＝60，1－10％－20％－25％－
30％－10％＝5％．故填60，5．2分
（2）60× 30％＝18，60× 5％＝3．补全条形图如下：4
分
（3）
1 21．（2018
湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，21，8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x与反比
分
【知识点】条形统计图，概率
22
20．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，20，7分）已知关于x 的一元二次方程x2（2m 1）x m2 2 0．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1 x2）2 m221，求m 的值．
【思路分析】（1）方程有两个实数根，说明判别式大于等于0；（2）利用根与系数关系可求出x13 4－x22与m的关系．
【解题过程】解：（1）Δ＝（2m＋1）2－4（m2－2）＝4m＋9≥0．
9
解得m≥－9． 2 分4
∴ m的最小整数值为－2． 3 分
（2）∵ x1＋x2＝－（2m＋1），x1 x2＝m2－2， 4 分
∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4 x1x2＝（2m＋1）2－4（m2－2）＝4m＋9．
∴ 4m＋9＋m2＝21．
解得m1＝－6，m2＝2． 6 分
∵ m≥－49时，方程有两个实数根，
∴ m＝2．7 分
知识点】一元二次方程的根的情况，根与系数关系
2
k
例函数y （k 0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．
x
（1）求反比例函数的解析式；
1
2）将直线 y x 向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点 2 积为 3
，求直线 BC 的解析式．
2
【思路分析】 （ 1）要确定反比例函数的解析式，需知道图象上点 A 的坐标．点 A 恰好在一次函数图象上，进而 可以 A 确定具体的坐标． （ 2）△ ABO 的面积不方便求解，∴需要将面积进行转化，进而进一步求解．
解题过程】 解：（ 1）∵
点
A （ m ， 1）在 y 1
x 上，
2
1
∴ 1＝- 2m ，m ＝－
2．
1分
∴A （－ 2，1）．
k
又∵ A 在数 y 上，∴
k ＝－ 2×1＝－ 2．
2分
x
2 ∴ y ＝- x ．
3分
2）连接 AC ，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 D ．
则 AD ＝ 2．
∵ S △
ABO ＝ S △
ACO ，
1
∴ S △
ACO ＝2OC · AD ＝ 3
2．
5分 3 ∴ OC ＝2 ．
7分
∴直线 BC 的解析式为 13 y ＝－ 2x ＋
2
．
8分
知识点】 反比例函数，一次函数
22．（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 22，8 分）如图，在⊙ O 中， AB 为直径， AC 为弦．过 BC
延
B ，与 y 轴交于点
C ，且△ ABO 的面
长线上一点G，作GD⊥ AO于点D，交AC于点E，交⊙ O于点F，M 是GE 的中点，连接CF，CM．1）判断CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
2）若∠ ECF 2∠A，CM 6，CF 4，求MF 的长．
【思路分析】（1）CM 与⊙O 处于相切的位置，只需连接半径即可证明；（2）线段较多，且关系比较复杂，∴考虑用三角形相似求解．
【解题过程】解：（1）CM 与⊙O 相切．1分连接CO ，
∵AD ＝OC，∴∠ ACO＝∠ OAC．
∵AB 为直径，∴ AC ⊥BG．
因为M 是GE 的中点，∴ CM ＝GM ＝ME ． 3 分
∴∠ GCM ＝∠ G．
∵∠ A＋∠ AED ＝∠ G＋∠ GEC ，∠ AED ＝∠ GEC，
∴∠ ACO ＝∠ GCM ．
∴∠ ACO＋∠ ACM ＝∠ GCM＋∠ ECM＝90°．
∴∠ OCM ＝90°．
∴CM 与⊙O 相切．4分（2）由（1）可知，∠ CME＝2∠G＝2∠ A．
又∵∠ ECF 2∠ A，∴∠ CME＝∠ ECF．
∵∠ CEF ＝∠ MEC ，∴△ MCE ∽△ CEF ．
∴MC
＝
ME
＝
CE
．
∴
CE ＝
CF
＝
EF
．
又∵ ME＝CM＝6，CF＝4，
∴ CE＝4． 6 分
CE
＝6
．
∴EF 4
8 8 10
∴EF＝3．∴ MF＝ME－EF＝6－3＝3．8分
知识点】 圆的切线，三角形相似
23．（2018 湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 23，10 分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产
出的产品能全部售出．如图，线段 EF 、折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y 1（元）、生产成本
y 2（元）与产量 x （kg ）之间的函数关系．
1）求该产品销售价 y 1（元）与产量 x （kg ）之间的函数关系式；
2）直接写出生产成本 y 2（元）与产量 x （ kg ）之间的函数关系式； 3）当产量为多少时，这种产品获得的利
润最大？最大利润为多少？
思路分析】 （ 1）确定一次函数图象上的两个点即可确定解析式； （2）y 2 是折线，∴解析式要分开写． （3）利用
售价－成本）×销量＝利润的公式求解．
解题过程】 解：（1）设该产品的销售价 y 1（元） 与产量 x （kg ）之间的函数关系式为 y 1＝kx ＋b ，将 E （0，
168）， F （180，60）代入，
得
{ ??= 168 ，解得： { ??= 168 ．
180??+ ??= 60 ??= -0.6
∴ y 1＝－ 0.6x ＋168（0≤x ≤ 180）．
2 分
（ 2）生产成本 y 2（元）与产量 x （ kg ）之间的函数关系式为：
7（0 0 x 50）
y 2＝ 0.2x 8（0 50< x <130）．
4 分
5（4 130 x 180）
（ 3）设产量为 xkg 时，或得的利润为 w 元．
①当 0≤ x ≤ 50时， w 1＝（－ 0.6x ＋168－70）x ＝－0.6x 2＋98x ． ∵对称轴为 x ＝ 2435 ，∴当 0≤x ≤50时， w 1随着 x 的增大而增大， ∴当 x=50 时， w 1 有最大值 3400 元．
6 分
②当 50<x <130 时， w 2＝（－ 0.6x ＋168＋0.2x －80）x ＝－0.4（x －110）2＋4840．
∴当 x ＝110时， w 2有最大值 4840 元． 8 分 ③当 130≤ x ≤ 180 时， w 3＝（－ 0.6x ＋168－54）x ＝－
0.6x 2＋114x ．
∵对称轴为 x ＝95，∴当 130≤x ≤180 时，w 3随 x 的增大而减小． ∴当 x ＝130时， w 3有最大值 4680 元．
答：当产量为 110kg 时，有最大利润为 4840 元． 10 分 【知识点】 一次函数的实际应用，二次函数的实际应用
24．（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市， 24，10分）问题： 如图①，在 Rt △ABC 中， AB AC ，D 为
BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD 绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段
BC，
DC，EC 之间满足的等量关系式为；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE 中，AB AC，AD AE，将△ADE 绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD ，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD 中，∠ ABC ∠ ACB ∠ADC 45°．若BD 9，CD 3，求AD 的长．
【思路分析】（1）BD 与CD 在同一条直线上，且由于旋转使得AD 和AE相等，且AB和AC相等，∴考虑三者
是和的关系；（2）参考“问题”中的方法，旋转会出现全等三角形，∴考虑连接CE，构造全等三角形进行探索；（3）图形类似，∴类比前面的方法，设法构造出类似的图形，则问题得解．
【解题过程】问题：BC＝EC＋DC 2 分因为△ ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ BAC ＝90°．
又∵ AD ⊥AE，
∴∠ EAD ＝90°．
∴∠ EAD －∠ CAD ＝∠ BAC－∠ CAD．
∴∠ BAD＝∠ CAE．
又∵ AB＝AC，AE＝AD，
∴△ ABD≌△ ACE．
∴BD＝CE，
∴BC＝EC＋DC．
探索：线段AD，BD ，CD 之间满足的关系是BD 2＋CD2＝2AD 2．
证明：如图①，连接CE．
∵∠ BAC＝∠ BAD ＋∠ DAC ＝90°，AB＝AC，
∴∠ ABC＝∠ ACB＝45°．
∵∠ DAE＝∠ CAE＋∠ DAC ＝90°，
∴∠ BAD ＝∠ CAE． 3 分
在△ BAD 和△ CAE 中，
AB AC
∠ BAD ∠ CAE ,
AD AE
∴△ BAD≌△ CAE．
∴ BD＝CE，∠ ACE＝∠ ABC＝45°．4分
∴∠ BCE＝∠ ACB＋∠ ACE＝90°．
∴BD⊥CE． 5 分
∵∠ EAD ＝90°，AE＝AD ，
∴ ED＝2 AD．
在△ ECD 中，ED2＝CE2＋CD 2，
∴BD2＋CD2＝2AD2． 6 分
应用：如图②，作AE⊥ AD 于点A，交DC 的延长线于点E，连接BE．∵∠ ABC＝∠ ACB＝∠ ADC ＝45°，∠ EAD＝90°，
∴∠ BAC＝90°，AB＝AC，AE＝AD ．
∴ ED＝2 AD．
由“探索”的证明可知，
BE＝CD，BE⊥ CD．
在Rt△ BED 中，BD2＝BE2＋DE2．
∴2AD2＝BD2－CD2．
∵BD＝9，CD＝3，
∴2AD2＝92－32＝72．
∴ AD＝6（负值舍去）．
7分
8分9分10 分
知识点】旋转，三角形全等，探索与归纳
2
2 26．（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，26，12
分）抛物线y 3x2
3 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y t（t
翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D 的坐标分别为，，；7
3
7 x 1与x轴交于点A，B（点24）上方的部分沿直线l
向下
2）如图①，抛物线翻折后，点 D 落在点 E 处．当点 E 在△ ABC 内（含边界）时，求t的取值范围；
3）如图②，当t 0 时，若Q 是“ M”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P？
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
思路分析】（1）点A，B 的坐标可以令y＝0，解一元二次方程求出，点 D 的坐标利用公式可求；（2）点 E 可能在边界上也可能在边界内，∴要分情况讨论；（3）点Q 可能在原抛物线上也可能在翻折下来的部分抛物线上，∴要分情况讨论．要证明点Q 在圆上，只需证明QA 与QB 垂直即可．
解题过程】（1）令y 22
x
7 x 1 ＝0，解得 1 x1＝，x1＝
3．∴ A（
1，0），B（3，
0）．
根据抛物线顶
点
3322
公式可得 D （7，25）．3分424
（2）如图①，
作直线DE，交x轴于点M，交BC 于点
N．
∵直线BC 经过B（3，0），C（0，－1）两点，
1
∴直线BC 的解析式为：y＝x－1．
3
7
又∵抛物线对称轴DE 为：x＝，
4
75
∴点N 的坐标为（，－）． 4 分
4 12
讨论：①当点 D 与点M 重合时，此时点 E 落在x 轴上的点M 处，
1 1 25 25
∴ t ＝DM ＝× ＝．
2 2 24 48
②当点 D 与点N 重合时，此时点 E 落在BC边上的
点
∵DN＝DM＋MN＝丨25丨＋丨－5丨＝35
24 12 24
1 35
DN＝> MN ．
2 48
1 35 ∴t＝DN－MN ＝
2 48
5
12
5
16
5 25
∴t 的取值范围是：≤t≤．
16 48
7分
5分N 处．
3）存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P ．
如图②，设以 CQ 为直径的⊙ G 与 x 轴相切于点 P ，连接 PC ，PG ，PQ ． 并作 QH ⊥
x 轴于点 H ，则 GC ＝GP ＝GQ ，且 GP ⊥x 轴． ∴OC ∥PG ∥HQ ．∴ OP ＝PH ．
∵CQ 为直径，∴∠ CPQ ＝ 90°． ∴∠ OPC ＝∠ HQP ．
OC
HP ∵tan ∠OPC ＝
， tan ∠HQP ＝
OP
HQ
OC ＝
HP OP HQ
即 OC ·HQ ＝OP ·HP ． 讨论：①当点 Q 在抛物线 y
2
x 2 7 x 1上时，
33
1
依题意有 x ≤ 或 x > 3．
2
2 2 7 设点 Q 的坐标为（ x ， x 2 x 1）． 33
则 OH ＝|x|，HQ ＝| 2 x 2
3 2 2 7
∵OC ＝ 1，∴ | x x
33
∵点 Q 位于 x 轴下方，∴
2 2 7 1
②当点 Q 在抛物线 y ＝ x 2 x 1上时，依题意有 < x ≤ 3．
3 3 2
2 2 7 1
同理可得： | x 2 x 1|＝ x 2．
3 3 4
2 2 7 1
∵点 Q 位于 x 轴下方，∴ x 2 x 1＝－ x 2．
3 3 4
解得 x 3＝ 6 ， x 4＝ 2．
11
7
1
x 1|， OP ＝PH ＝
|x|． 3
2
1 1
22 7
1 2
1|＝ |x| · |x| ，即 | x
x 1|＝
2 x ． 2 2
3 3 4
22 7 x 1≤ 0．∴
22
7 1＝ 12
x
x x
x 2 3 3
3 3
4
解得 x 1＝ 14 2 34
5
x 2＝
14 2 34
5
10 分
9分
11 分
1
∵OP ＝ OH ＝
2
∴符合条件的点
P 的坐标有 4 个，即：
知识点】 二次函数压轴题，存在性问题
∴满足条件
的
x 的值有 x 1＝
14 2 34
5
x 2＝
14 2 34
6
x
3
＝
，
x
4
＝ 2 ．
11
0），
P 2(
7
0），P 3（ 3 ， 0），P 4（ 1，0）．
11
12分
5
1
2
|x|，。