温度分布的曲线拟合

温度分布的曲线拟合

学号:XX 姓名：XXX

1. 实验描述

美国洛杉矶郊区11月8日的温度（华氏温度）如表1所示。采用24小时制。

要求：1.线性的最小二乘拟合 2.曲线的最小二乘抛物线拟合； 3.三次样条插值拟合 4.T7的三角多项式拟合

5.有4个控制点的贝塞尔曲线拟合

2. 实验内容

一、线性最小二乘拟合

定理5.1（最小二乘拟合曲线）设1{(,)}N k k k x y =有N 个点，其中横坐标1{}N

k k x =是确定的。

最小二乘拟合曲线

y Ax B =+

(1)

的系数是下列线性方程组的解，这些方程称为正规方程：

211111N N N

k k k k

k k k N N

k k

k k x A x B x y x A NB y =====⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

∑∑∑∑∑ (2)

核心代码为： %求方程组am=b 的根 m=a\b; x1=1:0.1:24; y1=m(1)*x1+m(2);

%绘图，其中(x,y)为已知点，用红色的星号表示，y1为拟合曲线 plot(x,y,'*r',x1,y1) grid on

legend('已知点','最小二乘拟合')

主要算法为： (1).输入x,y ；

(2).求正规方程的系数2

1

N

k k x =∑,1

N

k k x =∑,1

N

k k y =∑,1

N

k k k x y =∑

(3).解正规方程组am=b (4).绘制拟合曲线

二、曲线的最小二乘抛物线拟合

定理5.3（最小二乘抛物线拟合）设1{(,)}=N

k k k x y 有N 个点，横坐标是确定的。最小

二乘抛物线的系数表示为

2()==++y f x Ax Bx C

(3)

求解,A B 和C 的线性方程组为

432211113211112111===========⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫

++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑N N N N

k k k k k

k k k k N N N N

k k k k k k k k k N N N

k k k

k k k x A x B x C y x x A x B x C y x x A x B NC y

(4)

根据式(4)，核心代码为： a(1,1)=sum(x.^4); a(2,3)=sum(x); b(1)=(x.^2)*y';

图1 线性的最小二乘拟合流程图

b(2)=x*y';

%求方程组am=b 的根 m=a\b;

算法流程图为：

三、三次样条插值拟合

定义5.1 设1{(,)}=N

k k k x y 有1+N 个点，

其中01=<<<

次多项式()k S x ，系数为,0,1,2,,k k k s s s 和,3k s ，满足如下性质：

图2 抛物线的最小二乘拟合流程图

23

k k,0k,1k k,2k k,3k 1111''111''''111I.S (x)=s +s (x-x )+s (x-x )+s (x-x )[,],0,1,

,1

.()0,1,,.()()0,1,,2.()()0,1,,2.()()

0,1,

,2

++++++++++∈=-====-==-==-k k k k

k k k k k k k k k k k k x x x k N II S x y k N III S x S x k N IV S x S x k N V S x S x k N (5)

则称函数为三次样条函数。

令''''11(),()++==k k k k m S x m S x ，1+=-k k k h x x 和1+-=

k k

k k

y y d h ，可得包含1,-k k m m 和1+k m 的重要关系式：

11112()---++++=k k k k k k k k h m h h m h m u (6)

其中16(),1,2,

,1-=-=-k k k u d d k N

方程组(6)中的未知数是要求的值{}k m ，而且其他的项是可以通过数据点集

{(,)}k k x y 进行简单数学计算得到的常量。因此方程组(6)是包含1+N 个未知数，具

有1-N 个线性方程组的不定方程组。所以需要另外两个方程组才能求解。可通过它们消去方程组(6)中的第一个方程的0m 和第个方程的N m 。

如果给定0m ，则可以计算出00m h ，而且方程组(6)的第一个方程（当k=1时）为：

011121002()++=-h h m h m u h m

(7)

如果给定N m ，则可以计算出1-N N h m ，而且方程组(6)的最后一个方程（当k=N-1时）为：

22211112()-------++=-N N N N N N N N h m h h m u h m

(8)

考虑方程组(6)以及方程组(7)和方程组(8)，其中2,3,,2=-k N ，可形成1

-N 阶线性方程组，包含系数121,,,-N m m m 。

重写方程组(6)中的方程1到方程1-N ，得到一个包含121,,,-N m m m 的三角线性

方程组=HM V ，表示为：

11122223

2

2222

11111

---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎣⎦

N N N N N N N N N b c m v a b c m v a b c m v a b m v (9)

当得到系数{}k m 后，可以用如下公式计算()k S x 的样条系数,{}k j S 。