第1章 质点运动学(2)

12 rad s 2
2013-8-15
an r 3t 4 0.2
2 2 2


质点运动学
v 0.2 (3 4) 1.4(m s 1 ) t 1s时，
at 1.2(m s 2 )
an 3 4 0.2 9.8(m s 2 )
2013-8-15
et
质点运动学
平面极坐标系 设一质点在 Oxy 平面内
运动，某时刻它位于点 A .径 矢 为 . 于是质点在点 A 的位 置可由 A( r , ) 来确定 . 以
y
r
与
x
轴之间的夹角

o
r
A
x
它与直角坐标系之间的变换关系为
(r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 . x r cos
o
R
切向加速度:
v R
dv dv at et , at dt dt dv d R dt dt
at Ret
d d 2 定义角加速度: dt dt 2
2013-8-15
v2
et 2
B
v1
et1
o
A
R
et 2
质点运动学 det 表示切向单位矢量随时间的变化 dt et et 1 et1
r2 r1 r v t t r dr v lim dt t 0 t
ds v v
v v x v y v z a i j k t t t t
dt
8. 平均加速度：
9. 瞬时加速度：
2013-8-15
结论：相对于惯性系来说, 加速度是绝对的.
2013-8-15
质点运动学
解题策略:
1. 列出所有的速度矢量； 2. 分别在所有的速度矢量下面标出下标号；
第一个小标号表示不同的物体； 第二个下标号表示它所在的参考系； 例如：v AB 表示物体A相对于B参考系的运动速度.
3. 写速度方程时采取下标法.
a a x
2013-8-15
质点运动学
11. 圆周运动:
12. 平面曲线运动:
13. 相对运动:
方程左边的速度的下标号的第一个字母必须要与方程 右边的下标号第一个字母相同，而方程左边的速度的下标 号的第二个字母也必须要与方程右边的下标号第二个字母 相同.
v物静 v物动 v动静
2013-8-15
质点运动学
应用举例: 例: 某人骑自行车以速率 v0 向东行驶. 现有风以同样 的速率由正北方吹来. 问：人感到风是从那个方向吹来？
2013-8-15
质点运动学
讨论: 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一 种是正确的：
（A）切向加速度必不为零；
（B）法向加速度必不为零 ；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
为恒矢量，它一定作匀 （E）若物体的加速度 a
(2) 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初 始条件求质点的运动方程.
d v a dt , dv a d t
t v0 t0 v
a a t
a av
dr v dt ,
t dr v dt
r0 t0
r
d an v en dt
质点运动学
an

at
质点作变速率圆周运动时,加速度的表达式：
a
o
r
dv v a at an et en dt R 2 a Ret R en 或:
2
变速率圆周运动中，由于速度的大小和方向都 在变化，所以加速度的方向不再指向圆心，其值和 方向为：
2013-8-15
质点运动学
问题：下图中a1、a2、a3 加速度各代表什么情形？
a4 的情形是否能存在？ a4
v
a3
a2
a1
2013-8-15
质点运动学
平面曲线运动
平面曲线运动的轨迹可以看作是由无限多无穷小线段连 接而成，每个无穷小线段都能与某个圆周“密切”。这样，一 个任意的平面曲线运动，就可以视为由一系列小段圆周运动所 组成。曲线在某点的曲率圆（密切圆，密接圆）半径ρ称为曲 线在该点的曲率半径。
P
r r' R
x’ x
O’
u
O 令：
v v' u
2013-8-15
伽利略速度变换
质点运动学
物体对静系的速度，称为绝对速度 物体对动系的速度，称为相对速度 动系对静系的速度，称为牵连速度
v v' u
两边再对时间求导：
即:
a a'
解：设人为R，风为F，地为D，由相对运动原理得: v RD v v v
FD FR RD
绝对速度 （风对地） 相对速度 （风对人）
牵连速度
（人对地）
v FR v FD v RD
Βιβλιοθήκη Baidu
v FD
v FR
人感到风是从东北方向吹来.
2013-8-15
质点运动学
例: 两船A、B各以速度vA 、vB在平静的湖水中行驶. 问: 它们是否会相碰？
y r sin
2013-8-15
质点运动学
2. 圆周运动 (1) 圆周运动的角速度
y
B
角坐标: (t )
角位移：△θ d 角速度大小： lim t 0 t dt 角速度方向：右手螺旋法则 速率与角速度之间的关系： s v lim R lim t 0 t t 0 t 矢量形式： v r
有切向加速度
at 0 ，法向加速度 an R v / R
2 2
2 a an R en
2.匀变速率圆周运动 常量 如 t 0 时, 0 , 0
0 t
0 0t 1 t 2
2 2 02 2 ( 0 )
变速率运动 .
2013-8-15
练习: 一物体做抛体运动,已知 v0 , B v0 g n A n n g
讨论：
质点运动学
g
C
a a an

2013-8-15
A
g
g sin
g
B
C g
g sin
0
g
g cos
2 v0 gcos
解: 取A为参考系，B船相对于A船的速度为：vBA vBA vB vA 讨论: 若 vBA 的方向指向A船，则两船将会相碰； 若 vBA的方向不指向A船，则两船不会相碰. vA vB vBA vA
2013-8-15
质点运动学
课堂作业: 两个港口A和B, 处于一条南北方向的直线上, 同时两个 港口被一条宽度为D的河流阻隔开. 河流向东流逝, 水流速 度为vW .一条船要从港口A渡河到对面的港口B. 船相对于河 流的速度为vB. 假设vB = 2vW. 将你所有的答案用vB 、vW 和D的形式表示出来. (1) 船实际航行的方向是什么？用船的轨迹和北方的夹角θ 来表示. 船要花多少时间才能渡过这条河流？ (2) 假设船想要从港口A用最短的时间渡过这条河流。那么 船过河的时候应该朝向哪个方向？（提示：仔细思考一下， 最短的时间意味着什么？）最短的时间是多少？当船渡过 了河流以后，距离港口B有多远？
地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测
量结果相同 .
v
B
A
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对
的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关， 时间和长度的 的绝对性是经典力学（牛顿力学）的基础 .
2013-8-15
质点运动学
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
速度的大小和方向依赖于参考系的选择
2 0
g cos
2
v cos g
2 v0 gcos
质点运动学
例: 某发动机工作时, 主轴边缘一点作圆周运动方程为：
t 3 4t 3 (SI) (1) 求： t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径D =40 cm，求t =1s时该点的速度和 加速度.
质点运动学
3. 质点运动的轨迹方程:
x x(t ) y y (t ) 消去t f ( x, y, z ) 0 z z (t )
4. 位移:
r rB rA
2013-8-15
质点运动学
5. 平均速度： 6. 瞬时速度: 7. 瞬时速率:
R
o

A

x
角速度单位：弧度每秒（rad·-1） 角速度方向 s
v R
2013-8-15
质点运动学
(2) 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v vet
质点作变速率圆周运动时,加速度为：
切向单 位矢量
v
et
A
dv dv det a et v dt dt dt
法向单位矢量
et d et d lim en t 0 t dt dt
法向加速度:
det d v v en dt dt
v 2 an R en en R v2 2 an R R
2
d 由 , v R dt
2013-8-15
质点运动学
1.2.4 自然坐标系 切向加速度和法向加速度 1. 自然坐标系 切向和法向 自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统. 在质点的运动轨迹上, 任取一点O作为坐标的原点. 从原点O到轨迹曲线上任意 一点P的弧长定义为P点的 坐标s.
切向单位矢量
P
s
et e n
Q
O
en
法向单位矢量 s=s(t) 质点运动方程为: 切向: 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正.
2
此时，总加速度的大小为：
a an a t 1.2 2 9.82 9.87 (m s 2 )
2 2
总加速度的方向：
a 与 v 的夹角
v
an arctan 83.0 at
a

an
at
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质点运动学
1.3 相对运动 小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B .
d 3t 2 4 解: (1) dt d 6t dt
1 (2) v r D 2 1 v r D 0.2 3t 2 4 2 at r 6t 0.2 1.2t
t 2 s : 16 rad s -1
(MIT03年经典力学考题)
2013-8-15
质点运动学
第1章 质点运动学 小结
内容提要
1.1 参考系 时间和空间的测量
1.2 质点运动的矢量描述
1.3 相对运动
2013-8-15
1. 位置矢量(位矢):
2. 质点的运动方程:
r xi yj zk r x(t )i y (t ) j z (t )k
2013-8-15
质点运动学
S
S’
地面参考系S：
x，y，z，t
船的参考系S’：
x’，y’，z’，t’
假定： 在t=t’=0时刻，两坐标系的原点OO’重合 船坐标系以恒定速度 沿着 的方向运动 从图中可见, 在任意时刻 t ：
2013-8-15
r r' R
质点运动学
S y
S’ y’
2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
质点运动学
10. 运动学中的两类问题
(1) 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及 加速度.
r r t dr v dt 2 dv d r a 2 dt dt

an an an
dv v a dt
2 2
2
曲率半径
ρ
an tg at
dv v 2 a et en dt
2013-8-15
质点运动学
(3) 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1.匀速率圆周运动 速率 v 和角速度ω 都为常量，故角加速度 0